资源简介

2.4　实验：用单摆测量重力加速度
【学习目标】
1.通过任务1及其活动，明确实验原理，提升模型建构能力和科学探究素养。(科学思维、科学探究)
2.通过任务2及其活动，增强动手实践能力，培养学生学以致用的科学思想。(科学探究)
3.通过任务3及其活动，进行数据处理，强化证据意识；将数据分析结果进行升华，强化科学思维、科学探究能力。(科学思维、科学态度与责任)
【自主预习】
思考并回答问题。
思考1：写出“用单摆测量重力加速度”的实验原理公式。

思考2：该实验的误差来源有哪些 如何减小实验误差


正确的打“√”，错误的打“×”。
(1)单摆的摆长就是摆线的长度。 (　　　)
(2)实验中，摆球应选质量大些、体积小些的。 (　　　)
(3)为了使摆的周期大些，应使摆球的摆角大些。 (　　　)
(4)应从摆球经过平衡位置时开始计时。 (　　　)
(5)摆球50次经过平衡位置，则经历了25个周期。 (　　　)
【合作探究】
任务1　实验原理
对摆的研究是惠更斯所完成的最出色的物理学工作。在古代，时间测量始终是摆在人类面前的一个难题。当时的计时装置诸如日晷、沙漏等均不能在原理上保持精确。直到伽利略发现了摆的等时性，惠更斯将摆运用于计时器，人类才进入一个新的计时时代。
在研制摆钟时，惠更斯还进一步研究了单摆运动，他制作了一个秒摆(周期为2秒的单摆)，导出了单摆的运动公式。在精确地取摆长为3.0565英尺(0.932 m)时，他算出了重力加速度为9.8 m/s2。这一数值与现在我们使用的数值是完全一致的。
请你结合惠更斯与单摆的故事，与同学讨论后回答问题。
1.如果你用单摆测量重力加速度，需要测量哪些物理量


2.实验思路是怎样的


实验原理
由公式T=①　　　　 ，可知g=②　　　　 ，因此测出③　　　和④　　　，就可以求出当地的重力加速度值。
活动　问题讨论
物理课外小组研究“用单摆测重力加速度”实验，他们依照教材实验直接测量的物理量有哪些 其公式是怎样的


应用　实验器材的选择
用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。在做“用单摆测当地重力加速度”的实验时，为使实验尽可能精确，在以下器材中应选用的摆球是　　　，摆线是　　　，计时器是　　　(填写器材序号)。
A.1 m长的细线　　　B.20 cm长的尼龙线
C.小铁球 D.大木球
E.手表 F.时钟
G.秒表
除了题中所说的器材，还需要什么器材

任务2　进行实验
如图所示，图1、图2是两种不同的悬挂方式，实验器材中不同的细线有粗细、长短的差异，伸缩性也有区别。不同的小球，质量和体积也有差异。
为测量重力加速度，请同学们讨论后回答问题。
1.应如何选择摆线和摆球 为什么


2.图1、图2两幅图，哪个的悬挂方式更好，为什么


3.怎样测量摆长


4.如何测量周期


5.操作中需要注意哪些问题


1.实验步骤
(1)让⑤　　　穿过小球上的小孔，在细线穿出的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。
(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球⑥　　　。在单摆平衡位置处做上标记。
(3)用刻度尺量出悬线长度l'(精确到 mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d(精确到 mm)，则摆长l=⑦　　　　 。
(4)把单摆拉开一个角度，角度⑧　　　，释放摆球。摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动⑨　　　。
(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速 度g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.注意事项
(1)选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不短于1 m，摆球应选用⑩　　　较大的金属球，　　　应较小，最好不超过2 cm。
(2)摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。
(3)摆球摆动时，要使之保持在同一　　　内，不要形成圆锥摆。
(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，每当摆球从同一方向通过最低位置时计数，要测n次(如30次或50次)全振动的时间t，用取平均值的方法求周期T=　　　　 。
应用1　实验操作
根据单摆周期公式T=2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图1所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图2所示，小钢球的直径为　　　 mm。
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有　　　。
A.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且适当长一些
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线偏离竖直方向较大的角度
D.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到释放位置时停止计时，此时间间隔Δt即单摆周期T
E.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T=
测量时间应从何处开始计时

【归纳总结】
关于单摆的注意事项
(1)单摆小球应选用密度较大、直径较小的金属球，摆线选用一米左右的细线；
(2)摆线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定；
(3)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°；
(4)测周期：应选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数；
(5)测摆长：在摆球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l，用游标卡尺测量摆球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长L=l+r。
应用2　读数
在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g=　　　　 。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图1所示，则单摆的摆长是　　　m。若测定了40次全振动的时间如图2中秒表所示，则秒表的读数是　　　s，单摆摆动的周期是　　　s。
(1)图1中摆长怎么计算
(2)图2中秒表外围的一周是多少秒 最小分度值是多少

任务3　数据处理与实验创新
实验过程中有两小组做了下面的实验操作：
小组一：把小球拉到左侧某处由静止释放，同时计时开始，小球再次回到这个位置数数字1，一共数了50次，然后计算周期。
小组二：小球经过最低点开始计时，数数字0，再次回来数数字1，以此类推，一直数到数字100，然后计算周期。
1.哪个实验小组对单摆周期的测量更加准确


2.如何计算g


1.平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。
设计如下所示实验表格。
实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速 度g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法：由T=　　　　 得T2=　　　　，作出　　　图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k=　　　　 ，由图像的斜率即可求出重力加速度g的数值。
应用1　图像法处理数据与误差分析
某同学在实验室利用单摆测量当地的重力加速度。
(1)如图，该同学测出不同摆长L和对应的周期T，并在坐标纸上作出T2-L图线，由图线可精确求出重力加速度g=　　　m/s2(已知π2≈9.87，结果保留3位有效数字)。
(2)另一同学由单摆周期公式直接求得的g值偏小，则可能是　　　。
A.测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径
B.把N次全振动误计为(N+1)次全振动
C.摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线变长
(1)T2-L图像中图线的斜率表示什么
(2)从公式上看，g值偏小，可能是哪方面引起的

应用2　实验创新
用单摆测重力加速度实验的三种创新方案
用力传感器测周期
用光敏电阻传感器测周期
不测(不能测量)小球半径 第一次摆线长为L，第二次摆长减小ΔL，则T1=2π，T2=2π 联立解得g=
利用智能手机结合某些软件可完成一些物理实验。某同学在家利用以下器材来测量当地的重力加速度：智能手机、环形小磁铁、轻质细线、米尺等，实验步骤如下。
A.将环形磁铁绑在细线中间，然后将细线两端固定在铁架台的水平横梁上，调整细线长度，使两侧细线等长；
B.将带有磁传感器的手机放在环形磁铁的正下方，然后用米尺测量一侧细线从上端到环形磁铁的长度，测量5次，取平均值l，接着测量横梁上两悬点之间的距离，也测量5次，取平均值d；
C.将环形磁铁拉离最低点，使细线偏离原来两条细线所在的竖直面小于5°的角度，运行手机上测量磁感应强度的软件，然后由静止释放环形磁铁，记录磁感应强度随时间变化的图像，如图1所示；
D.改变细绳长度，重复B、C实验步骤，得到多个磁感应强度随时间变化的图像。
(1)关于实验中减小误差的一些做法，下列说法正确的是　　　。
A.使用的细线应细些、伸缩性小一些
B.选择体积稍小些的小环形磁铁
C.进行数据处理时，一定要选取环形磁铁经过最低点时作为计时起点
(2)在重复实验时，细线拉离竖直方向的夹角不同(但都小于5°)，对于实验的测量结果　　　(选填“有”或“没有”)影响。
(3)若实验中得到的图像如图2所示，则当地重力加速度g=　　　　　　　 (用所测物理量和图2中的已知量来表示)。
【随堂检测】
1.(任务1、2)在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应在最　　　(选填“高”或“低”)点，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图1中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间，则单摆振动周期为　　　。
(2)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长，测量情况如图2所示。O为悬挂点，从图2中可知单摆的摆长为　　　m。
(3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g=　　　　 。
(4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于使重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变。”这两个学生中　　　。
A.甲的说法正确
B.乙的说法正确
C.两学生的说法都是错误的
2.(任务2、3)某同学用单摆测量当地的重力加速度。他测出了摆线长度L和摆动周期T，如图1所示。通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图像如图2所示。由图像可知，摆球的半径r=　　　m，当地重力加速度g=　　　m/s2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会　　　(选填“偏大”“偏小”或“一样”)。
3.(任务3)某同学利用如图1所示装置测量重力加速度的大小。传感器固定在悬点O正下方，该传感器可记录光的强弱随时间的变化情况。当小球摆到最低点遮挡光线时，传感器采集的光线最弱，计算机采集数据后得到光的强弱与时间图像如图2所示。
(1)第1次光最弱到第N次光最弱的时间为t，则该单摆的周期可表示为T=　　　(用N、t表示)。
(2)该同学用游标卡尺测小球直径D，如图3所示，则D=　　　mm，用米尺测量知摆线长为L，用D、L、T表示重力加速度的公式为g=　　　　 。
4.(任务3)采用圆弧形轨道等效单摆也可以做测量重力加速度实验。如图所示，表面打磨得较为光滑的金属制成的圆弧轨道，对应的圆心角小于10°，小球在圆弧上的往复运动可以看作简谐运动。
(1)实验器材：半径的标称值为R的圆弧轨道、一颗小钢球、一部手机。
(2)主要实验步骤：
①把圆弧轨道放置在水平桌面上；
②手机打开其秒表功能；
③将小钢球从轨道的某点由静止释放，小钢球往复运动起来，稳定后从平衡位置开始利用手机秒表功能计时，按表时计数为零，记录下小钢球第n次返回该点需要的总时间t(要求n不少于30次)。
(3)数据处理
①小球简谐运动的周期T=　　　　 。
②重力加速度的测量值g=　　　　 。
(4)误差分析
如果手机上能够查到当地的重力加速度值，发现本次测量值与查到的当地的重力加速度值相比偏小。若认为其原因是计时次数出现误差，则n的实际值可能为　　　(选填“n+1”或“n-1”)次。
参考答案
自主预习·悟新知
思考1：由T=2π可得g=。
思考2：该实验的误差来源有悬点不固定，球、线不符合要求，摆球不是做严格的简谐运动，摆长、时间测量不准确等。减小实验误差的措施主要是控制好这些影响因素，让摆球做严格的简谐运动，准确测量摆长、时间等。
判断　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
合作探究·提素养
任务1
问题引领
1.测量单摆的运动周期和摆长。
2.确定实验原理，选择合适的仪器，进行实验，根据所得到的数据进行计算，对结果进行论证，并得出结论。
知识生成　①2π　②　③摆长l　④周期T
应用探究
活动　【提示】实验直接测量的物理量有摆线长l0、摆球直径d、n次全振动的时间t；计算的公式是g=。
例1　【答案】C　A　G
【提示】铁架台、刻度尺、游标卡尺。
【解析】为使实验尽可能精确，摆球应选用密度大、体积小的，从而减小空气阻力对实验的影响，C项正确；摆线应选择适当长一些、细一些且伸缩性差的，A项正确；为了使时间测量更精确，计时器应选秒表，G项正确。
任务2
问题引领
1.我们应该选择比较细、长度适中、伸缩性差的细线和质量大、体积小、密度大的球，这样实验过程中可以减小阻力的影响。
2.图2更好，使用夹子固定悬挂点，这样，实验时摆长就不容易变化，若按图1悬挂，单摆运动过程中摆长有变化。
3.方法一： 用刻度尺直接测量小球球心与悬挂点之间的距离作为摆长的测量值，用图示的方法减小误差。
方法二：用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬挂点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。
4.实验时，用秒表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过T=求出它的周期的测量平均值。
5.(1)选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不短于1 m，摆球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
(2)摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。
(3)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，每当摆球从同一方向通过最低位置时计数，要测n次(如30次或50次)全振动的时间t，用取平均值的方法求周期T=。
知识生成　⑤细线　⑥自由下垂　⑦l'+　⑧很小　⑨周期　⑩密度　直径　竖直平面　
应用探究
例2　【答案】(1)18.6　(2)ABE
【提示】从平衡位置开始计时。
【解析】(1)按照游标卡尺的读数规则得小钢球的直径18 mm+6×0.1 mm=18.6 mm。
(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过5°，A、B两项正确，C项错误。为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时开始计时，且需测量多次全振动所用时间，然后取平均值计算出一次全振动所用的时间，D项错误，E项正确。
例3　【答案】l　0.8750　75.2　1.88
【提示】(1)图1中摆长由最低点的示数减去小球半径得到。(2)图2中秒表外围的一周是30 s，最小分度值是0.1 s。
【解析】由T=2π可知g=
由图可知，摆长l=(88.50-1.00)cm=87.50 cm=0.8750 m
秒表的读数t=60 s+15.2 s=75.2 s
所以T==1.88 s。
任务3
问题引领
1.小组二，可以减小偶然误差。
2.根据公式T=2π，可知g=，然后代入数值计算。
知识生成　2π　l　T2-l　
应用探究
例4　【答案】(1)9.77　(2)AC
【提示】(1)根据单摆的振动周期公式T=2π，可得T2=L，则图像的斜率k=。(2)由g=可得，g值偏小，可能是因为摆长测量值偏小或周期测量值偏大。
【解析】(1)根据T=2π，解得T2=L，图像的斜率k= s2/m=4.04 s2/m=，解得重力加速度g≈9.77 m/s2。
(2)根据T=2π，解得g=，测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径，摆长变短，则g值偏小；根据T=，把N次全振动误计为(N+1)次全振动，则测得的周期变小，则g值偏大；摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线变长，测得的周期变大，则g值偏小。
例5　【答案】(1)AB　(2)没有　(3)
【解析】(1)使用的细线应细些、伸缩性小一些，这样更接近单摆模型，A项正确；小环形磁铁体积稍小些，能进一步减小阻力影响，提高准确度，B项正确；数据处理时，不一定要取最低点作为计时的起点，C项错误。
(2)在重复实验时，摆线偏离竖直方向的夹角虽然不同，但在都小于5°的情况下，单摆的周期与偏离的夹角无关，故不会对实验造成影响。
(3)由步骤B可知，摆长L=，根据图2可知周期T=，将以上各量代入单摆周期公式T=2π，整理得到g=。
随堂检测·精评价
1.(1)低　2.05 s　(2)0.9970　(3)　(4)A
【解析】 (1)摆球经过最低点时速度最大，容易观察和计时；图1中停表的示数为1.5 min+12.5 s=102.5 s，则周期T= s=2.05 s。
(2)从悬点到球心的距离即为摆长，可得L=0.9970 m。
(3)由单摆周期公式T=2π可得g=。
(4)由于受到空气浮力的影响，小球的质量没变而相当于小球所受重力减小，即等效重力加速度减小，因而振动周期变大，A项正确。
2.1.0×10-2　9.86　一样
【解析】由T=2π，得T2=r+L。由图2可知r=0.04， =k=，解得r=1.0×10-2 m，g=9.86 m/s2。此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值一样。
3.(1)　(2)10.60　
【解析】(1)在一个周期内摆球2次经过平衡位置，一个周期内摆球两次挡光，单摆的周期T==。
(2)用游标卡尺测小球直径D=10 mm+0.05 mm×12=10.60 mm。
单摆摆长l=L+，单摆周期公式T=2π，则g=。
4.(3)①　②　(4)n+1
【解析】(3)①小球第n次返回平衡位置时，经过了个周期，则周期T==。
②根据单摆的周期公式T=2π可得g=，联立可得g=。
(4)g值偏小，可能原因是测量周期偏大，根据T=可知n比实际值小，则n的实际值可能为n+1次。

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