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整式的乘法 章末强化试题
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册
一、单选题
1．下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．运用平方差公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
5．若是关于的完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或
6．已知，，则的值为（ ）
A．非负数 B．负数 C．非正数 D．正数
7．已知，，，则满足的关系式是（ ）．
A． B． C． D．
8．新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
10．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论：
①；
②是8的倍数；
③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．计算：________．
12．计算：________．
13．已知，，那么的值是______．
14．若，则______．
15．已知是完全平方式，则的值为________．
16．若实数满足，则代数式的值为__________．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
20．琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5．
(1)请你帮她完成“计算：”；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含的一次项．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)若，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
22．为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形．
(1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示）
(2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用．
23．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到．
(1)根据上述信息，分别计算出m，n的值．
(2)请你计算出这道题的正确答案．
24．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)的结果是____________；
(2)若，求的值；
(3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则）
25．阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
解决问题：
(1)若满足，则 ；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，边长为的正方形和边长为的正方形摆放在一起（），其中、、三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C D D C B C C
1．B
【详解】解：A选项中与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
B选项：，故本选项符合题意；
C选项：，故本选项不符合题意；
D选项：，故本选项不符合题意；
2．D
【详解】解：A选项：，运算错误；
B选项：，运算错误；
C选项：，运算错误；
D选项：，运算正确．
3．A
【分析】本题考查平方差公式的结构应用，平方差公式要求将计算式变形为“两个数的和乘这两个数的差”的形式，即符合的结构，据此对原式变形即可得到结果．
【详解】解：，符合平方差公式的运用要求．
4．C
【分析】由非负数和为0的性质求出的值，再逆用积的乘方运算简化待求式.
【详解】解：∵，，且，
∴，，
解得，.
∴
.
5．D
【详解】解：∵是关于的完全平方式，
∴，
∴，即或．
6．D
【分析】先求，再配方判断符号．
【详解】解：
，
∵，
∴．
7．C
【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，通过计算幂值，根据同底数幂值相等则指数相等，推导的关系式．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．B
【分析】读懂新运算规则，按规则列出算式后，展开合并同类项即可得到结果．
【详解】解：根据新运算规则，得：
．
9．C
【分析】分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案．
【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为；
图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的长方形面积，即为；
∵图甲和图乙中阴影部分面积相等，
∴．
10．C
【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值；
②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误；
③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断．
【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为，
即；
．
故①正确；
②根据①找出的规律知：
，
是8的倍数．
故②正确；
③
若，则原式，
而0不是正整数，故不可能是“和谐数”．
故③错误.
11．
【分析】运用初中所学的完全平方和公式即可求出结果．
【详解】解：
12．
【详解】解：
13．
30
【详解】解：∵，，
∴.
14．
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，根据题意可得，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】利用完全平方式的结构特征即可求出的值．
【详解】解：是完全平方式，
，即．
16．
【分析】利用换元法设，则由已知可得，利用平方差公式求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．(1)
(2)0
【分析】本题考查同底数幂的乘法法则和合并同类项，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（1）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可；
（2）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可.
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
18．，
【详解】解：
，
当，时，原式．
19．(1)18
(2)63
(3)
【分析】本题考查的同底数幂的乘法，除法的逆用，幂的乘方的逆用，熟记运算公式是解本题的关键；
（1）由，再把，代入计算即可；
（2）由，再把，代入计算即可；
（3）由，再把，代入计算即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）∵，，
∴；
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可；
（2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设被遮住的一次项系数为，
则
，
因为这个题目的正确答案是不含一次项的，
所以，所以，
所以被遮住的一次项系数为．
21．(1)6
(2)，
【分析】本题考查了恒等式的性质，解方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握性质和运算是解题的关键．
（1）将等式的右边展开，根据恒等式的性质，解答即可；
（2）仿照示范的例子解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
22．(1)
(2)11300元
【分析】（1）先求出绿化休息区的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可；
（2）先求出铺设塑胶地面的面积，再根据塑胶地面的造价为每平方米25元求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：绿化休息区是一个长为，宽为的长方形，
则绿化休息区的面积为
，
答：绿化休息区的面积为．
（2）解：铺设塑胶地面的面积为
，
∵，，
∴，
∵塑胶地面的造价为每平方米25元，
∴（元），
答：铺设塑胶地面所需的费用为11300元．
23．(1)，
(2)
【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到的值．
（2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果．
【详解】（1）解：由题意，得
，
即，
∴，，
∴，．
（2）解：原式
．
由（1）知，，，
∴原式．
一题多解法
（2）由（1）知，，， 所以原式 ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答；
（2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可；
（3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答．
【详解】（1）解：．
（2）解：，且，
，
，
．
（3）解：，，，且，
，
即．
25．(1)10
(2)21
(3)10.5
【分析】（1）设，，则，，然后计算的值即可；
（2）设，，则，，然后计算的值即可；
（3）分别求出，，根据阴影面积计算即可．
【详解】（1）解：设，，则：
，，
∴
；
（2）解：，
设，，则：
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形和是正方形，
∴，，
∵，
∴
又，且，
∴，
∴，
又，
∵，
∴，
∴，
∴阴影面积
．
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