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浙教版2026—2027学年八年级上册期中全真模拟金牌冲刺卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
3．若的三边长满足，则一定是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
4．如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以v厘米/秒的速度由C点向A点运动．若运动时间为t秒时，与全等，则t的值为（　　）
A．3 B．3或4 C．1或1.25 D．1
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8． 如图，在△ABC和△ECD中， D、B、C三点共线， AB=CD， AC=DE， CE=BC， 若已知∠ABC的大小，则下列哪个角的大小可知(　　).
A．∠E B．∠D C．∠ACF D．∠EFB
9．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，中，，，三条角平分线、、交于，于下列结论：；；平分；其中正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知长方形纸片，点E在边上，点F、G在边上，连接、．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，若点G在点F的右侧，且．则的度数为　 　．
12．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为　 　．
13．如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则　 　°．
14．如图，在中，已知点D，E分别为边，中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于　 　．
15．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的值的和是　 　．
16．如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：．
（2）解方程组
（3）解不等式组，并写出它的正整数解．
18．如图，．
（1）若是的平分线，，求的大小
（2）若，那么平分吗？请说明理由．
19．为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元.
（1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
（2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》
20．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：；
（2）直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由．
21．如图，点A、B、C在同一直线上，点E在上，且，，．
（1）求的长；
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
22．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，如图②，伞圈 D沿着伞柄AP 滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨 BD， CD的B，C点固定不动，且到点 A的距离满足AB=AC.
（1）当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨 BD 和CD 相等吗？请说明理由.
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D 在同一直线上且伞圈D 到A 的距离AD=6cm，伞面宽 MN=16 cm，若当点 B 恰好是AM 的中点，求伞骨 BD 的长.
23．如图，两个形状、大小完全相同的含有角的直角三角板如图1放置，、与直线重合．
（1）如图1，为　 　°；
（2）如图2，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，旋转速度为秒，平分，平分．设旋转时间为t秒（），请用t表示如下角．
①________________；
②________________；
③在旋转过程中，试探究的度数是否变化．如变化，请说明理由，如不变化，请求出度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，三角板旋转的同时，三角板的边从处绕着点P逆时针旋转，三角板转速为秒．当与重合时，两个三角板停止转动．若在旋转过程中，，求三角板转速a．
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数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：在与中，已知，，
A. 添加，不能证明，故该选项符合题意；
B. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
C. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
D. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
故选：A
【分析】
一般三角形全等的判定共有4种方法，即SSS、SAS、ASA及AAS，注意不存在SSA这种方法．
3．若的三边长满足，则一定是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：，，为的三边长，
，
，
，
即：，
一定是直角三角形；
故选：D．
【分析】
根据题目给出的条件可以推出，也就是，由此就可以判断三角形的形状，完成求解.
4．如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴∠1=∠ABC，
∵，，
∴∠2=∠A+∠ABC=40°+60°=100°。
故答案为：D。
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC的度数，根据外角性质求出∠2的度数。
5．如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出即可.
6．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以v厘米/秒的速度由C点向A点运动．若运动时间为t秒时，与全等，则t的值为（　　）
A．3 B．3或4 C．1或1.25 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵中，厘米，点为的中点，
∴厘米，
若，则需厘米，(厘米)，
∵点P的运动速度为1厘米/秒，
∴点P的运动时间为：；
若，则需厘米，，
∴点P的运动时间为：；
∴的值为：4或3，
故答案为：B．
【分析】分类讨论：①若，②若，再分别利用全等三角形的性质及“路程、速度和时间”的关系列出算式求解即可.
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P'，连接QP'，
△AQP和△AQP'中，
，∴△AQP≌△AQP'，
∴PQ=QP'
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，
∴当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P'与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=AB=6，
∴PQ+BQ的最小值是6，
故选：C．
【分析】
通过作辅助线，由△AQP≌△AQP'，得PQ=QP'，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，即当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P'与C重合，最小值为BC的长．
8． 如图，在△ABC和△ECD中， D、B、C三点共线， AB=CD， AC=DE， CE=BC， 若已知∠ABC的大小，则下列哪个角的大小可知(　　).
A．∠E B．∠D C．∠ACF D．∠EFB
【答案】D
【解析】【解答】解：在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(SSS)，
∴∠ABC=∠DCE，
∵∠EFB是△FBC的外角，
∴∠EFB=∠ABC+∠DCE=2∠ABC，
∴已知∠ABC的大小，
∴∠EFB的大小可知，
故答案为：D .
【分析】先依据“SSS”判定△ABC和△CDE全等得∠ABC=∠DCE，再根据三角形的外角性质得∠EFB=∠ABC+∠DCE=2∠ABC， 然后根据已知∠ABC的大小即可得出∠EFB的大小可知，由此即可得出答案.
9．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，
在等边中，，
∵DE∥BH∥FG，，
∴，∠2=∠HBC
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先由等边三角形性质，得到∠ABC=60°，再由平行线性质，推出，∠2=∠HBC，再通过把∠ABC进行拆分，即可推出∠2的度数。
10．如图，中，，，三条角平分线、、交于，于下列结论：；；平分；其中正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解： ，
，
，
， ，
，
故①正确；
于H ，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故③错误；
如图，在BC上截取BI=BF，连接OI ，
，
，
，
，
在△OBI和△OBF中，
，
∴△OBI≌△OBF（SAS）
，
，
，
，
在△CIO与△CEO中，
，
∴△CIO≌△CEO（ASA）
，
，
故④正确.
故答案为：C.
【分析】易得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的概念可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，则∠OBC+∠OCB=60°，利用内角和定理求出∠BOC的度数，据此判断①；根据余角的性质结合外角的性质可得∠DOH=90°-∠BAD-∠ABC，结合角平分线的概念以及内角和定理可得∠DOH=(∠ACB-∠ABC)，进而判断②；易得∠ACB>60°，则∠ABC二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知长方形纸片，点E在边上，点F、G在边上，连接、．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，若点G在点F的右侧，且．则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：当点在点的右侧，
由翻折性质得平分，平分，
，，
，
，，
，
；
∴
故答案为：．
【分析】本题考查角的计算，翻折性质，以及角平分线的定义，当点在点的右侧，由翻折性质得平分，平分，得到和，求得，结合，求出的度数，即可得到答案．
12．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
∵，，，
∴平分，
∴；
故答案为：．
【分析】
先由角平分线的判定定理可得CD平分，再由直角三角形两锐角互余可得，再利用角平分线的概念即可．
13．如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则　 　°．
【答案】40
【解析】【解答】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【分析】利用垂直平分线的性质和角平分线的定义可得，再结合，，求出，最后求出即可.
14．如图，在中，已知点D，E分别为边，中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于　 　．
【答案】3
【解析】【解答】∵点E是AD的中点，
∴S△BED=S△ABD，S△CDE=S△ACD，
∴S△BCE=S△BED+S△CDE=S△ABD+S△ACD=（S△ABD+S△ACD）=S△ABC=×24=12，
∵△BEF和△BCF的高是相同的，，
∴S△BEF：S△BCF=EF：CF=1：3，
∴S△BEF=S△BCE=，
故答案为：3.
【分析】先求出S△BCE=S△BED+S△CDE=S△ABD+S△ACD=（S△ABD+S△ACD）=S△ABC=×24=12，再结合S△BEF：S△BCF=EF：CF=1：3，求出S△BEF=S△BCE=即可.
15．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的值的和是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵不等式组有解，
整理不等式组可得，
由不等式组有解，得到，解得，
解分式方程，
分式方程去分母得，解得，
∵关于的分式方程的解为整数，
∴
解得，
当时，，
当时，，则满足题意的整数；
∴满足题意的整数的值的和是．
故答案为：．
【分析】
解不等式（组）得到a的取值范围，解分式方程，得到满足条件的a的值，从而求出它们的和.解不等式组，结合该不等式组有解，可得，再解分式方程可得，结合题意可得，当时，，当时，，即可获得答案．
16．如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：①∵于点E，于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
②过点作于点，于点，
∵
∴
又
∴，
∴
∴平分
又
所以，；
③，
∵
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
同理可得：是等腰直角三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴，故③错误；
④延长到点，使，连接，，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴垂直平分，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴，故④正确；
综上所述，正确的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】 由于点E，于点D，得，则，而，则，所以，即可证明，则，可判断①；过点作于点，于点，证明，得可得平分从而判断②；分别证明是等腰直角三角形，可证，得进而得到，再证明即可判断③；延长到点，使，连接，，证明得证明是等边三角形，进一步判断④．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：．
（2）解方程组
（3）解不等式组，并写出它的正整数解．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
解：把3x-2y=4方程两边同时乘以3，得9x-6y=12③，
用②-③得：9x-5y-9x+6y=13-12，
解得：y=1，
把y=1代入①得：3x-2×1=4，
解得x=2
所以方程组的的解为：
（3）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以，不等式组的解集是，
该不等式组的正整数解是1，2．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质，立方根，绝对值计算求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（3）利用不等式的性质先求出不等式组的解集是， 再求解即可。
18．如图，．
（1）若是的平分线，，求的大小
（2）若，那么平分吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵是的平分线∴
又∵
∴
∴
而
∴

（2）解：平分，理由：∵
∴
又∵
∴
∴平分
【解析】【分析】（1）由是的平分线，得到，再由，根据平行线的性质，得到，，即可得到；
（2）由，得到，，结合，证得，得到 ，即可证得平分.
19．为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元.
（1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
（2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》
【答案】（1）解：设《昆虫记》的订购单价为元，则《经典常谈》的订购单价为元，
∵ 订购的两种书籍数量相同，
∴，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：《昆虫记》的单价为10元，《经典常谈》的单价为15元；
（2）解：设购买本《经典常谈》，则购买本《昆虫记》，
∵ 两种书籍总费用不超过1200元，
∴，
解得，
∵为非负整数，
∴的最大值为40，
答：最多可购买40本《经典常谈》．
【解析】【分析】（1）设《昆虫记》的单价为元，则《经典常谈》的单价为元，根据"数量=总价÷单价"分别表示出两种书籍的订购数量；由两种书籍数量相同列出分式方程，解方程后检验根是否符合题意，进而求出两种书籍的单价；
（2）设购买本《经典常谈》，则购买本《昆虫记》，根据"总价=单价×数量"分别表示出两种书籍的费用，结合总费用不超过1200元列出一元一次不等式；解不等式得到的取值范围，结合为非负整数，求出的最大值，即为最多可购买的《经典常谈》的数量。
20．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：；
（2）直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴，
（2）解：是线段的垂直平分线，理由如下：
∵，，
∴在的垂直平分线上，
即是线段的垂直平分线．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质进行证明。根据SSS证明；
（2）根据垂直平分线的判定进行证明。利用垂直平分线的判定得到在的垂直平分线上是证明的关键。
21．如图，点A、B、C在同一直线上，点E在上，且，，．
（1）求的长；
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，，
；
（2）解：与垂直，
理由：，
，
又A、B、C在一条直线上，，
，
与垂直．
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）和补角的性质（邻补角之和为180°），利用全等性质可求线段长度和角的度数，进而判断直线位置关系。
（1）解题时，由，根据全等三角形对应边相等，可得，；再根据线段的和差关系，，代入数值计算得到。
（2）解题时，由全等三角形对应角相等，可得；又因为A、B、C在同一直线上，所以（邻补角之和为180°）；由此可推出，即。
（1）解：，
，，
；
（2）解：与垂直，
理由：，
，
又A、B、C在一条直线上，，
，
与垂直．
22．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，如图②，伞圈 D沿着伞柄AP 滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨 BD， CD的B，C点固定不动，且到点 A的距离满足AB=AC.
（1）当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨 BD 和CD 相等吗？请说明理由.
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D 在同一直线上且伞圈D 到A 的距离AD=6cm，伞面宽 MN=16 cm，若当点 B 恰好是AM 的中点，求伞骨 BD 的长.
【答案】（1）解：处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等；理由如下：
∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴BD=CD；
（2）解：∵△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AM = AN，
=8(cm)，
∵AD=6cm，
∵∠ADM = 90°， 点B恰好是AM的中点，
答： 伞骨BD的长为5cm.
【解析】【分析】(1)根据题意可得∠BAD=∠CAD， 即可根据SAS证明△ABD≌△ACD， 即可得出结论；
(2)根据等腰三角形的三线合一得到DM=DN=8cm，然后根据勾股定理求出AM的长，然后利用直角三角形的斜边性质解答即可.
23．如图，两个形状、大小完全相同的含有角的直角三角板如图1放置，、与直线重合．
（1）如图1，为　 　°；
（2）如图2，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，旋转速度为秒，平分，平分．设旋转时间为t秒（），请用t表示如下角．
①________________；
②________________；
③在旋转过程中，试探究的度数是否变化．如变化，请说明理由，如不变化，请求出度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，三角板旋转的同时，三角板的边从处绕着点P逆时针旋转，三角板转速为秒．当与重合时，两个三角板停止转动．若在旋转过程中，，求三角板转速a．
【答案】（1）120
（2）①；
②；
③不变化，，理由如下：
∴不变
（3）依题意得：，当PC与PM重合时
① 当时，运动结束前，，在直线下方．
∴
化简得
∴；
② 当时，不断增大，先减小后增大，不可能为定值，故舍弃．
答：三角板转速为秒．
【解析】【解答】（1）由图可知：，
故答案为：．
（2）
①由图可知，
故答案为：；
②由图可知
故答案为：；
【分析】
（1）由图可知；
（2）由图可知，，根据，可得，代入计算可得为定值；
（3）依题意得：，，当PC与PM重合时，当a≤5时，由，求得的值；当时，不断增大，先减小后增大，不可能为定值．
（1）由图可知：，
故答案为：．
（2）①由图可知，
故答案为：；
②由图可知
故答案为：；
③不变化，，理由如下：
∴不变
（3）依题意得：，
当PC与PM重合时
① 当时，运动结束前，，在直线下方．
∴
化简得
∴；
② 当时，不断增大，先减小后增大，不可能为定值，故舍弃．
答：三角板转速为秒．
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