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高二下学期期末练习
一、单选题
1．下列表示集合和关系的图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．220 B．450 C．455 D．715
5．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（ ）种
A．12 B．18 C．36 D．72
6．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
8．若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若回归方程为，则变量x与y正相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本中心点
C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．
B．恰有2个零点
C．恰有2个极值点
D．曲线在点处的切线方程为
三、填空题
12．计算：__________．
13．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．
14．甲、乙两位老师各自从6名学生中随机选2人调研，记为被两位老师同时选中的学生人数，则_________．
四、解答题
15．设
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
16．根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
(1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
(2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．
17．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
18．一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：
温度 21 23 24 27 29 32
产卵数个 6 11 20 27 57 77
经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，.
(1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数.
19．已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《2026年6月30日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D C D B D BD BD
题号 11
答案 ABD
1．A
【详解】因为集合，，
所以集合和关系的图为A.
2．A
【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.
【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立，
当时，满足，但不成立，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
3．D
【详解】由题意得，解得或，
所以函数的定义域为.
4．D
【分析】先根据等式两边的常数10确定，再根据二项式系数的性质，即可求得.
【详解】由题可知，等式左边每一个二项式展开之后常数项均为1，等式右边常数项为10，
则左边展开共有10个1，则由可得，
因为为的系数，所以结合等式左边，可得，
则.
5．C
【分析】先将4个主题按2,1,1的结构分组，再将三组分配给3名游客，结合分步乘法计数原理计算即可.
【详解】先将4个主题分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为；
再将分好的三组全排列，分配给3名不同的游客，排列方法数为；
根据分步乘法计数原理，总游览方式共有种.
6．D
【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值．
【详解】，
，
，
，
，，
当且仅当即时等号成立，
的最小值为．
7．B
【分析】用贝叶斯公式求解，先明确患病、未患病、阳性三类事件的基础概率与条件阳性概率，算出患病且阳性的分子、全体阳性人群的分母，两者相除得到阳性前提下真实患病的概率．
【详解】设事件为“实际患病”，事件为“检测结果呈阳性”，
，，，，
所以．
8．D
【分析】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为在上必须有2个零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得.
【详解】①当时，，则，所以在上单调递增，
因为，而，
由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点；
②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为，
要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点，
即需使在上有两个不相等的实数根，
即，解得，
综上可得.
9．BD
【分析】根据线性回归方程的相关性判断、经验回归直线的性质、相关系数的定义、决定系数的意义逐项分析判断即可.
【详解】选项A：回归方程的斜率为，所以变量与负相关，A错误.
选项B：根据经验回归直线的性质，回归直线一定经过样本点中心，B正确.
选项C：若散点图中所有点都在斜率为正的直线上，则两个变量完全正相关，相关系数，C错误.
选项D：决定系数的取值越接近1，则残差平方和越小，回归模型对样本数据的拟合效果越好，D正确.
10．BD
【分析】直接对等式通过赋值法、导数法分别计算各选项对应的系数和，再逐一判断选项正误可得.
【详解】选项A：令，代入等式左边得，即，A错误.
选项B：是等式两侧的系数，左边最高次项为，故，B正确.
选项C：令，代入等式左边得，即，
结合得，C错误.
选项D：对等式两侧关于求导，
得，
令，左边值为，即，D正确.
11．ABD
【分析】求导，令，得，即可判断A；利用导数的几何意义求解判断D；利用导数的正负分析函数的单调性，进而求解判断BC.
【详解】由，得，
令，得，解得，故A正确；
则，，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即，故D正确；
由于的定义域为，且，
令，得，令，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数只有1个极值点，故C错误；
而， ， ，
结合的单调性可得恰有2个零点，故B正确.
12．12
【详解】
13．171
【分析】根据杨辉三角，总结出规律，确定其第行的第三个数的通项，再确定第35项是第19行的第三个数，由通项公式即可求出结果
【详解】由杨辉三角可得，第2行的第三个数为1；
第3行的第三个数为 ；
第4行的第三个数为 ；
第5行的第三个数为 ；
……
因此第行的第三个数为 ；
而该数列的第35项是第19行的第三个数，所以第35项是
故答案为：171
14．
【详解】X为同时被选中的人数，所有可能取值为，
总基本事件数为：甲乙各选2人，共种，
即没有学生同时被同时选中，乙选的2人都从甲未选的4人中选，
即恰好1个学生同时被选中，先选同时选中的1人，甲再选1个剩余，乙再选1个剩余，
即两个学生都同时被选中，甲乙选的两人完全相同，
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过二项式展开式的通项公式求得项的系数，即；
（2）利用赋值法，分别令，，两式相加，即可求得偶次项系数和；
（3）对原式求导，再利用赋值法，令，即可求得的值．
【详解】（1） 二项式的展开式通项为，
令，可得，
所以 .
（2）对，
令，得①；
令，得②；
①+②得，，
故.
（3）由，
两边求导，得.
令，则.
所以的值为.
16．(1)
(2)
0 1 2 3
【分析】（1）将事件“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”拆分为“抽取的是本地会员且满意”和“抽取的是外地会员且满意”这两个互斥事件，分别计算出其概率再相加.
（2）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布的概率公式求出的分布列，最后利用数学期望公式计算期望.
【详解】（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”.
因为本地会员占70%，外地会员占30%，.
本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，.
.
即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为.
（2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量.
由题意，可取.
.
的分布列为
0 1 2 3
.
17．(1)
(2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元）
【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式；
（2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润.
【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元，
且年利润年销售收入固定成本流动成本，
当时，流动成本，
所以；
当时，流动成本，
所以.
因此，年利润的函数解析式为.
（2）分当时，由基本不等式，当且仅当， 即时取等号，满足，
因此，（万元）
当时，是开口向下的二次函数，
对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值.
比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）.
18．(1)
(2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii）
【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解；
（2）（i）求出线性回归模型的决定系数，与比较即可得解；
（ii）直接把代入，计算即可得解.
【详解】（1）由题意，则，，
，，
所以y关于x的线性回归方程为：.
（2）（i）对于线性回归模型，，，
决定系数为，
因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好.
（ii）当时,（个）
所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.
19．(1)
(2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(3)
【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得；
（2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得；
（3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得.
【详解】（1）当时，，函数定义域为，
所以， ，切线斜率，
则曲线在点处的切线方程为.
（2）因为函数，函数定义域为，
所以，
因为，故，导数符号由决定，分情况讨论：
若时，恒成立，，在上单调递减；
若时，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由不等式化简得：，因，变形得：.
所以对，不等式恒成立.
令，求导得，
当时，，，故，在上单调递减，
因此的最大值为，
故， 即的取值范围为.
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