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1.6 电势差与电场强度的关系
学习目标 1.通过任务1及其活动,知道电势差与电场强度的关系式,了解其适用条件,会用关系式U=Ed处理匀强电场问题。(物理观念、科学思维) 2.通过任务2及其活动,理解匀强电场中电势差与电场强度的关系的有关推论和了解其具体应用。(物理观念、科学思维)
【自主预习】
　　重点难点:匀强电场中电势差与电场强度的关系,应用这种关系解决实际问题。
　　教学建议:“电势差与电场强度的关系”对学生理解能力和电场分布对学生的空间想象能力要求比较高,教学过程中可以通过推导电场强度与电势差的关系,使学生的分析能力和推理能力逐步得到提升。
　　导入新课:前面几节内容已经从力和能的角度分别定义了描述电场的三个物理量——电场强度、电势和电势差。电场强度是描述电场的力的性质的物理量,电势差是跟电场力移动电荷做功相互联系的,那么电场强度和电势差之间是否存在着联系呢
思考并回答问题。
思考1:两块平行金属板间的电势差是60 V,两板间距离是3 cm,两板间匀强电场的电场强度是多少
【提示】 2000 V/m。
思考2:如图所示,在一个非匀强电场中,某一条电场线上有 A、B、C 三点,且 AB=BC,你能比较 A、B间的电势差 UAB和 B、C 间的电势差UBC的大小吗
【提示】 UAB>UBC。
正确的打“√”,错误的打“×”。
(1)公式E=适用于任何电场的计算。 (　　)
(2)匀强电场的电场强度等于沿电场强度方向每单位长度上的电势差值。 (　　)
(3)根据U=Ed可知,任意两点的电势差与这两点的距离成正比。 (　　)
(4)等势面上各点的电场强度也是相同的。 (　　)
(5)在匀强电场中,相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等。 (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　
【合作探究】
任务1 匀强电场中电势差与电场强度的关系
　　如图,在带电体周围,每两条相邻的等势线之间的电势差是相等的。我们发现,电场线较密的地方等势线也较密,电场线较稀的地方等势线也较稀,可以说在电场强度较大的地方,电势降低较快,在电场强度较小的地方,电势降低较慢,下面我们以匀强电场为例,研究电势差与电场强度的关系。
1.如图,在电场强度为E的匀强电场中,沿着电场方向的两点A和B之间的距离为d,电势差为UAB。把带电荷量为q的电荷从A点移动到B点的过程中,电场力做了多少功
【解答】 根据电场力做功与电势差的关系可得WAB=qUAB,根据力学做功公式可得WAB=Fd=qEd。
2.比较两个表达式,可以发现匀强电场中电场强度与电势差存在怎样的关系
【解答】 比较两个表达式,可得qUAB=qEd,即E=。
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式:U=Ed或E=①　　　　　　。
(2)物理意义:匀强电场中两点间的②　　　　　　等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
(3)适用条件:匀强电场。
2.公式E=的意义
(1)意义:在匀强电场中,电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场方向的距离的比值。
(2)电场强度的另一种表述:电场强度在数值上等于沿匀强电场方向每单位距离上降低的③　　　　　　。
(3)电场强度的另一个单位:由E=可导出电场强度的另一个单位,即伏特每米,符号为④　　　　　　。1 V/m=1 N/C。
【答案】①　②电势差　③电势　④V/m
应用1　电场强度三个表达式E=、E=k、E=的比较
下列有关电场强度的说法正确的是 (　　)
A.电场强度的公式E=表明,若q减半,则该处的电场强度变为原来的2倍
B.点电荷的电场强度公式E=k表明,点电荷周围某点的电场强度的大小,与该点到场源电荷距离r的二次方成反比,在r减半的位置上,电场强度为原来的4倍
C.在匀强电场中的电场强度公式E=,U为两点间的电势差,d为这两点间的距离
D.电场强度三个表达式E=、E=k、E=都适用一切电场
【答案】B
【解析】 电场强度的公式E=为比值定义法,电场强度的大小与试探电荷的电荷量无关,若q减半,该处的电场强度不变,A项错误;点电荷的电场强度公式E=k表明,点电荷周围某点的电场强度的大小,与该点到场源电荷距离r的二次方成反比,在r减半的位置上,电场强度E'==4E,为原来的4倍,B项正确;在匀强电场中的电场强度公式E=,U为两点间的电势差,d为这两点间沿电场线方向的距离,C项错误;电场强度三个表达式E=、E=k、E=中,只有E=适用一切电场,D项错误。
归纳总结 电场强度的三个表达式的比较 公式E=E=kE=物理 含义电场强度大小的定义式真空中点电荷电场强度的决定式匀强电场中电场强度与电势差的关系引入 过程E与F、q无关,反映某点电场的性质由E=和库仑定律导出由F=qE和W=qU导出适用 范围一切电场在真空中,场源电荷Q是点电荷匀强电场说明q为试探电荷的电荷量Q为场源电荷的电荷量d为沿电场方向的距离
应用2　公式E=的理解与应用
(改编)如图所示,带等量异种电荷的两块平行金属板之间形成匀强电场,两板间距离为d,电压为U。板间A、B两点间的距离为s,连线AB与极板间的夹角为30°,则A、B间的电势差为 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
E=中d指的是两点间沿电场线方向的距离。
【答案】B
【解析】 两板间匀强电场的电场强度E=,所以A、B间的电势差UAB=EdAB=Essin 30°=,B项正确。
任务2 电势差与电场强度的关系的相关推论及应用
　　情境1:如图1所示,在一匀强电场区域中,有A、B、C、D四点恰好位于一平行四边形的四个顶点上,已知A、B、C三点电势分别为φA=1 V,φB=4 V,φC=0。
图1
　　情境2:如图2所示,以点电荷+Q(Q>0)为圆心,画出一系列同心圆,半径之比为1∶2∶3。
1.对图1,在匀强电场中,AD与BC平行且相等,则UAD与UBC有什么关系
【解答】 在匀强电场中,对于平行直线,电势变化快慢相同,又AD=BC,则UAD=UBC。
2.对图1,D点电势φD的大小是多少
【解答】 φA-φD=φB-φC,代入数据解得φD=-3 V。
3.对于情境2,分析A、B两点之间的电势差UAB与B、C两点之间的电势差UBC是否相等。
【解答】 虽然A、B两点之间的距离等于B、C两点之间的距离,但这里不是匀强电场,不能用公式W=qEd来计算电场力做功。不过,我们可以把AB及BC分割成许多小段,这样每一段上的静电力可以看作是恒力,再把各小段电场力做的功相加就可以得出WAB以及WBC。显然,A到B各小段的电场力总是大于对应的B到C各小段的电场力,所以有WAB>WBC,再根据U=可知UAB>UBC。
4.对于情境2,若在电场线上移动B、C两点,使UAB=UBC,你能判断线段AB与线段BC的长度关系吗
【解答】 若UAB=UBC,则把试探电荷q从A移到B,电场力所做的功等于从B移到C所做的功,即WAB=WBC,但由于A到B各小段的电场力总是大于对应的B到C各小段的电场力,所以A、B间距离应该小于B、C间距离。
1.相关推论
推论1:在匀强电场中,同一直线上相同间距的两点间电势差相等;线段中点的电势等于线段两端点电势之和的一半;如果把某两点间的距离分为n段,则每段两端点的电势差等于原电势差的。
推论2:在匀强电场中,相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。
推论3:在匀强电场中,不与电场强度方向垂直的任意一条直线上,各点间的电势差之比等于对应各点间的线段长度之比。
推论4:在匀强电场中,不与电场强度方向垂直的任意两条平行线段的端点电势差之比等于线段长度之比。
推论5:在匀强电场中,不与电场强度方向垂直的两条线段端点电势差之比等于线段沿电场线方向投影长度之比。
2.E=在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系:当电势差U一定时,电场强度E越大,则沿电场强度方向的距离d越小,即电场强度越大,等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系:距离相等的两点间的电势差,E越大,U越大;E越小,U越小。
应用1　利用电势差与电场强度的关系求电场强度
如图所示,在平面直角坐标系中,有方向平行于坐标平面的匀强电场,其中坐标原点O处的电势为0,A点的电势为6 V,B点的电势为3 V,则电场强度的大小为 (　　)
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
(1)如何找到与B点电势相等的点
(2)匀强电场的等势线是怎样的线
(3)该电场强度沿x轴方向与y轴方向的电场强度可以怎样求
【提示】 (1)OA的中点。(2)与电场线垂直的直线。(3)可以用Ex=,Ey=求。
【答案】A
【解析】 方法一(等分法):如图,取OA的中点C,由匀强电场的特点得C的电势φC==3 V,所以φC=φB,即B、C在同一等势线上,所以匀强电场方向垂直于BC,由几何知识得O点到BC的距离d=1.5 cm,则E== V/m=200 V/m,A项正确。
方法二(正交分解法):该电场是一个匀强电场,可采用正交分解求解,正交分解的坐标系可以任意建立,考虑到x轴上有电势差,可将匀强电场分解成沿着x轴的分量和垂直x轴的分量,即沿y轴的分量,根据匀强电场的电势差公式,有Ex== V/m=100 V/m ,Ey== V/m=100 V/m,所以E==200 V/m,A项正确。
归纳总结 1.等分法确定等势点的依据:在匀强电场中,沿着电场方向的同一条直线上,两点之间的距离与两点之间的电势差成正比。用“等分法”求匀强电场中某点的电势以及电场强度方向的步骤如下。 2.正交分解法避开构造等势面这个难点,将正交分解从学生熟知的“力的合成”情境中迁移到“电场强度的合成”情境中,具有化陌生为熟悉,化烦琐为简洁的优点。
应用2　电势差与电场强度的关系在非匀强电场中的应用
(多选)如图所示,一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称,O、M、N是y轴上的三个点,且OM=MN。P点在y轴右侧,MP⊥ON。则下列说法正确的是 (　　)
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点,电场力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
对于非同一等势面上距离相等的两点间的电势差,E越大,U越大;E越小,U越小。
【答案】AD
【解析】 根据电场线和等势面的关系,可以判断出M点的电势比P点的电势高,A项正确。将负点电荷由O点移到P点,电场力做负功,B项错误。根据U=Ed进行定性分析可知UMN由图像理解电场强度与电势的关系
(1)匀强电场中电场强度与电势差的关系为E=,由此可见电场强度是电势差对空间位置的变化率,你如何理解
(2)在φ-x图像中,你可以获取哪些信息
【提示】 (1)由E=可知,电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势,电场强度是电势差对空间位置的变化率,电势随空间变化的快慢,反映了电场强度的大小;电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
(2)①电场强度的大小等于φ-x图线的斜率大小,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。如上图中,在横轴x1 ~x2区间中,电场强度逐渐减小,x2处电场强度为零。②在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向,如上图中,在横轴x1 ~x2区间中,电场方向沿x轴负方向。③在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后做出判断。
【随堂检测】
1.(任务1)(改编)电鳗是一种放电能力很强的淡水鱼类,因此有水中“高压线”之称。如图所示,一电鳗头尾相距2 m,某次短暂放电的电压为600 V,电鳗的头部和尾端为放电的两极,则其放电时产生的电场强度约为 (　　)
A.3000 V/m B.300 V/m
C.30 V/m D.3 V/m
【答案】B
【解析】 由电场强度与电势差的关系可知,电鳗放电产生的电场强度E== V/m=300 V/m,B项正确。
2.(任务1)一个水平的匀强电场如图所示,在电场内某水平面上作一个半径为10 cm的圆,在圆周上取如图所示的A、B、C三点,已知A、B两点间电势差为1350 V,则匀强电场的电场强度大小为 (　　)
A.E=13500 V/m B.E=12000 V/m
C.E=9000 V/m D.E=7950 V/m
【答案】C
【解析】 由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d=r+=0.15 m,所以匀强电场的电场强度E==9000 V/m,C项正确。
点评 本题是对物理观念的考查。匀强电场的电场强度与电势差的关系公式U=Ed中的d是指两点间沿电场方向的距离。
3.(任务2)如图所示,实线为电场线,虚线为等势面,φa=-10 V,φc=10 V,b为a、c连线的中点,则关于b点电势φb的大小和电场强度Eb的方向,以下说法正确的是(　　)
A.φb<0,Eb的方向指向a
B.φb<0,Eb的方向指向c
C.φb>0,Eb的方向指向a
D.φb>0,Eb的方向指向c
【答案】C
【解析】 由于φa<φc,可知Eb的方向指向a,由于b为a、c连线的中点,有dab=dbc,根据电场线的疏密表示电场强度的大小可知>,根据U=Ed可得Ucb0,C项正确。
4.(任务2)在某匀强电场中有M、N、P三点,在以它们为顶点的三角形中,∠M=30°,∠P=90°,直角边NP的长度为4 cm。已知电场方向与三角形所在平面平行,M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V,则电场强度的大小为 (　　)
A.150 V/m B.75 V/m
C.225 V/m D.75 V/m
【答案】A
【解析】 如图,过P点作斜边MN的垂线交MN于O点,由几何知识可知N、O间的距离NO=2 cm,M、O间的距离MO=6 cm,由匀强电场的特点得O点的电势φO=12 V,即O、P在同一等势面上,由电场线与等势面的关系和几何关系知E===150 V/m,A项正确。
点评 本题是对科学思维的考查。M点电势最低,N点电势最高,则线段MN上必有一点电势与P点电势相等。
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