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整式 章末强化试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册
一、单选题
1．下列各选项中的两项是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．下列说法错误的是（ ）
A．是二次三项式 B．的次数是6
C．的系数是 D．常数项是
3．若代数式中不含项，则的值为（ ）
A．0 B．3 C． D．
4．在等式的括号内依次填入的代数式是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．在代数式，中，整式有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
6．如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（ ）
A．0 B． C． D．
7．如果是关于x，y的四次三项式，那么（ ）
A． B．或3 C．3 D．
8．若，，且，那么的值是（ ）．
A．或4 B．2或 C．2或4 D．或
9．a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）
①；②；③；④．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知整式，其中，，…，均为不超过3的自然数，且，n为大于或等于2的整数．若，则下列说法中：
①满足条件的所有整式M中，不存在单项式；
②当时，若，则；
③当时，则满足条件的整式M共有9个．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．已知，则代数式的值为________．
12．若，则___．
13．若多项式是关于的二次二项式，则________．
14．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______．
15．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个．
16．规定一个四位数（，，，均为整数，且），若，，则称这个数是“义渡数”，将一个“义渡数”千位和百位上的数字组合成一个两位数，十位和个位上的数字组合成一个两位数，设，则_____________；若能被7整除，则满足要求的的最大值与最小值的差为_____________．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中，．
18．已知，且满足，，，.
(1)请将、、填入下列括号内；
(2)若，试求的值.
19．如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？
20．某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果．
21．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，
例：化简．
解：原式
参照本题阅读材料的做法进行解答：
(1)若把看成一个整体，合并的结果是 ；
(2)已知：，求代数式的值；
(3)已知，，，求的值．
22．【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一．
作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．
对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立．
【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即．
【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题：
(1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”）
(2)比较与的大小；
(3)已知，，若，试比较与的大小．
23．项目式学习
【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统．
【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域．
【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖．
【解决问题】
(1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n．
(2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度．
(3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元，
①请推导C与a，b，d的数量关系式．
②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由．
24．取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题．
(1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示）
(2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示）
(3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B C C A D B D
1．A
【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可．
【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意；
B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意；
C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意；
D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意．
2．B
【详解】解：A、是二次三项式，原说法正确，不符合要求；
B、的次数是4，原说法错误，符合要求；
C、的系数是，原说法正确，不符合要求；
D、的常数项是，原说法正确，不符合要求．
3．B
【分析】代数式不含某一项时，该项合并后的系数为0，据此计算a的值．
【详解】解：，
∵代数式中不含项，
∴项的系数等于0，即，
∴．
4．B
【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变．
【详解】解：对第一个因式变形：，
第一个括号内应填；
对第二个因式变形：，
第二个括号内应填；
综上所述，括号内依次填入和．
5．C
【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可．
【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母，
对各代数式判断如下：
是多项式，属于整式；
是多项式，属于整式；
是单独的常数，属于单项式，是整式；
分母含字母，不是整式；
中分母含字母，不是整式；
是单独的常数，属于单项式，是整式；
是单项式，属于整式；
综上，整式共有5个．
故选：C．
6．C
【分析】先求出纵向三个整式之和，然后列式表示出“？”并用整式的加减运算化简即可．
【详解】解：纵向三个整式之和为：，
由题意可得：“？”为．
7．A
【详解】解：∵是关于，的四次三项式
∴，，
解得或，，
∴．
8．D
【分析】由推出是解题关键，结合绝对值的定义确定的取值后代入计算．
【详解】解：，
，
，
，
，
，即，
，或，
当时，，
当时，，
的值为或．
9．B
【分析】由数轴可得，由点到原点的距离可得，再结合有理数的减法法则、绝对值的性质逐项分析即可得出结果．
【详解】解：由数轴可得，
由点到原点的距离可得，
∴，，，，，故②正确；
∴，故①正确；
，故③正确；
，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共个．
10．D
【分析】先根据递推公式推出系数的周期为3，再分别判断三个说法的正误，即可得到结论．
【详解】解：∵ 对任意 ，有 ，
∴
……
系数序列周期为，
判断①：若 是单项式，则存在唯一使得 ，其余为，
∵ ，
∴
当时，，
又∵
不存在满足条件的单项式，①正确．
判断②：当 时，
∴，，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵，
， ，
∴ ，②正确．
判断③：当 时，，由 得 ，且 ， 都是不超过 的自然数，
枚举所有可能：
时，，共4种组合；
时，，共3种组合；
时， ，共2种组合；
总共有 种，即满足条件的整式 共 个，③正确．
综上，①②③都正确，正确个数为 ，故选D．
11．
【分析】将所求代数式变形，得到含的式子，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
12．2
【分析】根据绝对值的性质，在给定范围内去掉绝对值符号进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
13．
【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可．
【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式．
∴多项式的最高次数为，可得．
∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项．
∴一次项的系数为，即，
解得．
∴．
14．
【分析】分别从符号、系数绝对值、的指数三个部分分析变化规律，整合得到第个单项式．
【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律：
（1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为；
（2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为；
（3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为；
整合三部分可得，第个单项式为．
15．
【详解】解：第个图案中，黑色六边形的数量为个；
白色六边形：第1个有个，
第2个有个，
第3个有个，
可得第个图案中白色六边形数量为个；
∴白色六边形比黑色六边形多：个．
16． 8322
【分析】根据义渡数的定义，得到，推导出，由能被整除，得到是的倍数，由四位数最大，得到，可求出，，，得到最大数，由四位数最小，得到，可求出，，，得到最小数，进而得到最大与最小值的差为8322，即可解答．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵四位数是义渡数
∴
∴
∵
∴，
∵能被整除
∴是的倍数，
∴是的倍数，即是的倍数，
∵要四位数最大
∴，
∵是的倍数，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴最大，
∵要四位数最小，
∴，
∵是的倍数，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴最小，
∵，
∴最大与最小值的差为8322．
17．，2
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解；
（2）根据绝对值的性质，先求出x的值，再代入计算即可.
【详解】（1）解：，，，
，，，
，
，
则；
、、填入括号内略；
（2）解：由题可知，，，
，
原式.
19．；；；.
【分析】先表示出长方形的宽，再根据所需材料的长度等于所有长方形的周长和半圆的周长以及三个半径的长度之和列式整理即可.
【详解】解：长方形的长和宽的比为，长方形的长为，
长方形的宽为，
所需材料的长度
；
长方形的长和宽的比为，长方形的长为，
长方形的宽为，
所需材料的长度，
，
；
长方形的长和宽的比为，长方形的长为，
长方形的宽为，
所需材料的长度
；
长方形的长和宽的比为，长方形的长为，
长方形的宽为，
所需材料的长度
.
20．
【分析】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可．
【详解】解：根据题意得，
∴
∴，
∴
．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可；
（2）把代数式变形后整体代入即可；
（3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：∵，
∴
（3）∵，，，
∴
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系；
（2）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合平方数的非负性判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系；
（3）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴．
23．(1)
(2)，所有支管道的总长度为米
(3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元），
支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元），
，
，
，
；
②当，，时，
，
，
，
，超出了给定总预算，
支管道间距d不可以是2；
【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数；
（2）代入，，算出，再计算可得支管总长；
（3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2．
【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域，
总区域数为，
边界不需要安装支管道，
需要的支管道总条数；
（2）解：，，，
，
所有支管道的总长度为（米）；
（3）略
24．(1)；
(2)；
(3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是
【分析】（1）根据题干性质求解即可；
（2）根据题干性质求解即可；
（3）根据题干性质求解即可．
【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸；
只推积木①至最远：①相对②最多延伸；
再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸，
再叠加①相对②的，总延伸；
再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸，
总延伸；
故答案为：；；
（2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸；
固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远，
设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端，
各块重心坐标（以④右端为，向右为正）：
①
②同①，为，
③，
三块总重心等于（临界平衡）：
，
解得
总延伸长度（最右端超出④的总长）
．
（3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②：
设②相对③最远可伸，
由题意得，解得，
所以①②组合总延伸：；
2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸，
总延伸：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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