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29.2.1 垂直于弦的直径 同步测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．如图， ，，都是的半径，于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平面交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ）
A．0.4厘米/分 B．0.5厘米/分 C．0.6厘米/分 D．0.8厘米/分
4．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．5米
6．如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在半径为的中，弦与交于点，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．5
二、填空题
9．如图，在中，是直径，连接，若，于点，，则的长是_____________．
10．如图，为的弦，连接、，点在上连接并延长交于点，连接，若，则的度数为___________°．
11．如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________．
12．如图，在中，弦垂直于直径，垂足是，已知，则的长为__________．
13．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________．
14．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米．
三、解答题
15．已知：如图，线段与相交于点，且．求证：．
16．如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？
17．甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离．
18．我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺）
19．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求线段的长．
20．如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C．
(1)求证：D是的中点；
(2)若，，求的半径．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B B D A B A
1．A
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，根据圆周角定理，垂径定理，等边对等角逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、由题意得，与不一定相等，原选项错误，符合题意；
、∵，
∴，原选项正确，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，原选项正确，不符合题意；
、∵，
∴，原选项正确，不符合题意；
故选：、
2．B
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，由垂径定理可得，由，，可得，在中，由即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，，
∴，
，
，
在中，，
∵是的直径，弦，
∴
故选：B．
3．B
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
记太阳圆心为，连接，过点，作于点，延长与圆交于点，利用垂径定理推出，结合勾股定理推出，进而求出，再根据路程、速度、时间的关系求解，即可解题．
【详解】解：记太阳圆心为，连接，过点，作于点，延长与圆交于点，
圆的半径为5厘米，厘米，
厘米，
厘米，
厘米，
从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，
“图上”太阳升起的平均速度为（厘米/分），
故选：B．
4．B
【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
连接，根据题意可得的半径为，再由，则可以求出，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度．
【详解】解：连接，
∵的直径，
∴的半径为，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：B．
5．D
【分析】根据垂径定理得出米，设桥洞的半径为r，则：米，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴（米），
设桥洞的半径为r，则：米，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即桥洞的半径为5米．
6．A
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．过点作的垂线交于点，交半圆于点，由轴对称的性质可知，，由勾股定理可得，再利用垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，交半圆于点，
，
，
由轴对称的性质可知，，
在中，，
是半径，，
，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了圆的性质、垂径定理和解直角三角形，熟练掌握垂径定理和解直角三角形的方法是解题的关键．
过点作于点，于点，连接、、，根据垂径定理得到，，则，用勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，可得，再利用含角的直角三角形性质求出、的长，在中用勾股定理求出的长，即可得到结果．
【详解】解：过点作于点，于点，连接、、，如图所示：
则，，
∴，
在，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵是上的一动点，与交于点．
∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为，
故选：A
9．6
【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理列式求出，根据三角形中位线定理求出结果即可．
【详解】解：，为的半径，，
，
在中，，
，即，
，
，
，
．
10．
30
【分析】首先根据点在上得出的度数，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，最后根据圆周角定理求解即可
【详解】解：点在上，，
，
，
，
，
，
，
与分别是所对的圆周角和圆心角，
．
11．20
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可．
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，
则，，
∴，
∴，
即这些钢索中最长的一根为，
12．
【分析】根据三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得，得出是等腰直角三角形，进而根据垂径定理和勾股定理得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∵弦垂直于直径
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
13．
【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可．
【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上，
，
由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ，
，，
在 中，由勾股定理得：，
点在上，
，
．
14．10
【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，
由题意可得，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，
设的半径为r，则，
∴，
∵过圆心O，且，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴所在的半径为10分米．
15．
证明：过点作于点，
则，
∵，
∴，
∴，
即．
【分析】本题考查等腰三角形三线合一，垂径定理，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．利用三线合一可得，利用垂径定理可得，两式相减即可证明．
【详解】略．
16．
【分析】根据垂径定理，结合已知条件即可得，在中，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵为直径，为弦，且，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长是．
17．米
【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可．
【详解】解：连接交于点，
点为水轮的最低点，
，
，
由题知，，
，
，
米．
18．26寸
【分析】连接，设的半径是寸，根据题意，得寸，寸，根据勾股定理，得，求解即可．
【详解】解：连接，
，寸，
寸，
设的半径是寸，
根据题意，得寸，寸，
根据勾股定理，得，
，
，
，
故的直径是26寸．
19．(1)证明：∵平分，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴；
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明；
（2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，连接，
∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，则，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴．
20．(1)证明：如图，连接．
∵是的弦，半径，
∴D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即D为的中点；
(2)的半径为．
【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解；
（2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可．
【详解】（1）证明：略；
（2）解：如图，连接．
∵半径，垂足为H，，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
即的半径为．
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