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29.1.2 过三点的圆 第1课时 同步测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．下列关于外心的说法正确的是（ ）
A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点
C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点
2．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）
A．以点为圆心 B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对
3．下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（ ）个．
A．1 B．2
C．3 D．4
4．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
7．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点______．

10．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________．
11．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是___________．
12．如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是______．
13．如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为________________．

14．如图，是的直径，是弦，．若点P是上一动点，当是等腰三角形时， ________．
三、解答题
15．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D．
16．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，和．
(1)利用尺规作出外接圆的圆心．
(2)写出圆心M的坐标，并求出的半径．
17．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
(1)用直尺作出的外接圆圆心．
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积．
18．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
(1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______；
(2)连接，的半径为______，的度数为______．
19．已知：如图，，分别是两边，上的点，连接．求作：，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等．
20．在中，，．
(1)求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的半径．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B A C C A
1．D
【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可．
【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点，
2．C
【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
3．A
【分析】根据弦的定义，等弧的定义，圆心角与弧的关系，三角形外心的定义，逐一判断命题真假即可得到结果．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，该命题为真；
②等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，该命题为假；
③只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，该命题为假；
④三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形内角平分线的交点是内心，该命题为假；
综上，真命题共1个．
4．B
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
5．A
【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．
依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标．
【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点，
图中已明确出各边垂直平分线以及其交点，
观察图象，可直接得出外心坐标为，
故选A．
6．C
【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，圆心M的坐标，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：C．
7．C
【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵是的外接圆圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．A
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键．
设的外心P的坐标为，根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出、，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：∵抛物线关于y轴对称，
∴的外心在y轴上，
设的外心P的坐标为，连接，则有，
对于二次函数，当时，，
当时，
∴
∴，
则，，
在中，，即
解得：，
∴的外心P的坐标为，
故选：A．
9．P
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键．
由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等进行判断即可．
【详解】解：由勾股定理可得，，
∴的外心是点P，
故答案为：P．
10．3
【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∴垂直平分，
∵是的垂直平分线，交于点O，
∴点即为外接圆的圆心，
∵，
∴外接圆的半径为3；
故答案为：3．
11．
【分析】本题考查的是三角形是外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形外心的定义是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，点B的坐标，再根据直角三角形外心是斜边的中点解答即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，解得：，
∴直线于x轴的交点A的坐标为，于y轴的交点B的坐标为，
∵，
∴为直角三角形，
∴的外心为斜边的中点，即，
故答案为：．
12．
【分析】作的垂直平分线交于点，连接，连接，根据作图可得是过三点的圆的圆心，网格可得则，得出是等腰直角三角形，进而勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接，连接，
根据作图可得是过三点的圆的圆心，
根据网格可得，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵ 小正方形的边长为2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．
13．6
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，

以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
综上分析可知，共6组．
故答案为：6．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
14．，或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，三角形的外接圆，解答本题的关键分三种情况讨论：．
当时，线段和差即可求解；当时，利用勾股定理求得，利用等面积法求得，再利用等腰三角形的性质即可求解；，根据外接圆的定义即可得到与重合．
【详解】解：①时，
；
②时，过点作于点，连接
中：，
，
∴，
，
∴；
③时，此时与重合，
∴．
综上为，或．
故答案为：，或．
15．如图，即为所求，
不经过点D
【分析】分别连接，、，分别作、的垂直平分线，交于点O，分别连接，再以点O为圆心，为半径作，由图形可以判断不过点D．
【详解】解：由作图可知，，故经过A，B，C三点，
由图形可知，到圆心的距离不等于半径，
∴不经过点D．
16．(1)
(2)圆心的坐标为，的半径为
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心，
∴圆心的坐标为，
连接，
∵，
∴，
∴，
即的半径为．
17．(1)如图所示，点即为所求．
(2)外接圆的面积为
【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心；
（2）连接，利用勾股定理求得半径，再计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接，
，
故外接圆的面积为．
18．(1)；
(2)；
【分析】（1）分别作线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心D点的位置；
（2）连接，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，连接，
由（1）和题意得，
∴，，
，
∴的半径为；
∵，
∴，
∴是直角三角形，即．
19．
解：先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作．
则即为所求．
【分析】先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作即可．
【详解】略
20．(1)
如图所示，的外接圆O即为所求，
(2)
【分析】本题考查了三角形外接圆的作图，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的半径求解．
（1）分别作出，，的垂直平分线，三条垂直平分线交于一点，则该点为的外心，即为外接圆的圆心O，以为半径画出，的外接圆O即为所求；
（2）作的垂直平分线，交于点D，连接，由为的垂直平分线，得出点D为的中点，求得，再利用勾股定理求得的长度，设，则，利用勾股定理和线段的和差关系列出方程求解x的值，再将x代入即可求得的半径．
【详解】（1）略
（2）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，
∵，，
∴为等腰三角形，
∵为的垂直平分线，
∴点D为的中点，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，即，
又∵，
∴，
将代入得：，
解得：，
∴．
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