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29.1.2 过三点的圆 第2课时 同步测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．用反证法证明“若的周长为20，则较长边的长不小于5”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（ ）
A． B． C． D．
3．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（ ）
A．四边形中最多有一个钝角或直角 B．四边形中四个角全部是钝角或直角
C．四边形中至少有一个是锐角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角
4．数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”的方法．为说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（ ）
A．a，b，c全为偶数
B．a，b，c至多有一个奇数
C．a，b，c全为奇数
D．a，b，c至多有两个奇数
6．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．
C．， D．，
7．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①因此假设不成立．
②，这与三角形内角和为矛盾
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①②
8．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．用反证法证明命题“若，则”时，应先假设________________________．
10．若要说明命题“若，则”是假命题，则任意举出一个反例，写出和的值：________．
11．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设______．
12．判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是______．（填写一个符合条件的的值）．
13．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么．
证明：假设__________，那么它们相交于一点．
因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“__________”矛盾，故假设不成立．所以．
14．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）．
三、解答题
15．指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例：
(1)两个锐角的和等于；
(2)当时，一定成立．
16．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
已知：．
求证：中至少有一个内角小于或等于．
17．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合．
18．已知直角三角形的三边长分别是，其中为斜边．
(1)长分别为的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由；
(2)小明为了证明“长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程．
19．用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性．
如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点、，，
求证：．
把以下证明过程补充完整
(1)证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点，
所以____________（ ），
所以____________ ，这与“”矛盾，
故假设不成立，所以．
(2)证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点作直线，则．
因为，
所以（ ），
因为，
所以_________________（ ），
这与“”矛盾，故假设不成立，所以．
20．阅读材料：整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成形如的形式，其中，是互质（除了1以外，没有别的相同因数）的整数，且n≠0．如： ， ，…要证明一个数是无理数，常使用反证法：先假设这个数是有理数，再根据定义推出矛盾，从而说明假设不成立，原数为无理数．如证明：是无理数
证明：假设是有理数，则存在互质的整数，，使得 两边平方得： 所以是偶数，故为偶数． 设，代入得：所以 同理可得也是偶数． 则，都有因数，与，互质矛盾． 因此假设不成立，从而证明是无理数．
探究问题
(1)无理数是无限不循环小数，且，请直接写出：的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)模仿材料中的证明方法，证明：是无理数．
证明：假设是有理数，则存在互质的整数，（），使得 两边平方得： 所以是的倍数，故是的倍数． …
①完成上面填空：① ；② ．
②请把上面省略号部分的证明过程写完整．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D B C B C D
1．A
【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，首先需要假设结论不成立，即假设原结论的反面成立，找到原结论的反面即可得到答案．
【详解】解：原命题要证明的结论是“较长边的长不小于”，即结论为，
∵反证法需要假设结论不成立，结论的反面为，
∴应假设，故选：A．
2．A
【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可．
【详解】反例需要满足条件，且不满足结论．
选项B、D中，，均不满足，
B、D不符合要求，不是反例；
选项C中，满足，且，满足命题结论，
C不是反例；
选项A中，满足，且，不满足，
A是符合要求的反例．
3．D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设四边形中没有一个角是钝角或直角．
4．B
【详解】解：∵，
当时，，当时，，
∴该命题的反例为负数，
四个选项中只有是负数，代入验证得，符合反例要求．
5．C
【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设．
【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数，
∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数．
6．B
【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，且，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，且，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意；
C、∵，，
∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意．
7．C
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
③假设在中，，
④由，得，即，
②，这与三角形内角和为矛盾，
①因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①．
故选：C．
8．D
【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求．
【详解】解：∵平分，
∴；
又∵与有公共边，它们不是对顶角，
∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例；
对于B选项，与是对顶角，不能作为反例；
对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设．
9．
【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案.
了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立．
【详解】解：反面是．
因此用反证法证明“若，则，应先假设．
故答案为：．
10．，（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可．
【详解】解：当，时，，
但，，
∴不成立．
∴命题“若，则”是假命题．
故答案为：，（答案不唯一）
11．是直角三角形．
【分析】本题考查的是反证法，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，
第一步应假设：是直角三角形，
故答案为：是直角三角形．
12．－2（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可．
【详解】解：当时，，
说明命题“对于任何实数，”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
13．与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可．
【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点．
，，过点的两条直线、都与直线垂直．
这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，
故假设不成立．
所以．
故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
14．③
【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误．
【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确；
②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确；
③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误；
④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确．
故答案为：③．
15．(1)假命题． 反例：两个锐角分别为和，它们的和为，不等于（反例不唯一）．
(2)真命题
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，，
∴．
16．证明：假设中没有内角小于或等于．
即，，．
．
这与三角形的内角和为矛盾，
∴该假设不成立．
中至少有一个内角小于或等于．
【分析】假设中没有内角小于或等于，根据三角形内角和定理得出矛盾，即可解答．
【详解】略
17．
证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接．
∵是边上的中线．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的平分线，点M与点D重合，
∴，
∴，
∴，这与题干相矛盾．
∴假设不成立，
∴点M与点D不重合．
【分析】本题考查反证法的应用，三角形的重要线段，全等三角形的判定和性质， 掌握倍长中线法是解题关键．
先假设重合，将中线延长到点N，使得，易证得，则有，．结合是的平分线，判断出，这与题意矛盾，说明假设不成立．
【详解】略
18．(1)
解：长分别为的三条线段能组成一个直角三角形，理由如下：
∵直角三角形的三边长分别是，其中为斜边，
∴，
∴，
∴长分别为的三条线段能组成一个直角三角形，长为的边是斜边；
(2)
解：即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，与矛盾，
∴假设不成立，
∴长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，反证法等知识点．
（1）由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理证明即可；
（2）利用反证法求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
19．(1)；三角形内角和等于；；
(2)两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等
【分析】根据反证法的基本步骤，结合三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
20．(1)，
(2)①，；②见解析
【分析】（1）已知，根据整数部分和小数部分的定义，整数部分是不大于的最大整数，小数部分为减去整数部分，即可得到结果．
（2） 模仿题干给出的反证法思路，先由平方关系推出是的倍数，再推导得到也是的倍数，推出与互质的前提矛盾，即可证明是无理数．
【详解】（1）解：
的整数部分是，小数部分是.
（2）① ，为整数
是的倍数，
故是的倍数
因此①处填，②处填.
证明：② 设 ，为整数，将 代入
得
整理得，
即 ．
是的倍数，故也是的倍数．
都有因数，与互质矛盾．
假设是有理数不成立，因此是无理数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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