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2.3　第2课时　单摆的周期
【合作探究】
任务1　探究影响单摆周期的因素
如图所示，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以下几种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期。
(1)两摆的摆球质量、摆长都相同，振幅不同(偏角都很小)。
(2)两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同。
(3)两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同。
1.三种情况下你看到的现象是什么


2.比较三种情况下两摆的周期，可以得出什么结论


探究单摆的振幅、摆球质量、摆长对周期的影响
1.探究方法：①　　　。
2.实验结论：(1)单摆振动的周期与摆球质量②　　　；(2)振幅较小时，周期与振幅③　　　；(3)摆长越长，周期④　　　；摆长越短，周期⑤　　　。
活动　利用光电门传感器、天平、刻度尺研究单摆的周期与摆球质量、摆长之间的关系。
利用光电门测量单摆的周期 T(如图1所示)、天平测量摆球的质量 m、刻度尺测量摆长 l。保持摆长不变，研究单摆周期与摆球质量的关系。保持摆球质量不变，研究单摆周期与摆长的关系。若某次实验光电门传感器显示的电流 I 与 t 的图像如图2所示，分析单摆的周期与图中哪一段时间对应。
任务2　单摆的周期
17世纪中叶，意大利科学家伽利略发现了单摆的等时性。1656年，荷兰物理学家惠更斯利用这一性质造出了第一个实用的机械摆钟，从此人类掌握了比较精确的测量时间的方法。1658年英国物理学家胡克发明了有摆轮的怀表，1760年具有时、分、秒三个针的怀表问世，机械表更加具有实用价值。最精确的机械钟要数1920年问世的邵特钟，它一昼夜误差只有千分之一秒，被当时的天文台用来当作天文钟。
1.如何找出单摆的周期与摆长之间的定量关系




2.单摆的周期公式是怎样的



单摆的周期公式
1.提出：周期公式是荷兰物理学家⑥　　　首先提出的。
2.公式：T=⑦　　　　 ，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成⑧　　　，与重力加速度g的二次方根成⑨　　　，而与振幅、摆球质量⑩　　　。
3.应用：计时器(摆钟)。
原理：单摆的等时性。
校准：调节摆长可调节钟表的快慢。
活动　实验探究
如图所示，图1中，用三根长度相同的绳共同系住一密度均匀的小球m，小球做单摆运动；图2中，用一根绳系住该小球，小球做单摆运动。让两个图中的小球到水平固定面的距离相同。请你用秒表分别测量一下两图中摆球的周期，将结果进行对比分析，你发现了什么
【归纳总结】
　　单摆的摆长不是指摆线的长度，而是悬点到摆球球心的距离。
应用1　对单摆周期公式的理解
一个摆长为l1的单摆，在地球表面上做简谐运动，周期为T1，已知地球的质量为M1，半径为R1，另一摆长为l2的单摆，在质量为M2，半径为R2的某星球表面做简谐运动，周期为T2。若T1=2T2，l1=4l2，M1=4M2，则地球半径与此星球半径之比R1∶R2为 (　　　)
A.2∶1 B.2∶3
C.1∶2 D.3∶2
(1)单摆的周期与哪些因素有关
(2)写出单摆的周期公式。
【归纳总结】
　　对周期公式的理解
(1)由公式T=2π知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。
(2)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g=，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。
另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g=9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值，不同地点g的取值不同。
应用2　等效摆及等效重力加速度
如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是 (　　　)
　　　　　　
A.T甲>T乙>T丙>T丁 B.T甲C.T甲>T乙=T丙>T丁 D.T甲单摆周期公式T=2π中的g除与单摆所处的空间位置有关，还与单摆系统的运动状态以及单摆所处的物理环境有关。
【归纳总结】
等效摆及条件 等效重力加速度 确定方法
(ag等效=g+a
g等效=gsin θ
等效摆及条件 等效重力加速度 确定方法
g等效= 当摆球受到除重力、拉力以外的其他力，且其他力为恒力时，采用等效法，将重力和恒力的合力等效为重力
g等效=
g等效=g 当摆球受到除重力、拉力以外的其他力，且其他力的方向总是与速度方向垂直时，等效重力加速度仍为g，即T不变
g等效=g
【随堂检测】
1.(任务1、2)如图所示，一个单摆在B、C之间摆动，O为最低位置，α很小，周期是T，则(　　　)
A.摆球质量增加时，T增大
B.α变小时，T减小
C.摆球从B到O和从O到 C 的时间都是
D.摆球从B到O过程中，速度增大，加速度减小
2.(任务2)如图所示，单摆在竖直平面内以较小摆角(小于5°)在M、N间摆动，Q为圆弧OM上一点，g为当地重力加速度，单摆摆长l=。以小球向左经过Q点时为计时起点，向右为正方向，则此单摆的振动图像正确的是 (　　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
3.(任务2)惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟。图1为日常生活中我们能见到的一种摆钟，图2为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是 (　　　)
A.甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B.甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C.乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D.乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
4.(任务2)(改编)如图所示，工人正在用铅垂线测量建筑楼体是否竖直，铅垂线沿竖直墙壁垂下，铅锤用长为3.6 m的细线悬挂在房顶边缘。现将铅锤拉开一个小角度，由静止释放，使之做单摆运动，
铅垂线从最右端摆到墙体位置与从墙体位置摆到最左端所用的时间之比为3∶2，不计空气阻力，铅锤的半径与铅垂线的长度相比可忽略，重力加速度取g=10 m/s2，求窗上沿到房顶的高度。
参考答案
合作探究·提素养
任务1
问题引领
1.在情况(1)、(2)下，两摆球的摆动是同步的；在情况(3)下两摆球的摆动不同步，摆长越长，振动就越慢。
2.比较三种情况下两摆的周期得出结论：单摆做简谐运动的周期与振幅、摆球质量无关，与单摆的摆长有关。
知识生成　①控制变量法　②无关　③无关　④越大　⑤越小
应用探究
活动　【提示】单摆在一个周期内两次经过最低点，由图2可知单摆周期T=t3-t1。
任务2
问题引领
1.改变摆长l，测出对应的单摆周期T(在小偏角下)。根据实验数据，在坐标纸上画出T-l图像或T2-l 图像。根据图像来确定周期与摆长的定量关系。
2.T=2π。
知识生成　⑥惠更斯　⑦2π　⑧正比　⑨反比　⑩无关
应用探究
活动　【提示】两个摆的周期相同，说明两个单摆的摆长相等。
例1　【答案】A
【提示】(1)单摆的周期与摆长、当地的重力加速度有关。(2)T=2π。
【解析】在地球表面，单摆的周期T1=2π
在该星球表面，单摆的周期T2=2π
=g，=g'
联立解得=··=。
例2　【答案】C
【解析】甲摆中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g1=gsin θ；乙摆中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；丙摆为标准单摆；丁摆摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g4=g+a。由单摆做简谐运动的周期公式T=2π，知T甲>T乙=T丙>T丁。
随堂检测·精评价
1.C　【解析】单摆振动的周期与摆球质量和摆动角度无关，A、B两项错误；根据单摆运动的对称性可知摆球从B到O和从O到C的时间都是，C项正确；摆球从B到O过程中，速度增大，向心加速度增大，回复加速度减小，D项错误。
2.B　【解析】单摆的周期T=2π=2π=1.2 s，可知小球相邻两次经过平衡位置的时间间隔为0.6 s，以小球向左经过Q点时为计时起点，小球先向左运动至最高点，然后再向右运动回到平衡位置，B项符合题意。
3.C　【解析】由甲地到乙地摆动加快则说明周期变小，由T=2π可知，重力加速度变大，要使周期不变，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动。由以上分析可知，A、B、D三项错误，C项正确。
4.【解答】铅垂线从最右端摆到墙体位置与从墙体位置摆到最左端所用的时间之比为3∶2，根据单摆周期公式T=2π，可知==，解得h=2 m。2.3　单摆
【学习目标】
第1课时
1.通过任务1及其活动，知道单摆做简谐运动的条件。会建构理想化模型——单摆。(物理观念、科学思维)
2.通过任务2及其活动，会寻找单摆的回复力，并能判断单摆的运动是简谐运动。(科学思维、科学探究)
第2课时
1.通过任务1及其活动，探究单摆的周期的影响因素。(科学探究、科学态度与责任)
2.通过任务2及其活动，能探究出单摆的周期与摆长的定量关系，强化科学探究素养，并应用周期公式解决问题。(科学探究、科学态度与责任)
【自主预习】
思考并回答问题。
思考1：古时候没有钟表，人们根据太阳影子的长短来判断时间。中国古代很早就用日晷计时。河南省登封市告成镇现存元代的一个观星台遗址，它的台高约9.5 m，台下有长约31.2 m的南北向的“量天尺”，这是当时先进的计时建筑。
用日影测时受气象限制，很不方便，于是人们发明了漏沙计时的“沙钟”，燃香计时的“火钟”，滴水计时的“水钟”。我国北宋苏颂等人发明了“水运仪象台”，它是最早采用齿轮的机械计时仪，被著名科学史专家李约瑟誉为“现代天文钟的鼻祖”。
现在我们使用摆钟进行计时，请问影响摆钟计时准确性的因素有哪些


思考2：假设将一个摆钟(如图所示)带到空间站内，则该摆钟钟摆的周期将如何变化
正确的打“√”，错误的打“×”。
(1)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。 (　　　)
(2)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的。 (　　　)
(3)单摆的振幅越大，周期越大。 (　　　)
(4)单摆的周期与摆球的质量无关。 (　　　)
(5)秒摆的振动周期是2 s。 (　　　)
第1课时　单摆及其运动规律
【合作探究】
任务1　建立单摆模型
生活中经常可以看到悬挂起来的物体，在竖直平面内做往复运动。将一小球用细绳悬挂起来，把小球拉离最低点后释放，小球就会来回小角度摆动。
1.生活中的摆(简称实际摆)都是由什么组成的


2.实际摆在什么条件下可视为单摆


3.研究单摆具有怎样的意义


1.单摆
如图所示，如果细绳的长度①　　　，细绳的质量与小球的质量相比②　　　，球的直径与绳的长度相比③　　　，这样的装置就叫作单摆。
2.将实际摆视为单摆的条件
细绳的形变要求细绳的伸缩可以忽略
细绳的质量要求细绳的质量与悬挂的物体的质量相比可以忽略
细绳的长度要求悬挂物体的尺寸与细绳的长度相比可以忽略
单摆的受力要求忽略摆动过程中所受的一切阻力
悬点的位置要求悬点必须固定不动
3.单摆是实际摆的理想化模型，它是研究实际摆的基础。研究单摆的运动规律时，为满足将实际摆视为单摆的条件，我们在实验中应尽量选择④　　　、⑤　　　的球和尽量轻且不容易伸长的细线。
应用　判断下列实际摆是否可视为单摆
下列四种装置中，小钢球均在竖直平面内小角度(小于5°)摆动，其中可视为单摆的是 (　　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
任务2　单摆的回复力
如图所示，用一根长度为l，不可伸长的长丝线将一个质量为m的小钢球悬挂在天花板上，将小球拉至M点，使得丝线处于张紧状态，小球处于静止状态。现由静止释放小球，小球将在竖直平面内的M、N之间来回摆动，Q为小球运动过程中的某位置，O为小球运动过程中的最低位置。重力加速度为g。
1.忽略空气阻力的作用，小球在运动过程中受到哪些力的作用 它们的施力物体分别是谁


2.除了重力和丝线的拉力之外，小球在摆动过程中是否还受到一个回复力作用 为什么


3.小球在最低点O的合力是否为零 为什么

4.小球在Q点时，丝线的拉力是否和小球的重力沿丝线方向的分力相等 为什么


5.若小球在Q点时丝线与竖直方向的夹角为θ，则小球在Q点时的回复力多大 什么情况下小球的摆动可视为简谐运动


单摆的回复力
1.回复力的来源：如图所示，摆球的⑥　　　沿圆弧切线方向的分力提供回复力(沿半径方向的合力提供向心力)。
2.回复力的特点：单摆的偏角很小时，小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成⑦　　　，方向总是指向⑧　　　，单摆的运动可看成⑨　　　。
应用1　单摆受力分析
如图所示，摆球(质量为m)沿BC弧来回摆动，重力加速度为g。关于摆球的运动和受力情况，下列说法正确的是 (　　　)
A.沿圆弧运动时的向心力是拉力与摆球所受重力的合力
B.沿圆弧运动的回复力是拉力与摆球所受重力的合力
C.沿圆弧运动的回复力是mgsin α
D.当摆角很小(不超过5°)时，摆球的运动可看作简谐振动
摆球所受重力与摆线的拉力的合力有什么作用效果


【归纳总结】
　　单摆的运动既是圆周运动，又是简谐运动(摆角很小的情况下)。
(1)摆球以悬挂点为圆心，在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动，做圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与摆球重力的径向分量的合力提供。
(2)摆球以最低点为平衡位置振动，振动需要回复力，回复力由摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供(或者说是由摆球所受合力沿圆弧切线方向的分力提供)。
(3)单摆振动到平衡位置处，回复力F为零，合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动的向心力。
(4)单摆振动到最大位移处，向心力为零，合力不为零，此时合力提供摆球振动的回复力。
应用2　绘制单摆的振动图像，根据图像分析物理量的变化
如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的小漏斗，小漏斗内装上墨水。当小漏斗摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。
(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是 (　　　)
A.t1时刻摆球的速度为零，摆球的合力为零
B.t2时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球的速度为零，摆球的回复力最大
D.t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大
(1)摆球位于位移最大处时，摆球是否平衡，其速度是多少
(2)摆球摆动过程中，能量如何变化


【归纳总结】
　　摆球从平衡位置向两侧运动的过程中，速度、动能均减小，位移、加速度、回复力、重力势能均增大，机械能总量不变。摆球在平衡位置处速度最大，动能最大，在两侧最远端，位移最大，回复力最大，加速度最大，重力势能最大。
【随堂检测】
1.(任务1)(多选)单摆是为了研究振动而抽象出来的理想化模型，其理想化条件是 (　　　)
A.摆线质量不计
B.摆线不可伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.只要是单摆的振动就是简谐运动
2.(任务2)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是 (　　　)
A.摆球受重力、摆线的张力、回复力和向心力的作用
B.摆球的回复力最大时，向心力为零，回复力为零时，向心力最大
C.摆球的回复力最大时，摆线的张力大小比摆球的重力大
D.摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
3.(任务2)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中 (　　　)
A.摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零
B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
4.(任务2)光滑圆弧面上有一个小球，把它从最低点移开一小段距离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右振动，如图所示，若想判定该振动是不是简谐运动，请你陈述求证的思路(可以不进行定量证明)，空气阻力可忽略。

参考答案
自主预习·悟新知
思考1：摆钟的计时是否准确与摆钟的摆长和当地的重力加速度有关。
思考2：在空间站内摆钟完全失重，回复力为零，等效值g'=0，摆钟不摆动了。
判断　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
第1课时　单摆及其运动规律
合作探究·提素养
任务1
问题引领
1.悬挂的物体(如小球、物块等)和又长又细的绳或杆。
2.细绳或杆的长度不可改变，细绳或杆的质量与所悬挂的物体的质量相比可忽略不计，悬挂物的尺寸与细绳或杆的长度相比可以忽略不计，物体在摆动过程中，空气等对物体的阻力和绳或杆与悬挂点之间的摩擦都忽略不计，这样的实际摆可视为单摆。
3.单摆是实际摆的理想化模型，它是研究实际摆的基础。
知识生成　①不可改变　②可以忽略　③可以忽略　④质量大　⑤体积小
应用探究
例1　【答案】A
【解析】单摆是由悬点位置固定，质量可以忽略、不可伸长的绳和体积小、密度大的小球组成的。B项中，小球在摆动过程中细橡皮筋的长度变化较大，因此该装置不可视为单摆；C项中，粗麻绳的质量与小木球的质量相比，不能忽略，因此该装置不可视为单摆；D项中，悬点位置不固定，因此该装置不可视为单摆。
任务2
问题引领
1.小球运动过程中受到自身的重力和长丝线对它的拉力作用，它们的施力物体分别是地球和长丝线。
2.小球摆动过程中只受到重力和丝线的拉力作用，没有再受到一个回复力的作用。回复力是按作用效果命名的，小球在摆动过程中的回复力由重力沿圆弧轨迹的切线方向的分力提供。
3.小球由M到N的运动是圆周运动，在最低点O，小球的速度最大，丝线的拉力和小球的重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式可得T-mg=m，显然T>mg。
4.对小球在Q点的受力情况进行分析，如图所示。小球由M到N的运动是圆周运动，在Q点，小球的速度不为零，设为vQ，设丝线与竖直方向的夹角为θ，则根据牛顿第二定律和向心力公式可得T'-mgcos θ=m，显然T'>mgcos θ。
5.在Q点时，小球的重力沿圆弧轨迹的切线方向的分力大小为mgsin θ，故此时小球运动的回复力大小F=mgsin θ。当θ较小时，小球运动的圆弧可近似看成直线，此时有sin θ≈tan θ=，x为小球摆动时的位移。由于F总是指向O点，与x反向，所以摆球的回复力可写成F=-x，此式表明在θ较小时，小球的运动可视为简谐运动。
知识生成　⑥重力　⑦正比　⑧平衡位置　⑨简谐运动
应用探究
例2　【答案】D
【提示】合力沿圆弧切线方向的分力充当回复力，合力沿圆弧法线方向的分力提供向心力。
【解析】
摆球受重力mg和摆线的拉力FT，将重力沿圆弧切线和法线方向分解可知，摆球沿圆弧运动时的向心力是拉力FT与摆球重力的分力mgcos 的合力，A项错误；摆球沿圆弧运动的回复力是重力沿圆弧切线的分力mgsin ，因为摆球在摆动过程中，会发生变化，摆球沿圆弧运动的回复力也是变化的，B、C两项错误；当摆角很小(不超过5°)时，摆球的运动可看作简谐振动，D项正确。
例3　【答案】CD
【提示】(1)摆球运动到位移最大处时，摆球的速度为零，摆球受到的合力不为零，因此摆球不处于平衡状态。(2)摆球摆动过程中，重力势能和动能相互转化，机械能守恒。
【解析】由题图可知，t1时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，合力不为零，A项错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大，B项错误；t3时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，C项正确；t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，D项正确。
随堂检测·精评价
1.ABC　【解析】单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩。只有在摆角很小的情况下，摆球的运动才能被视为简谐运动，A、B、C三项正确。
2.B　【解析】摆球在运动过程中受重力和摆线张力的作用，A项错误。摆球的回复力最大时，向心力为零，摆线的张力与摆球重力沿摆线方向的分力大小相等；回复力为零时，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线方向，B项正确，C、D两项错误。
3.D　【解析】摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零；在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大。
4.【解答】对小球进行受力分析，如图所示
重力沿切线方向的分力提供回复力
F回=-mgsin θ
用x表示小球偏离平衡位置的位移，R表示圆弧面的半径，因θ很小，所以sin θ≈
得F回=-mg
是常数，位移为x，即可表示为F回=-kx
故小球以最低点为平衡位置左右振动，为简谐运动。

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