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整式 章末测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册
一、单选题
1．下列选项中是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．已知数a满足，那么（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（ ）
A．359 B．360 C．361 D．362
4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．在等式的括号内依次填入的代数式是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．下列各式中，去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（ ）.
A．24 B．43 C．57 D．69
8．已知，则代数式的值是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
9．多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2026 D．－2026
10．已知，，，则（ ）．（用含，的代数式表示）
A． B． C． D．
11．已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．64
12．对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，…下列说法：①；②若，则；③若，则不存在正整数，使得是的倍数．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．整式按a降幂排列的结果是________________________．
14．若单项式与是同类项，则的值是______．
15．若，则代数式___________．
16．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______．
17．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为，即．显然能被整除，因此若能被整除，那么就能被整除，即能被整除．（1）一定能被质数________整除；（2）已知四位数，其中，，，均不为，且，．若能被整除，则满足条件的四位数的最大值为________．
三、解答题
18．化简：
(1)；
(2)；
19．先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，．
20．定义：若，则称与是关于2的友好数．
(1)3与__________是关于2的友好数；
(2)若，，判断与是否关于2的友好数，并说明理由．
21．观察下列一串单项式的特点：，，，，，
(1)按此规律写出第9个单项式；
(2)试猜想第个单项式为多少？
22．对联是中华传统文化的瑰宝，由上联、下联和横批三部分组成．如图①，上联（阴影部分）装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左、右的侧边宽相等．如图②，若上联长为，宽为．
(1)上联装裱后的天头长为_________，地头长为________，侧边宽为________；
(2)求上联装裱后的周长（用含，的代数式表示），并求出当时，上联装裱后的周长．
23．已知，．
(1)化简：；
(2)若，求的值；
(3)若代数式的值与x无关，求y的值．
24．在“生命，幸“盔”有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了两家批发商，他们之间的对话如表：
店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商甲： 你好！头盔100元/个，手套30元/副， 优惠方案：整体打九折； 批发商乙： 你好！头盔100元/个，手套30元/副， 优惠方案：原价购买两个头盔赠送一副手套．
(1)电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套，
若选择批发商甲购买，需要花费多少元．（用含的代数式表示）；
若选择批发商乙购买，需要花费多少元．（用含的代数式表示）；
(2)当时，选择哪家批发商购买更省钱？
(3)在（2）的条件下，请帮店经理设计一种更为省钱的购买方案，并求出需要花费多少元．
25．[材料1]我们知道像12，27，36，45，108…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．
[材料2]若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3 整除．
[材料3]设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（均为整数，且），记，数字和．
[解决问题]
(1)如果能被3整除，那么______（填“能”或“不能”）被3整除；
(2)求证：一定能被3整除；
(3)若三位数n是能被3整除的偶数，且满足，请直接写出3个符合条件的三位数n．
26．【知识再现】
学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则．
(1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值；
(3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B B B B A A A
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、与所含字母相同，但是字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意；
B、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意；
C、与所含字母均为，且的指数均为1，是同类项，故此选项符合题意；
D、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意．
2．D
【分析】根据绝对值的意义，分情况讨论a的取值范围．
【详解】解：当时，，不满足；
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上，或．
3．B
【分析】设甲、乙机器人数量为正整数x、y，用x、y表示A、B零件总数a、b，推导是9的倍数，从选项中选9的倍数．
【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x，y，
则，，
，一定是9的倍数，
359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除，
则的值可能为360．
4．B
【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可．
【详解】解：由数轴，得
∴，
∴
．
5．B
【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变．
【详解】解：对第一个因式变形：，
第一个括号内应填；
对第二个因式变形：，
第二个括号内应填；
综上所述，括号内依次填入和．
6．B
【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解．
【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误．
∵ 对选项B，，∴B正确．
∵ 对选项C，，∴C错误．
∵ 对选项D，，∴D错误．
7．B
【详解】分别求出圈出的是一横行、圈出的是一竖行三个数的和，进而判断即可．
【解答】解：若圈出的是一横行，则相邻的数相差1，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为；
若圈出的是一竖行，则相邻的数相差7，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为；
由此可知三个数的和为3的倍数，
答案中只有43不是3的倍数．
8．A
【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可．
【详解】解：，
∴
．
9．A
【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y取值无关得出对应项系数为0，求出m、n的值，最后代入计算即可．
【详解】解：，
∵多项式的值与x、y的取值无关，
∴，，
解得：，，
∴．
10．A
【分析】根据等式的性质，用含k，b的式子表示出，用含t，b的式子表示出，再根据用含k，t的式子表示出b，进而即可求解．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
，
故选A．
11．C
【分析】设两位数，则，则都为正整数，，，那么得到，因为c是某整数，而且是9的倍数，进一步得到或即可作答．
【详解】解：依题意，设两位数，则，
则都为正整数，，，
∵d是某个整数的平方，
∴可设，
∴，
∴是9的倍数，
又∵c是某整数，，，
∴是正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
综上，d的值为9或36．
12．A
【分析】按照操作顺序逐步计算，再分别判断每个说法即可得到结论．
【详解】解：，，
，
，
，故①错误；
由操作规律可知，时，若为奇数，则，
是奇数，
，若，则，
，
不一定为，
，故②错误；
若，则，，
计算可得：，
是的倍数，即存在满足条件，故③错误；
综上，三个说法都错误，正确的个数是．
13．
【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项．
【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项，
可得
14．
【分析】根据同类项的定义得出和的值，代入计算即可得解．
【详解】解：∵单项式与单项式是同类项．
∴，．
解得．
∴．
15．4050
【分析】先化简所求代数式，将其整理为含的形式，再整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
16．或
【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值．
【详解】解：多项式是关于，的三次多项式，
次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为，
可得，
由得，
将代入
得，
即或，
解得或，
当，时，，
当，时，．
17．
【分析】（1）根据两位数的表示方法展开求和，分解因式后即可判断对应的质数．
（2）根据能被整除的数的特征，要得到最大的四位数，优先让高位数字尽可能大，再依次验证确定低位数字即可．
【详解】解：（1） 根据题意，得：
是质数，因此一定能被质数整除．
（2） 四位数，
能被整除，
若能被整除，则能被整除．
已知，均不为，要使最大，需尽可能大，
取最大值，此时．
已知，均不为，要使数更大，需尽可能大，
当时，，，，不能被整除，不符合；
当时，，，，不能被整除，不符合；
当时，，，，不能被整除，不符合；
当时，，，，能被整除，符合要求．
满足条件的四位数．
18．(1)；
(2)
【分析】本题考查整式的加减运算，核心知识点为去括号法则与合并同类项法则．去括号时，括号前是负系数的，需将系数乘到括号内每一项并改变对应项的符号；合并同类项时，仅将同类项的系数相加，字母及字母的指数保持不变．
（1）先运用去括号法则去掉式子中的两个括号，再识别同类项并合并即可得到最简结果；
（2）先将括号前的系数乘到括号内每一项完成去括号操作，再合并同类项化简式子．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．，
【分析】先根据整式的加减运算法则化简原式，再求得x值，然后将x、y代入化简式子求解即可．
【详解】解：
，
∵x是最大的负整数，
∴，
将，代入，则原式．
20．(1)
(2)是，
理由如下：
所以与是关于2的友好数．
【分析】此题考查了有理数的加法运算，整式的加减运算，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据有理数的加法法则求解即可；
（2）根据题意计算的值，然后判断即可．
【详解】（1）解：∵
∴3与是关于2的友好数；
（2）略
21．(1)
(2)
【分析】考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．
（1）根据单项式的特点写出第9个单项式即可；
（2）通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为，由此可解出本题．
【详解】（1）解：∵当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴第9个单项式是，即；
（2）解：∵n为偶数时，单项式为负数，x的指数为n时，2的指数为，
∴猜想第个单项式为．
22．(1)
(2)当时，上联装裱后的周长为
【分析】本题考查整式加减的应用，关键是正确地列代数式；
（1）根据“天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的”列代数式即可；
（2）列代数式表示出装裱后的长和宽，再求周长即可；
【详解】（1）解：∵天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，
∴天头长为，地头长为：，侧边宽为：，
故答案为：；
（2）解：上联装裱后的长为：，
上联装裱后的宽为：，
∴上联装裱后的周长为：．
当时，，
答：当时，上联装裱后的周长为．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据偶次幂与绝对值的非负性可得，然后代入（1）中代数式进行求解即可；
（3）先计算，然后根据整式无关型问题可进行求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴
，
∵代数式的值与x无关，
∴，
∴．
24．(1)若选择批发商甲购买，需要花费元；若选择批发商乙购买，需要花费元
(2)选择批发商甲更省钱
(3)先去批发商乙购买30个头盔，另外赠送15副手套，再去批发商甲购买剩余45副手套，总共花费元
【分析】本题考查了代数式的列出与求值，解题的关键是根据两种优惠方案的规则分别计算购买所需的花费；
（1）批发商甲计算头盔与手套的原价总和后打九折；批发商乙先求赠送的手套数，再计算需付费的手套数，进而求总花费；
（2）将代入两种方案的代数式，计算后比较花费多少即可；
（3）结合（2）的结果计算即可．
【详解】（1）解：若选择甲购买，需要花费元；
若选择乙购买，需要花费元；
（2）解：当时，
若选择甲购买，需要花费；元；
若选择乙购买，需要花费：元；
，
所以选择批发商甲更省钱；
（3）解：先去批发商乙购买30个头盔，花费元，另外赠送15副手套，再去批发商甲购买剩余45副手套，花费元，总共花费元．
25．(1)
能
(2)
见解析
(3)
126，144，216（答案不唯一）
【分析】（1）根据，能被3整除，得到能被3整除，进而得到能被3整除；
（2）求出，即可得出结论；
（3）易得能被3整除，结合，且为偶数，作答即可．
【详解】（1）解：∵，且能被3整除，
∴能被3整除，
∵，都能被3整除，
∴能被3整除；
（2）证明：∵，，
∴，
∵均能被3整除，
∴ 一定能被3整除；
（3）解：∵能被3整除，
∴能被3整除，
又∵，且为偶数，，
∴可以为：126，144，216等．
26．(1)1
(2)，
(3)
，
理由：设，
∴，，
∴
，
∵的长度变化时，S为定值，
∴S的值与x取值无关，
∴，
∴．
【分析】本题考查了整式的加减．
（1）先合并同类项，再根据“关于x的多项式的值与x的取值无关”得到，进而求解即可；
（2）求出的值，根据“结果与x取值无关”得到，，进而求解即可；
（3）设，则，，求出，根据“S为定值”得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：，
∵关于x的多项式的值与x的取值无关，
∴，
∴；
（2）解：
，
∵化简的结果与x取值无关，
∴，，
∴，；
（3）略
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