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29.3 弧长和扇形面积 第1课时 同步测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
A． B． C． D．
4．月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如下图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，，上的点C，D分别在直径的两侧，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______．
10．一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______．
11．摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留）
12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______．
13．如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______．
14．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____．
三、解答题
15．（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________．
（2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________．
（3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________．
16．已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数．
17．已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长．
18．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为．
(1)求扇形的圆心角度数；
(2)依据相关数据，求花窗的面积．
19．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题：
(1)的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
20．如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点D为的中点，且，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A A C A B
1．D
【分析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，其中n是圆心角度数，r为半径，计算即可求解．
【详解】解：设半径为，
弧长公式，其中，，
，
，故半径为，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键．
设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】∵ 弧长 ，其中 ，，
∴ ，
简化得：，
∴ ，
∴ 。
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键．
重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：设旋转角度为，由题意得，
，
解得．
故选D．
4．A
【分析】先证明为等边三角形，得出，进而得出优弧所对圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】由图可得， ，∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴优弧所对圆心角为，
∴优弧的长为．
故选：A．
5．A
【分析】先利用含角的直角三角形的性质求出的长度和的度数，再根据半径相等判定为等边三角形，求出的度数，进而得到弧所对的圆心角的度数，最后代入弧长公式计算弧的长度．
【详解】解：连接，
∵在中，，，，
∴，，
∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
6．C
【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解．
【详解】解：四边形的内角和为，
四个扇形的圆心角之和为
四个圆的半径都是，
四个扇形的面积之和．
7．A
【分析】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式．证明是等边三角形是本题的关键．利用含30度的直角三角形三边的关系得到，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，得到，即旋转角为，再利用弧长公式计算即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，即旋转角为，
∴，
∴点走过的路径长为．
故选：A．
8．B
【分析】先由直径所对圆周角为直角得，结合角平分线算出圆周角为，再利用圆周角定理得到圆心角、均为，求出圆半径，分别计算直角三角形与扇形的面积，二者相加即为阴影面积．
【详解】解析 ∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
如图，连接，
由圆周角定理可知，
，
∵，
∴，
，
∴．
9．
【分析】本题考查扇形弧长公式与扇形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解答本题的关键，先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可得到结果．
【详解】解：设此扇形的半径为，由题意得，圆心角，弧长，
根据弧长公式得，解得．
根据扇形面积公式．
10．6
【分析】根据扇形的面积公式，将已知的弧长与面积代入公式，即可求解扇形的半径．
【详解】解：设扇形的半径为，已知扇形的弧长，面积．
由扇形面积公式，可得
化简得
两边同时除以，得．
11．
【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解．
【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为，
摩天轮每分钟转动的圆心角度数为，
∴后圆心角，
∴的长度为．
12．/
【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合，推出圆心在轴上，设圆心，设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：点，的坐标分别是，，
，
垂直平分，
圆心在轴上．
如图，设所在圆的圆心为，连接，．
设的半径为，
在中，，即，解得．
，
，
的长为．
13．
【分析】根据三角形内角和定理求出，由题意得，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质求出，最后根据扇形面积公式计算．
【详解】解：，，
，
由题意得，，
，
，
扇形的面积为．
14．
【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，，
点和是格点，为直径，点为圆心，
点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，．
，，
．
是直角三角形，且．
图中阴影部分的面积
．
15． 2 2 /150度
【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：．
（1）据扇形面积公式求解即可；
（2）根据扇形面积公式求解即可；
（3）先根据求出半径，再根据求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
∴，
∴．
故答案为：2；
（2）∵扇形的圆心角为，面积为，
∴
解得（负值舍去）．
故答案为：2；
（3）由（1）知，，
∴，
∴．
∵
∴．
故答案为：．
16．
【详解】解：设，，
，，
，
，
，
，
．
17．证明：如图，连接，
设的半径，则，
∵的长度，
的长度，
∴两弧的长度相等．
即：的长等于的长．
【分析】根据圆周角定理可得出，设，则，再根据弧长公式可得出结论．
【详解】略
18．(1)扇形圆心角的度数为
(2)花窗的面积为
【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键．
（1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可；
（2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可．
【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点，
∴，
设的度数为，
∵的长度为．
∴，解得，
∴扇形圆心角的度数为；
（2）解：∵
，
∴，
∴花窗的面积为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数；
（2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵是的直径，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
即阴影部分的面积为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质可知，在上任取一点G，连接，把放到圆内接四边形中求解即可；
（2）由点D为AC的中点可证为等边三角形，进而确定出所在的扇形的圆心角度数，代入公式求解即可．
【详解】（1）解：如图1，在上任取一点G，连接．
，是的中点，
，
．
,
在圆内接四边形中， ，
；
（2）解：如图2，连接．
，D为的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
的长为
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