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浙教版2026—2027学年八年级上册期中聚焦考点押题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不大于x的最大整数，如：[π]=3，[2]=2，[-2.1]=-3.给出如下结论：①[-x]=-x；②若[x]=n，则x的取值范围是 n≤xA．①② B．②③ C．①③ D．③④
2．如图，平面内，平分，为反向延长线上一点(图中所有角均指小于），有以下结论：①；②；③；④，则．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
3．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的的是（　　）
A．，，
B．，
C．，，
D．，，
4．如图，直线于点.若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．下列四组数据分别为四个三角形的边长，其中是直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．3，5，7 D．4，6，8
6．某市身高不超过的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形，则三块中面积最大的图形的周长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知中，CD⊥AB，垂足为D，CE平分∠ACD交AD于E，若CD＝12，BC＝13，且的面积为48，则点E到AC的距离为（　　）
A．5 B．3 C．4 D．1
9．如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论：
①；
②∥；
③；
④．
正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
10．关于的分式方程有整数解，关于的不等式组无解，所有满足条件的整数的和为（　　）
A．2 B．-6 C．-3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知关于x的一元一次不等式 ，有且只有两个不相等的正整数解，则实数a的取值范围为　 　．
12．如图：小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是　 　cm
13．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点，若，则的大小是　 　．
14．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是　 　.
15． 为了比较 与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D 在BC上，且BD=AC=1.通过计算可得. +1　 　 (填“>”“<”或
16．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为　 　cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．以下是乐乐解不等式组的部分过程．
解不等式①得，x-2x<2．第一步 x<-2．第二步 解不等式②得，2（2x+2）≤3x+1．第三步 4x+4≤3x+1．第四步 4x-3x≤1-4．第五步 x≤-3．第六步…
（1）填空：乐乐解不等式①从第　 　步开始出现错误；解不等式②从第　 　步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来．
18．如图，在中，，分别以点，点为圆心、大于为半径作弧，两弧交于点，点，作直线MN，交边AB于点，交边BC于点，过点作交MN于点，连接BE．
（1）求证：．
（2）若四边形ACED是菱形，求的度数．
19．当地时间2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日.某校为庆祝举行了“春节习俗”知识竞赛，本次知识竞赛共25题，答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，设小凌同学在这次竞赛中答对了x道题.
（1）请根据上述条件，填写下表：
答题情况 题数 得分（分）
答对 x 　 　
答错或不答 　 　 　 　
（2）若小凌同学的竞赛成绩不低于150分，则小凌至少要答对几道题？
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，连结CF交AD于点G．
求证：
（1）△DBF为等腰直角三角形．
（2）△GFD是直角三角形．
21．如图， 在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC=2， 点 D、E分别在线段 BC、AC上运动， 并保持∠ADE=45°.
（1） 当 AD=DE时， 求AE的长；
（2） 当 时，求DE的长.
22．已知：中，，，．
（1）求的度数和边的长．
（2）如图1，的直角顶点D为的中点，两直角边分别与的两直角边交于P、Q两点，于M，于N，若，求证：．
（3）如图2，在中，，将绕的中点D旋转，使顶点F落在的延长线上，若，求此时的长．
23．如图，已知直线，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．
（1）若，，则　 　．
（2）试找出，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）应用(2)中的结论解答下面的问题：
如图，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数．
（4）如果点在直线上且在线段外侧运动点和，两点不重合，其他条件不变，试探究，，之间的关系．
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浙教版2026—2027学年八年级上册期中聚焦考点押题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不大于x的最大整数，如：[π]=3，[2]=2，[-2.1]=-3.给出如下结论：①[-x]=-x；②若[x]=n，则x的取值范围是 n≤xA．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】【解答】解：因为[x]表示不大于x的最大整数，
所以当x=2.5时，[-2.5]=-3≠-2.5，故①不一定正确.
若[x]=n，则x的取值范围是n≤x当-1当x=0时，[1+x]+[1 -x]=1+1=2；
当0故③是正确的.
由题意，得0≤x-[x]<1，
由4x-2[x]+5=0，
得
则x-
所以
所以-3.5当-3.5方程变形为4x-2×(-4)+5=0，
解得x=-3.25；
当-3≤x≤-2.5时，
方程变形为4x-2×(-3)+5=0，
解得x=-2.75，
所以-3.25 与-2.75 都是方程4x-2[x]+5=0的解，
故④是错误的.
故答案为： B.
【分析】根据题意列不等式，解不等式求出解集判断解答即可.
2．如图，平面内，平分，为反向延长线上一点(图中所有角均指小于），有以下结论：①；②；③；④，则．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∴，
即，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
又∵，
∴，故③不正确；
若，设，则，，
∵
∴，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴故④正确．
综上所述，结论正确的序号有①②④．
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质得到，进而结合题意进行角的运算即可判断①；再结合题意即可判断②；进而即可得到，从而即可判断③；结合题意设，则，，进而即可得到，再根据题意即可列出一元一次方程，从而即可判断④。
3．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的的是（　　）
A．，，
B．，
C．，，
D．，，
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，不满足三角形三边关系，不能画出三角形，故A不符合题意；
B、因为，，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故B不符合题意；
C、因为的夹角，符合全等三角形的判定定理SAS，所以能画出形状、大小确定的三角形，故C符合题意；
D、，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、三角形三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故不能画三角形；
B、由三角形三边关系定理知，AC的长度有无数个，故不能确定唯一的三角形；
C、由SAS可判定两三角形全等，故可画唯一的三角形ABC；
D、由于三角形三边的长度不确定，故不能确定唯一的三角形．
4．如图，直线于点.若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：延长FE交AB于点H，
∵AB∥CD， ，
∴∠GHF=，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴∠BGE=∠GEF-∠GHF=90°-32°=58°.
故答案为：B.
【分析】延长FE交AB于点H，由平行线的性质可得∠GHF=，再利用三角形外角的性质可得∠BGE=∠GEF-∠GHF，据此计算即可.
5．下列四组数据分别为四个三角形的边长，其中是直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．3，5，7 D．4，6，8
【答案】B
【解析】【解答】解：A．，不能构成直角三角形，不符合题意；
B．，能构成直角三角形，符合题意；
C．，不能构成直角三角形，不符合题意；
D．，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据勾股数的定义，也就是直角三角形三条边长满足的三边关系，对各个选项逐一进行验证判断.
6．某市身高不超过的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵身高不超过1.2m的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为h(m)，
∴h≤1.2，
故答案选：D.
【分析】根据不等量关系，直接列出不等式即可.
7．如图是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形，则三块中面积最大的图形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设每个小正方形的面积为1，
∵拼成的大正方形的面积为8，
∴拼成的大正方形的边长为．
∴剪痕应是方格的对角线．
∴如图1，沿各剪一刀，就可以拼成如图2的大正方形．
∴三块中面积最大的图形的周长为．
故答案为：A．
【分析】设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积，求出其边长为，根据剪痕应是方格的对角线，得到三块中面积最大的图形，再求出其周长即可．
8．如图，已知中，CD⊥AB，垂足为D，CE平分∠ACD交AD于E，若CD＝12，BC＝13，且的面积为48，则点E到AC的距离为（　　）
A．5 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，作EF⊥AC与F点，则EF的长度即为点E到AC的距离，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，则，
∵，
∴，
∴，
∵CE为∠ACD的角平分线，ED⊥CD，EF⊥AC，
∴，
∴点E到AC的距离为3，
故选：B．
【分析】作EF⊥AC，利用勾股定理和三角形的面积求出ED长，然后利用角平分线的性质得到EF=ED即可解题．
9．如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论：
①；
②∥；
③；
④．
正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵等边和等边，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故①正确；
③∵（已证），
∴，
∵（已证），
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
故③正确；
②∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴∥；
故②正确；
④∵，
∴，
∵是等边三角形，
，
∴∥，
∴，
∴．
故④正确；
综上所述，正确的结论有：①②③④．
故选：D．
【分析】①因为和都是等边三角形，因此可得，由此可证明，进而可以推出；③由可以得到，结合已知条件，可证得，因此，故结论③正确；
②结合已经证明的，可得，又因为，即可推出是等边三角形，进一步可得，根据“内错角相等，两直线平行”，可知结论②正确；
④根据等边三角形的性质可得∥，再由平行线的性质可以得到，整理可得，因此结论④正确.
10．关于的分式方程有整数解，关于的不等式组无解，所有满足条件的整数的和为（　　）
A．2 B．-6 C．-3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】分式方程去分母得：
1－ax+4(x-3)=﹣5，
解得：x=，
∵x≠3，
∴≠3，解得：a≠2．
由分式方程的解为整数，且a为整数，得到
4-a=±1，±2，±3，±6，
解得：a=3，5，2，6，7，1，10，-2．
∵a≠2，
∴a=-2，1，3，5，6，7，10．
解不等式组，得到：．
∵不等式组无解，
∴，解得：a≤3．
∴满足条件的整数a的值为﹣2，1，3，
∴整数a之和是-2+1+3=2．
故选：A．
【分析】
先对分式方程去分母、移项等操作，求出分式方程的解（用含a的式子表示），再根据分式方程有整数解确定a的可能取值；然后分别求解不等式组中的两个不等式，根据不等式组无解得到a的取值范围；最后综合以上两个条件，确定满足条件的整数a，并计算它们的和。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知关于x的一元一次不等式 ，有且只有两个不相等的正整数解，则实数a的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ，
ax>-2a2，
当a>0时，
x>-2a，
∵该不等式有且只有两个不相等的正整数解，
∴a无解；
当a<0时，
x<-2a，
∵该不等式有且只有两个不相等的正整数解，
∴2<-2a≤3，
即.
故答案为：.
【分析】先解不等式，分两种情况讨论，即当a>0时，当a<0时，求出不等式的解集，结合该不等式有且只有两个不相等的正整数解，得出-2a的取值范围，从而求出a的取值范围即可.
12．如图：小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是　 　cm
【答案】8
【解析】【解答】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案为：8
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，进而根据周长结合题意得到，再根据即可求解，
13．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点，若，则的大小是　 　．
【答案】20°
【解析】【解答】解：∵
∴∠C+∠CAB=180°，，∠AHC=∠HAB
∴∠CAB=40°
由题意知：AH平分∠BAC
∴∠CAH=∠BAH=20°
∴∠AHC=20°
故答案为：20°.
【分析】先由，得出：∠C+∠CAB=180°，求出∠CAB=40°，再根据角平分线的定义，得出CAH=∠BAH=20°，最后根据两直线平行，内错角相等，得出∠AHC=20°.
14．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是　 　.
【答案】（4，－1）或（－1，3）或（－1，－1）.
【解析】【解答】解：
∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（3，1），
∴AB是平行于x轴，y＝1的直线.
∵△ABD与△ABC全等，
∴∠ABD＝∠ABC，
∴点D与点C关于直线AB对称.
∴C（4，3），
∴（4， 1）.
当点D与点C关于AB的中垂线对称时：
（ 1，3）；
当点D与点C关于AB的中点成中心对称时
（ 1， 1）.
故答案为：（4，－1）或（－1，3）或（－1，－1）.
【分析】由A、B的坐标可得AB是平行于x轴的直线，根据全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ABC，则点C、D到直线y=1的距离相等，据此不难得到点D的坐标.
15． 为了比较 与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D 在BC上，且BD=AC=1.通过计算可得. +1　 　 (填“>”“<”或
【答案】>
【解析】【解答】解：∵∠C-90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，，，
∴，
又∵△ABD中，AD+BD>AB，
∴，
故答案为：>.
【分析】依据勾股定理即可得到，，，再根据△ABD中，AD+BD>AB，即可求解.
16．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为　 　cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
【答案】3
【解析】【解答】如图，连接AQ，
∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴CQ＝AQ，
∴CQ+PQ＝AQ+PQ，
∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，
此时，P为BC的中点，
又∵等边△ABC的周长为18cm，
∴BP＝ BC＝ ×6＝3cm，
故答案为：3．
【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．以下是乐乐解不等式组的部分过程．
解不等式①得，x-2x<2．第一步 x<-2．第二步 解不等式②得，2（2x+2）≤3x+1．第三步 4x+4≤3x+1．第四步 4x-3x≤1-4．第五步 x≤-3．第六步…
（1）填空：乐乐解不等式①从第　 　步开始出现错误；解不等式②从第　 　步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）二；三
（2）解：解不等式①，得x>-2，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为-2在数轴上表示不等式组解集为：
【解析】【解答】解：（1）乐乐解不等式①，第 二步两边同时除以负数，不等号方向未改变，
∴从第二步开始出现错误；
解不等式②，第三步去分母，1漏乘了6，
∴从第三步开始出现错误．
【分析】（1）本题考查一元一次不等式组的求解与错因分析，核心是不等式的基本性质与去分母规则。解不等式①时，第一步移项得到，第二步两边同时除以-1，根据不等式性质，除以负数时不等号方向必须改变，正确结果应为，因此第二步出错；解不等式②时，第三步去分母，不等式两边每一项都要乘分母的最小公倍数6，右侧的常数项1漏乘了6，正确应为，因此第三步出错。
（2）求解时先分别解两个不等式：解不等式①通过移项、合并同类项、系数化为1得到解集；解不等式②先去分母，再去括号、移项、合并同类项得到解集；最后取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再按照数轴表示解集的规则，大于向右画、小于向左画，端点含等号用实心点、不含等号用空心点，在数轴上表示出来即可。
18．如图，在中，，分别以点，点为圆心、大于为半径作弧，两弧交于点，点，作直线MN，交边AB于点，交边BC于点，过点作交MN于点，连接BE．
（1）求证：．
（2）若四边形ACED是菱形，求的度数．
【答案】（1）∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴CF=FB，
∵CE∥DB，
∴∠ECF=∠DBF，
∵∠EFC=∠DFB ，
∴△EFC≌△DFB（AAS）
（2）∵△EFC≌△DFB，
∴CE=DB，
∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴CD=DB，CE=EB，
∴CE=CD=DB=EB，
∵ 四边形ACED为菱形，
∴CE=ED
∴CE=ED=CD，DB=DE=EB
∴△CED和△DEB为等边三角形，
∴ ∠CED=∠DEB=60°
∴ ∠CEB=120°
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的定义可得CF=FB，根据平行线的性质可得∠ECF=∠DBF，根据ASA判定△EFC≌△DFB即可；
（2）根据全等三角形的性质可得CE=DB，根据垂直平分线的性质可得CD=DB，CE=EB，根据菱形的性质可得CE=ED，根据等边三角形的判定与性质可得∠CED=∠DEB=60°，即可求得.
19．当地时间2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日.某校为庆祝举行了“春节习俗”知识竞赛，本次知识竞赛共25题，答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，设小凌同学在这次竞赛中答对了x道题.
（1）请根据上述条件，填写下表：
答题情况 题数 得分（分）
答对 x 　 　
答错或不答 　 　 　 　
（2）若小凌同学的竞赛成绩不低于150分，则小凌至少要答对几道题？
【答案】（1）；25-x；
（2）解：根据题意，得，解得.
又为正整数，
的最小值为19.
答：小凌至少要答对19道题
【解析】【解答】（1）解：∵本次知识竞赛共题，且小凌同学在这次竞赛中答对了道题，
∴答错或不答道题，
又∵答对一题得分，答错一题或不答题扣分，
∴答对题目的得分为分，答错或不答题目的得分为分，
故填写表格如下：
答题情况 题数 得分（分）
答对
答错或不答
故答案为：10x；25-x；-5(25-x)；
【分析】（1）根据题意，答对题数为x，用含x的代数式表示出答错或不答数、及答对得分和答错或不答的得分即可完成填表；
（2）根据“小凌同学的竞赛成绩不低于150分”可得出关于的一元一次不等式，解出不等式解集，再取其中的最小整数值即可解答.
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，连结CF交AD于点G．
求证：
（1）△DBF为等腰直角三角形．
（2）△GFD是直角三角形．
【答案】（1）证明：.
.
.
，
，
为等要直角三角形.
（2）证明：为等腰直角三角形，
.
为BC的中点，.
在和中，
，
.
，即，
，
是直角三角形.
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定和性质，可得∠CAB=∠CBA=∠BDE=；根据两直线平行，同旁内角和为，可得∠DBF的值，进而可得∠DFB的值；根据等腰直角三角形的判定原则判定即可.
（2）根据等腰直角三角形的性质可得BF=BD；根据三角形全等的判定和性质，可得AD=CF，∠CAD=∠BCF；根据三角形内角和定理和直角三角形判定原则即可求解.
21．如图， 在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC=2， 点 D、E分别在线段 BC、AC上运动， 并保持∠ADE=45°.
（1） 当 AD=DE时， 求AE的长；
（2） 当 时，求DE的长.
【答案】（1）解：∵AD = DE时，
∴△ADE是等腰三角形，
∵ ∠BAC=90°， AB=AC=2，
∴∠B =∠C = 45°，
∵∠BAD+∠B=∠ADC =45°+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C， AD=DE
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=2， CE=BD=BC-DC=2
（2）解：取BC的中点M， 连接AM，
则
∴在 中，
由 (1)得
又∵∠
【解析】【分析】(1)证明得AB=DC，BD=CE，即可求出；
(2)如图，通过证明. 可得到 即 在 中，可通过勾股定理，求得DC的长，即可解答出.
22．已知：中，，，．
（1）求的度数和边的长．
（2）如图1，的直角顶点D为的中点，两直角边分别与的两直角边交于P、Q两点，于M，于N，若，求证：．
（3）如图2，在中，，将绕的中点D旋转，使顶点F落在的延长线上，若，求此时的长．
【答案】（1）解：∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
（3）解：如图，连结，作于K．
在中，，，点为的中点，，
∴，
∴，，
∵，
∴在中，由勾股定理得，，
∴ ．
【解析】【分析】
（1）首先对三角形形状进行判断：在三角形ABC中，ACB=90°，AC=BC，因此得出 是等腰直角三角形，结合AB的长度即可计算出AC、BC的长度；
（2）先根据“等角对等边”的性质，证得PM=AM，NQ=BN；再利用AAS判定定理，证明 ，由此可推出对应边相等：QN=DM，PM=DN。将两个等式变形可得PM+QN=DN+DM=AM+BN，结合AB=AM+MN+BN=2MN，即可整理推导出PM+QN=AB；（3）首先连接辅助线CD，过点D作DK⊥BC交BC于点K。根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得CD=AB，同时结合等腰直角三角形的性质，可得，最后在中，利用勾股定理即可求出KF的长度，进一步计算就能得到CF的结果.
（1）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
（3）解：如图，连结，作于K．
在中，，，点为的中点，，
∴，
∴，，
∵，
∴在中，由勾股定理得，，
∴ ．
23．如图，已知直线，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．
（1）若，，则　 　．
（2）试找出，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）应用(2)中的结论解答下面的问题：
如图，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数．
（4）如果点在直线上且在线段外侧运动点和，两点不重合，其他条件不变，试探究，，之间的关系．
【答案】（1）55°
（2）解：，理由如下：
，
，
在中，，
.
（3）解：如图，过点作，则，
则；
（4）解：当点在的外侧时，如图，过作，交于，
，
，
，
，
，
，
，，，
；
当点在的外侧时，如图，过作，交于，
，
，
，
，
，
，
，，，
．
综上，或．
【解析】【解答】（1）解：， ， ∵在中，， ， ，， .
【分析】（1）根据平行线的性质推出，利用三角形的内角和定理和等量转化即可求出，从而求出度数；
（2）利用第（1）问的方法即可推出 ，，之间的数量关系 ；
（3）根据平行线的性质和等量转化即可求出度数；
（4）分情况讨论，当点在的外侧时，作，从而推出和，通过等量转化和 ，，即可求出，，之间的数量关系 ；当点在的外侧时，作，运用第一种情况相同的方法即可推出 ，，之间的数量关系 .
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