资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十九章 圆 章末测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册
一、单选题
1．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
3．如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
7．如图，为的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ）
A．12 B．18 C． D．24
11．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )

A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
12．如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）

A． B． C． D．π
二、填空题
13．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________．
14．如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为______度．
15．如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为______．
16．已知：如图是的直径，，点C为弧的三等分点（更靠近A点），点P是上的一个动点，取弦的中点D，求线段的最大值为_________________．

三、解答题
17．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
18．如图，是的直径，D是弦延长线上一点，且，的延长线交于点E，连接交于点F．
(1)求证：；
(2)若是的中点，求的度数．
19．已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点，交线段于点．连结．
(1)求证：；
(2)连结，如果，求证：．
20．已知直线，在直线上方求作一点C，使得．
下面是小张的作法：
①分别以A，B为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点O；
②以点O为圆心，长为半径画圆；
③在上任取一点C（不与A，B重合），连接．即为所求．
(1)使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接．
∵，∴是等边三角形．∴．
∵A，B，M在上，
∴（________________________）（填推理的依据）．
∴．
∵四边形内接于，
∴（________________________）（填推理的依据）．
∴．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）．
(1)请你在图中画出；
(2)求在旋转过程中，点A经过的路径长和线段所扫过的图形面积（结果保留）．
22．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果）
23．如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为．
(1)求的长度；
(2)如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积．
24．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
25．如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长；
(3)若，点P在劣弧上运动的过程中，
①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D B D C D B C
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解．
【详解】解：点P在圆O外，
点P到圆心O的距离大于圆O的半径r，
点P到圆心O的距离为，且圆的半径，
．
故选：A．
2．B
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD的度数．
【详解】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论．连接常用的辅助线并结合数形结合的思想是解答本题的关键．
3．A
【分析】根据圆周角定理结合直角三角形的性质进行求解即可.
【详解】解：∵是的直径，
∴，
又∵，
∴.
4．D
【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案．
【详解】解：四边形内接于，
，
由圆周角定理可得：．
5．B
【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案．
【详解】解：连接，
∵，为的直径，
∴，
∴，
∴．
6．D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，
设的半径长为，
∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径长为米．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵为的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，弦，
∴，
又，
∴．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵中，，
，
斜边上的中线长，
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长.
故选：B．
10．C
【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度．
由题意知，， ，
设，根据弧长公式可求，
则最短路程为：在中，．
11．A
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
12．C
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键．
解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上，
∴，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴点C经过的路径长为：，
故选：C．
13．G
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点．
【详解】解：如图，点G即为所求作的点．
故答案为：G．
14．25
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．连接、，先根据圆内接四边形的性质求出，然后根据，求出即可解答．
【详解】解：连接、，
，
，
，
，
．
故答案为：25．
15．
【分析】如图，连接．证明是等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵是直径，
∴，
∵的度数为，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
16．/
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识点，能够正确画出辅助线是解题关键．连接，以为直径作圆G，过G作于F，求出，求出、长，根据勾股定理求出，再根据两点之间线段最短得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵直径，
∴，
连接，以为直径作圆G，过G作于F，

∵D为的中点，过O，
∴，
即点D在上，，
∴，
∵点C为弧的三等分点（更靠近A点），
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴的最大值是，
故答案为：．
17．(1)
证明：∵是的直径，，
，
，
，
，
；
(2)
【分析】本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结合勾股定理计算线段长度．
（1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系；
（2）连接、，利用垂径定理得，结合勾股定理列方程求半径，再计算的长度．
【详解】（1）略
（2）解：连接、，
则，
∵且，
∴，
∵是的直径，是的弦，于点
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
即的长是．
18．(1)
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质，正确地添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，由是的直径，得，而，则垂直平分，所以，进而根据圆周角定理证明；
（2）如图，连接，由是的中点，根据垂径定理得，证明是等边三角形，即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
∵是的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴的度数是．
19．(1)
证明：如图，连结、，
∵以为圆心、为半径画弧交半圆于点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
(2)
证明：如图，连结，
设，由（1）可知，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∵以为圆心、为半径画弧，交线段于点，
∴，
∴，
∴四边形内接于，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）如图，连结、，根据弧、弦、圆心角的关系可推出，再利用圆周角定理，通过证明同位角相等，得到结论；
（2）设，由（1）可知，根据等边对等角表示出、，进而得到，然后根据两直线平行同位角相等，表示出，接着由题意知，可得到，最后根据圆内接四边形对角互补，即可求得值，从而求得，根据弧所对圆心角的关系即可证得结论．
【详解】（1）略
（2）略
20．(1)
如图所示，即为所求；
(2)同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补
【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查尺规作图复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．(1)
如图，即为所求作的三角形；
(2)；
【分析】本题主要考查了旋转作图，扇形的弧长和面积计算，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，先作出点A、B的对应点、，然后再顺次连接即可；
（2）根据扇形弧长和面积计算公式进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：由题可得，为等腰直角三角形，，，，
∴根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴点A经过的路径长为：，
线段所扫过的图形面积为：；
22．(1)证明：如图，连接．
为的直径，
．
．
又，
．
(2)阴影部分的面积为
【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解．
【详解】（1）解：略
（2）解：如图，连接．
为的直径，
．
，，
，，．
在中，，
．
，
即阴影部分的面积为．
23．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查圆的垂径定理、正方形的性质，求弓形的面积等，能够画出辅助线是解题的关键．
（1）连接，，作于点，交于点，并结合正方形的性质，得到，通过平行线间的距离处处相等，得到，再根据垂径定理求解即可；
（2）过点作，连接，，先根据垂径定理求出、的值，再通过三角函数的计算推出，，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，，作于点，交于点，
∵正方形，正方形水平放置在地面，正方形边长均为，
∴，
∴，
∵圆心与地面的距离为，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴的长度为．
（2）如图，过点作，连接，，
∵，，
∴，，
∵，根据勾股定理求得，
∴，
∴，，
∴，
，
∴阴影部分的面积为．
24．(1)
(2)20.7
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图1，
，则，
∴，
如图2，
，作于D，则，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵圆锥的底面直径，
∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，
则，解得，
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键．
25．(1)
(2)7
(3)①；②的值是定值96．
【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到；
（3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可；
②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形
∴
∵四边形内接于
∴；
（2）如图所示，延长到点F使，
∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
∴；
（3）①由（2）可得，
∵点P在劣弧上运动
∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度
∵是等边三角形
∴
∴的最小值为
∴的最小值为；
当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示，
∴此时是的直径
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，负值舍去
∴的最大值为8
∴的最大值为8；
∴的值的取值范围是；
②如图所示，延长到点F使，过点A作
由（2）得，是等边三角形
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
．
∴的值是定值96．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑