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函数模型及其应用 专题练 2027届高中数学一轮复习备考
一、单选题
1．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元．若日均销量Q（束）与销售单价（元）的关系为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ）
A．15元 B．13元 C．11元 D．10元
2．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（ ）
A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元
3．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
4．已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ）
A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片
5．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
6．在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
7．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
8．现有两个函数模型如下，模型一：如果是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14的质量为；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，是常数（是自然对数的底）.则下列说法错误的是（ ）
A．经过5730年，碳14的质量变为初始质量的一半
B．碳14的年衰减率与初始质量有关
C．设，碳14的第年，第年，第年的衰减量分别为，，，则
D．以上两个模型都可以归结为模型“”（其中为自变量，，为常数，是自然对数的底）
二、多选题
9．某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（ ）
A．当，则这期间种群数呈下降趋势
B．当，则这期间种群数呈下降趋势
C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061
D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991
10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，每排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的.由检验知该地下车库一氧化碳浓度（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系，其中（为常数）.已知空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人可以安全进入车库.若刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了，则（ ）
A． B．
C． D．排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm
11．一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为124
C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率
D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟
三、填空题
12．根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．已知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息：
（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．
（所有结果保留整数，参考数据：）
13．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85）
14．某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时．
四、解答题
15．年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且
，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台.
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
16．为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）.
(1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围；
(2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价.
17．某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式．
(2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
18．某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示.
万元) 4 9 16 25
万元) 28 33 40 49
万元) 30 42 54 66
(1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由）
(2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式；
(3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？
19．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B D D D B AC ACD
题号 11
答案 ABD
1．B
【详解】设每天获利元，则．
由，得，故，故当时，每天获利最大．
2．C
【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解.
【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得，
故函数解析式为，所以当时，．
故选：C.
3．A
【分析】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解．
【详解】当时，则，
当时，设函数为，
将，代入可得，解得，所以，
所以，
要使，则或，解得或，
综上所述：，
所以有效所持续的时长为个小时．
故选：A．
4．B
【详解】，将代入，
得，
整理得：，
两边取自然对数：，
解得：，
所以，
由，得，
即芯片投入量至少为4万片.
5．D
【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可
【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当时，，
当时，取得最小值240，
当 时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D
6．D
【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解.
【详解】当时，，即.
当时，，即，
则，即.
因为，
所以.令，则，
所以，则.
7．D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
8．B
【分析】选项A，计算出；选项B，求出年衰减率为，与初始质量无关；选项C，计算出；选项D，两个模型均可变形得到的形式，D正确.
【详解】对于A，模型一中，当时，，
即碳14的质量变为初始质量的一半，故A正确；
对于B，年衰减率由模型决定，与初始质量无关.
模型一可改写为，1年后，，
年衰减率为，是常数，故B错误；
对于C，第年衰减量，
同理，
，
所以，故C正确；
对于D，模型一可转化为，模型二为，均符合形式，故D正确.
故选：B.
9．AC
【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断.
【详解】对于A，当时，，随的增大而减小，又，
因此这期间种群数呈下降趋势，A正确；
对于B，当时，，随的增大而增大，又，
因此这期间种群数呈上升趋势，B错误；
对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确；
对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误.
故选：AC
10．ACD
【分析】由题意可设，再由已知列关于，的方程组，求出判断A与B；进一步求出的解析式，算出，判断C与D．
【详解】由题意可设，则，此时为常数，
由题意，，则，即，
所以，故A正确，B错误；
因为刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了，
所以，又由，得，
，
解得，所以，故C正确；
，故排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断.
【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，
因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确；
对于B，当且时，，
所以当时，取得最大值：，
当且时，，，
因为在上单调递减，所以，
所以当时，取得最大值：，
综上，的最大值为124，故B正确；
对于C，当时，，
所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误；
对于D，当且时，，
当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”，
当且时，，
，即，
所以，即，解得，所以有，，
综上，当且时，，
因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确.
12． 3129 68
【分析】（1）把总质比和代入，即可求得；
（2）由题意得出新的和总质比代入得到新的速度，再与原来的作差大于等于800，解不等式即可.
【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：
；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加，
则，即 ，
即 ，即 ，所以，
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68．
13．
【分析】设至少经过个小时后才能驾驶，由题意有，两边同时取对数得，然后求解即可.
【详解】设至少经过个小时后才能驾驶，则有，
即，两边同时取对数得，即，
因为，所以，
所以，即至少经过个小时才能驾驶.
故答案为：.
14． 4 32
【分析】分类讨论的范围得出的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论的范围，结合指数函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长．
【详解】当时，此时，
代入原函数指数部分：，
所以，，
已知，则，
所以当时，指数是关于的减函数，
因此在上单调递减，
当时，此时，代入原函数指数部分：
，
所以，，
同理得在上单调递增，
综合以上两种情况，在时单调递增，在时单调递减，
因此，病毒载量在时达到峰值．
在时，，
根据题意，对于任意，有：，
代入表达式：，
整理得，，，
所以，
病毒具有传染性的条件是，即，
整理得，，
当时，不等式变为：，
结合前提，得到；
当时，不等式变为：，
结合前提，得到，
综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为，
题干要求计算从起的传染时长，即时间区间的长度，
故总时长为小时．
15．(1)；
(2)年产量百台时利润最大，最大利润为万元.
【分析】（1）根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系；
（2）分和两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较可得最大值.
【详解】（1）每百台高级设备售价为万元，年产量（百台）时销售收入为万元，
总成本为万元，年利润万元.
当时，；
当时，.
所以年利润.
（2）由（1）当时，，
故当（百台）时，（万元），
当时，
当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元），
因为,所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元.
16．(1)，
(2)，59000元
【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围；
（2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出.
【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得.
因为，，所以，解得.
所以，.
（2）中心正方形面积为，造价为；
四个矩形的总面积为，
造价为；
四个三角形的总面积为，
造价为；
总造价为
，
又，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时取等号.
故当的长为时，总造价最低，为59000元.
17．(1)
(2)，540元
【分析】（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数；
（2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可．
【详解】（1）由题意可知，当时， ；
当时，，
综上，.
（2）当时，
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元．
18．(1)选①作为，选③作为；
(2)，
(3)甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元
【分析】（1）根据表格数据判断函数类型即可；
（2）直接代入前两个值求解表达式系数即可；
（3）设乙产品的研发投入为x万元，列出总利润和x的关系，利用换元法转化为二次函数即可求解．
【详解】（1）因为关于成线性关系，关于成线性关系，所以选①作为，选③作为；
（2），代入得，
代入得，解得，
验证时，，符合，时，，符合；
所以.
，代入得，
代入得，解得，
验证时，，符合，时，，符合；
所以.
（3）设乙产品的研发投入为万元（），则甲产品的研发投入为万元，
总利润，
当且仅当，即时取等号，则甲产品的研发投入为（万元），
所以甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元.
19．(1)100个，30万元
(2)每月生产不小于70个人形机器人
【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果.
【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，
根据题意有，
当且仅当，即时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2）设月利润为万元，
则有，
由题知，整理得，解得.
故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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