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2026年秋期人教版数学八年级上册期中复习综合题一
一、单选题
1．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝40°，则∠CDE的度数为（　　）
A．50° B．40° C．60° D．80°
3．如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
5．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　）
A．28 B．26 C．24 D．20
7．若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a﹣5|+ ＝0，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．12 C．15或12 D．9或12
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴上，点A坐标为，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E，再分别以点D、点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点F，作射线交于点P．则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20 cm
10．如图1，中，，点从点出发，沿折线匀速运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点运动到的中点时，线段的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC的周长为　 　.
12．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　．
13．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：；；；，正确的有　 　（填序号）
14．请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：　 　.
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=3，AB=5，则CD=　 　．
三、解答题
16．如图， 在 中， 点D在上，且平分 过点D作 于点E，若，，求的长度．
17．如图所示，一根长2.5米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，则B端沿地面向右滑行．
（1）木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？请说明理由；若不变，求的长．
（2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少米？
18．在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：
已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，．
小壮说：若，则四边形为矩形；
小刚说：若，则四边形为矩形．
小强说：若，则四边形为矩形．
请对三人的说法任选其一进行判断并证明．
19．如图，在 中， 是 边的中线， ， ， ，求 的度数.
20．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
⑴画出△；
⑵画出△ABC的高BD；
⑶连接、，那么与的关系是____，线段AC扫过的图形的面积为____.
⑷在AB的右侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有____个.
21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
22．在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ▲ ；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值.
23．如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE.
求证：BD=2CE.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D选项正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABD=∠CDB；如果添加BE=FD，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加BF=DE，能推出BE=DF，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加∠1=∠2，可用“ASA”证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，由等角的补角相等推出∠AEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行推出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，据此即可逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝40°，
∴∠A＝∠CDA＝40°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，
∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝40°，
∴∠B＝20°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣20°）＝80°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
故选：C．
【分析】
根据等腰三角形的性质推出∠A＝∠CDA＝40°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B＝20°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝ AB AF＝×4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB AF＝BF AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，则DE=CD-CE=3，由折叠的性质可知：△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，则BF⊥AE，AH＝GH，根据同角的余角相等可得∠ABH＝∠FAH，证明△ABF≌△DAE，据此判断①；易得DF＝AD-AF＝1，据此判断②；根据勾股定理求出BF，然后根据三角形的面积公式可判断③；根据△ABF的面积公式可得AH，然后求出AG，根据
GE＝AE-AG求出GE，据此判断④.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴
故答案为：B．
【分析】根据旋转性质可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】在平行四边形ABCD中，
2（AD+CD）=36，
∴AD+CD=18，
易证△AOE≌△COF，
∴AE=CF，OE=OF=3，
∴EF=6
∴CF+CD+ED+EF
=AE+ED+EF+CD
=AD+CD+EF
=18+6
=24
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍，由 平行四边形ABCD的周长为36 得出AD+CD=18，然后证出△AOE≌△COF，根据全等三角形对应边相等得出AE=CF，OE=OF=3，最后根据四边形周长的计算方法及线段的和差、等量代换即可算出答案。
7．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；非负数之和为0
【解析】【解答】解：根据题意得a-5=0，b-2=0，
解得a=5，b=2，
（ 1 ）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，
不能组成三角形；
（ 2 ）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，
能组成三角形，
周长为2+5+5=12.
故答案为：B.
【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解.
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵点A坐标为，∴
∵，
由作图可得：平分
∴，
故选：C
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与计算，等腰三角形的判定，根据题意的尺规作图可知：OP平分∠AOC，由平行四边形的性质：平行四边形对边平行可知：AC∥OB，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠APO=∠POB，等量代换可得：∠APO=∠AOP，由等腰三角形的性质：等角对等边可知：，由两点间的距离公式可得： 即 即可得出点P的坐标，即为答案．
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝ AB＝20 cm；
故答案为：D．
【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图像可知，，，，
是，
解得
，
运动到的中点时，
故选：C
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象和勾股定理；通过观察图可知，，，，由在Rt△ABC中，根据勾股定理可得出：，解方程即可求出的值，从而求出，，当点运动到的中点时，为的中线，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：即可得出答案．
11．【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形可得：AB=AC=BC=4，则△ABC的周长为12.
【分析】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形，可证明△ABC是等边三角形，就可求出此三角形的周长。
12．【答案】2 或2 或2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB sin60°=4× =2 ；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP= = =2 ，
在直角三角形ABP中，
AP= =2 ，
情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为：2 或2 或2．
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
14．【答案】等边三角形的三个角都相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为
“等边三角形的三个角都相等”，
故答案为：等边三角形的三个角都相等.
【分析】把原命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的题设与结论进行交换即可.
15．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CE∥AD交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，CE=AD=3，∠CED=∠D=2∠B，
∵∠CED=∠B+∠BCE，
∴∠B=∠BCE，
∴BE=CE=3，
∴AE=AB﹣BE=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】首先过点C作CE∥AD交AB于点E，可得四边形ADCE是平行四边形，继而可证得△BCE是等腰三角形，则可求得答案．
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
17．【答案】（1）1.25米；（2）1.3米
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
18．【答案】解：小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由如下：证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
若选择小刚：
证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
若选择小强：
证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】选择小壮：结合OA=OC，可通过AAS证明，由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知：OD=OB，由平行四边形的判定可知：对角线互相平分的四边形是平行四边形可知：四边形为平行四边形，再由OA=OB可得：，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；
选择小刚：同上可证证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质：两直线平行，同旁内角互补可知：∠ABC+∠BCD=180°，再由∠ABC=∠BCD可证明：，再根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
选择小强：同上可证证明四边形为平行四边形，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和可知：∠1=∠2+∠OBC，由∠1=2∠2可知：∠2=∠OBC，再由等腰三角形的性质；：等角对等边可知：OB=OC；由线段的和差可证得：，再根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可证明．
．
19．【答案】解：如图，∵ 是 边的中线， ，
∴ ，
， ，而 ，
∴由勾股定理的逆定理得： 是直角三角形，且 ，
∵又 ，
∴ ，
∵ 是 的邻补角，
∴ .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用三角形的中线的定义可求出CD，AD的长，再利用勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形，再求出∠BDC的度数；然后根据∠ADB+∠CDB=180°，可求出∠ADB的度数.
20．【答案】解：(1)如图，根据题意可得，先将图形向下平移1个单位长度，然后向右平移6个单位长度，△即为所求作.
(2)如图，线段BD即为所求作；
(3)相等；10；
(4)8.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；勾股定理；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：由图可得
，
线段扫过的图形的面积为.
故答案为：相等；10.
（4）解：满足条件的点有8个，如下图：
故答案为：8.
【分析】(1) 根据平移的性质，分别作出A， B， C的对应点A'， B'， C'即可；
(2)根据三角形高的定义作出高BD即可；
(3)根据勾股定理求出AA'和CC'的长，则可判断 与的关系，利用分割法求面积即可；
(4)根据等底等高三角形面积相等找出一个符合条件的点Q，再过Q作AB的平行线，即可解答.
21．【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，
∴AB//CD且AB=CD，
∴ ，
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴BE=DF
同理可证△AED≌△CFB
∴BF=ED
∴四边形BEDF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可证得AB//CD且AB=CD，利用平行线的性质可得到∠BAE=∠DCF，再利用SAS可证得△ABE≌水星记CDF，然后利用全等三角形的对应边相等，可推出BE=DF，同理可证得BF=ED，然后根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
22．【答案】【发现问题】：BQ=PC；
【探究猜想】：结论：BQ=PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP；
【拓展应用】：线段CQ长度最小值是1
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【发现问题】：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
【拓展应用】：如图，
在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
在△CAQ和△EAP中，
，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2，
∴AB=4，
∵AE=AC=2，
∴BE=AB-AE=2，
在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，
∴EF=BE=1.
故线段CQ长度最小值是1.
【分析】【发现问题】根据旋转的性质求出∠BAQ=∠CAP，利用“SAS”证明△BAQ≌△CAP，则可得出BQ=PC；
【探究猜想】与（1）同理， 利用“SAS”证明△BAQ≌△CAP ，即可得出结论；
【拓展应用】 在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ=AP，∠PAQ=60°，利用“SAS”证明△CAQ≌△EAP ，得出CQ=EP，当EF⊥BC (点P和点F重合)时，EP最小，根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结果.
23．【答案】证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图所示.∵CE⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°.又∵∠1=∠2，∴∠F=∠BCE，∴BC=BF，∴CE=FE= CF，即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°，∠F+∠ACF=90°，∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE 。
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】延长CE交BA的延长线于点F，如图所示.根据垂直的定义得出∠BEC=∠BEF=90° ，根据三角形的内角和得出∠F=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BF，从而根据等腰三角形的三线合一得出CE=FE=CF， 即CF=2CE ，根据同角的余角相等得出∠2=∠ACF，然后利用ASA判断出BD=CF，根据等量代换得出BD=2CE 。
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