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整式的乘法 章末测试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．14
5．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
8．若的展开结果中不含项和x项，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．若，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
10．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论：
①；
②是8的倍数；
③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．计算的结果是_________．
12．已知，则的值为________．
13．若展开后不含的二次项，则常数的值为________．
14．已知，，，则a，b，c的大小关系为__________．
15．发现：，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是_________．
16．如果等式，则等式成立的x的值为_____ ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，是某花园的平面示意图，其中四边形是正方形，四边形是长为，宽为的长方形，且，以长为半径作四分之一圆，以长为直径作半圆，园艺师计划在图中阴影部分种花，其余部分铺设草坪．（取3）
(1)求用于种花的面积；
(2)若铺设草坪每平方米的费用是30元，当，时，求铺设草坪的总费用．
20．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题；
(1)若，求x的值；
(2)若，，用含m的代数式表示n；
(3)已知，，用含p，q的式子表示 ．
21．【阅读材料】我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，
当时，有最小值－4．
【解答问题】
(1)求代数式的最小值；
(2)若，有最大值还是最小值？求出这个最值；
22．课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：
(1)根据规律写出的展开式：___________．
(2)根据规律写出的展开式：___________．
(3)利用上述规律计算：．
23．学方差公式后，就下面内容展开探究．
(1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）．
(2)①已知，，则的值为_____________．
②计算：（使用乘法公式简便计算）．
(3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果．
24．定义：多项式、、，如果满足（为常数），则称多项式、、为一组平衡多项式，其中是该组平衡多项式的平衡值．
例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，9是该组的平衡值．
(1)判断多项式，，是否为一组平衡多项式？若是，请求出该组平衡多项式的平衡值；若不是，请说明理由；
(2)多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式，求，，之间的数量关系；
(3)多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式，请直接写出该组平衡多项式的平衡值．
25．理解图形，完成下列各题：
(1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是________________；若，，则该大正方形的边长为________；
(2)【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，，则________；
(3)仿照这个方法，请你尝试解决：若，求的值；
(4)【解决问题】如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C D A A D D C
1．C
【详解】解：．
2．C
【分析】本题考查了整式的乘法，涉及同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，正确掌握公式逐一判断是关键．
【详解】解：A：，故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C正确；
D：，故D错误；
故答案为C.
3．C
【分析】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键．逆用积的乘方运算法则即可计算．
【详解】解：
．
故选：C．
4．C
【详解】先利用表示出，然后利用同底数幂的除法计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
5．D
【详解】解：A．，符合平方差公式．
B．，符合平方差公式．
C．，符合平方差公式．
D．，不符合平方差公式．
6．A
【分析】根据新定义的运算得到整式的混合运算，根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；然后合并同类项，求解即可．
【详解】解：根据新定义运算可得
，
A选项符合题意．
7．A
【详解】，
移项得 ，
．
8．D
【分析】展开多项式，将展开式不含项和项的条件转化为对应项系数为0，即可求解．
【详解】解：
，
展开结果中不含项和x项，
，，
解得：，即，
．
9．D
【分析】先根据等式，得，再将所求式子变形后整体代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
10．C
【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值；
②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误；
③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断．
【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为，
即；
．
故①正确；
②根据①找出的规律知：
，
是8的倍数．
故②正确；
③
若，则原式，
而0不是正整数，故不可能是“和谐数”．
故③错误.
11．/
【详解】解：．
12．16
【分析】将所求代数式变形为以为底的幂，利用同底数幂的乘法法则得到指数为，结合已知等式即可计算出结果．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴原式．
13．
【分析】将多项式按乘法法则展开，合并同类项后，令二次项系数为0，即可求出常数的值．
【详解】解：展开原式得：
，
∵展开后不含的二次项，
∴，
解得．
14．
【分析】将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数的大小，当底数大于1时，指数相同，底数越大，幂越大，即可得到三者的大小关系．
【详解】解：， ， ，
因为，且指数都为， ，
所以 ，即．
15．
【分析】先用平方差公式补齐因式，对，连续化简，得到；再观察的个位数字周期：指数奇数时个位为4，指数偶数时个位为6，据此求出个位，再减1得到整个式子的个位数字．
【详解】解：
……
观察4的乘方个位：个位是4，个位是6，个位是4，个位是6，周期为2．
64是偶数，故个位数字为6．
，
即最终结果的个位数是5．
16．或2或1
【分析】需分三种情况讨论：①指数为且底数不为；②底数为；③底数为且指数为偶数，分别计算验证即可．
【详解】解：分三种情况讨论：
（1）当且时，
由得，
此时，则，符合题意．
（2）当时，
解得，
此时，则，符合题意．
（3）当时，
解得，
此时，则，符合题意．
综上所述，等式成立的的值为或或．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．化简为，值为2027
【详解】解：
，
当，时，
原式．
19．(1)
(2)3780元
【分析】（1）根据圆的面积公式计算即可得出结果；
（2）先表示出铺设草坪的面积，再代入，，最后乘以30即可．
【详解】（1）解：
．
答：用于种花的面积为．
（2）解：
．
当，时，．
（元）．
答：铺设草坪的总费用为3780元．
20．(1)x的值为3
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可；
（2）由题意得，将变形为，再代入化简即可；
（3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可．
【详解】（1）解：，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴x的值为3．
（2）解：∵，，
∴，
∴
，
∴．
（3）解：∵，，
∴．
21．(1)
(2)有最大值，为
【分析】（1）先用配方法将多项式化为完全平方式加常数，再利用平方非负性求最小值；
（2）先提取负号后配方，再根据完全平方非负判断代数式存在最大值并求值．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
∴最小值为．
（2）解：有最大值，
∵
∴
∴
∴有最大值，为．
22．(1)
(2)
(3)64
【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可；
（2）将代入（1）中的结论，即可得出结果；
（3）根据算式的特点，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵，
∴当时：；
（3）解：
，
符合展开式（系数为），
∴
．
23．(1)
(2)①5；②
(3)．
【分析】（1）根据图1中的阴影部分拼成图2的长方形，得，根据图形分别求出、，即可得．
（2）根据得，根据公式得，再根据即可求出的值．
（3）先计算的乘方后，再根据计算，再约分后找到规律，计算即可．
【详解】（1）解：如图，
在图1中，，
在图2中，，
∵图1中的阴影部分拼成图2的长方形，
∴，
∴．
（2）解：①∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的值为5．
②
（3）解：原式
24．(1)多项式，，是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义判断即可得到答案；
（2）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义令含x的项的系数为0即可得到答案；
（3）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义令含x的项的系数为0求出k和t的值，进而求出常数项的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴
，
∴多项式，，是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25；
（2）解：∵，，，
∴
，
∵多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式，
∴，即；
（3）解：∵，，，
∴
，
∵多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式，
∴，
∴，
∴，
∴该组平衡多项式的平衡值为4．
25．(1)，8
(2)7
(3)8
(4)6
【分析】（1）整体图形是一个边长为的正方形，其面积为；图形有一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为，宽为的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可；再利用完全平方公式求解即可；
（2）求解即可．
（3）设，，则，，再由完全平方公式变形求解即可；
（4）设，则，根据圆的面积公式，得，利用求解即可；
【详解】（1）解：由题意得，可得等式为，
由，，
得，
故，（不符合要求，舍去），
即该大正方形的边长为8；
（2）解：∵，
可设，，则，．
，
，
；
（3）解：设，，
则，．
，
，
；
；
（4）解：设，
则，
∵，
，
，
，
，
，
；
，
的面积为6．
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