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浙教版2026—2027学年九年级上册期中押题争先争优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于（　　）
A．36° B．54° C．64° D．72°
3．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（　　）
A．5米 B．4米 C．2.25米 D．1.25米
4．抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①；
②；
③（m为任意实数）；
④点是该抛物线上的点，且．
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（　　）
A．0.53 B．0.87 C．1.03 D．1.05
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE＝2，CD=8，则⊙O的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）
A． B． C． D．
9．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的各顶点称为格点，直角△ABC的顶点均在格点上，则满足条件的点C有（　　）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
10．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图，排污管道的横截面是直径为2m的圆，测得淤泥横截面（阴影部分）的宽AB为1m，则淤泥横截面的面积为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是　 　
12．已知抛物线y＝（x﹣m）2＋n与x轴交于点(1，0)，(4，0)，则关于x的一元二次方程（x﹣m﹣3）2＋n＝0的解是　 　．
13．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝　 　 度．
14．已知抛物线y＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0， ）的下方，那么m的取值范围是　 　．
15．为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动.已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率　 　.
16．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在一条直线上，则∠BOC的度数是　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．一个不透明的箱子里装有个红球和个黄球，每个小球除颜色外其他完全都相同．
（1）现从该箱子里摸出个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树形图或列表的方法）；
（2）如果将箱子中增加若干个白球（与其他球除颜色外完全相同）后，把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，然后记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定于左右，请你估计增加白球的个数．
18．中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
19．（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，．
（1）求半径的长；
（2）求图2中阴影部分的面积．
20．如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知点E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=xcm.
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V.
（2）某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值
21．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x(0＜x＜20，x是整数）元．
（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出 　 　个台灯（用含的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
22．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价/元 … 12 13 14 …
每天销售数量/件 … 36 34 32 …
（1）求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围．
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
23．我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”．
（1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
（2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值．
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浙教版2026—2027学年九年级上册期中押题争先争优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：列表如下：
　 C D E
A (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，C) (B，D) (B，E)
共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种．
他选择从口进入，从口离开的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题．
2．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于（　　）
A．36° B．54° C．64° D．72°
【答案】B
【解析】【解答】∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵∠DAB=∠BCD=36°，
∴∠ABD=90°-36°=54°.
故答案为：B．
【分析】根据圆周角的性质可得∠ADB=90°，∠DAB=∠BCD=36°，再利用三角形的内角和可得∠ABD=90°-36°=54°。
3．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（　　）
A．5米 B．4米 C．2.25米 D．1.25米
【答案】C
【解析】【解答】解：∵OA=5，CA⊥x轴，
∴点A的坐标为（-5，0）
当x=-5时y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴点C（-5，-2.25），
∴AC=|-2.25|=2.25米.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件OA=5，CA⊥x轴，可得到点A的坐标，同时可知点A和点C的横坐标相等，将x=-5代入函数解析式，可求出对应的y的值，即可得到点C的坐标，从而可求出AC的长.
4．抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①；
②；
③（m为任意实数）；
④点是该抛物线上的点，且．
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2 4ac>0，①正确；
②抛物线的对称轴为直线x= 1，即，
∴2a b=0，②正确；
③图象开口向下，对称轴为直线x= 1，
∴x= 1时，y=a b+c有最大值，对于任意实数m均有a b+c am2+bm+c，即a b m(am+b)，③正确；
④∵(，y3)在抛物线上的对称点为(，y3)，
∵，
∴y2>y3>y1，④错误；
故选：A
【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系.观察图形可得：抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2 4ac与0的关系可得： b2 4ac>0 ，据此可判断说法①；根据 抛物线的对称轴为直线x= 1 ，利用对称轴的计算公式可得： 2a b=0 ，据此可判断说法②；根据当x= 1时，抛物线有最大值，进而可得对于任意实数m均有a b+c am2+bm+c，变形后可判断说法③．根据， 再利用抛物线增减形式，可判断函数值的大小，据此可判断说法④．
5．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（　　）
A．0.53 B．0.87 C．1.03 D．1.05
【答案】A
【解析】【解答】解∶抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，当抛掷的次数很大时，频率会稳定在概率的周围波动，
∴落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动，
∴正面朝上的频率最有可能接近的数值为0.53.
故答案为：A.
【分析】根据频率估计概率的知识可得：落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动，据此判断.
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE＝2，CD=8，则⊙O的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E，根据垂径定理得，
设的半径为R，则，
在中，根据勾股定理得，
即，
解得：，
即的半径长是5，
故答案为：C.
【分析】连接，设的半径为R，则，根据垂径定理得出，再由勾股定理得，计算求解可得的半径长是5.
7．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，
∴
∵ ∠ADC＝30°，
∴∠BOC=2∠ADC=60°
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
8．某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，∴顶点坐标为，
∵，
∴抛物线与的交点为顶点，
∴为y轴，
∵二次函数与y轴的交点为，且，
∴为x轴，
故答案为：D．
【分析】将解析式转换为顶点式可得顶点坐标，再根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
9．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的各顶点称为格点，直角△ABC的顶点均在格点上，则满足条件的点C有（　　）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，
即，有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，
即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．
故答案为：C．
【分析】此题重在分情况讨论，题目中给出了三角形的一边AB，但没有明确是否为直角边或斜边，其实，这个t题目的背景是正六边，包含特殊关系的边和角，进行边角分析后就能得到结果。
10．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图，排污管道的横截面是直径为2m的圆，测得淤泥横截面（阴影部分）的宽AB为1m，则淤泥横截面的面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点O作于D，根据垂径定理可得AD=BD=AB=m，且。
根据题意，圆的直径为2米，因此半径OA=1米。在直角三角形OAD中：
OA为斜边，长度为1米
AD为直角边，长度为1m÷2=0.5m
由于sin∠AOD===0.5，故∠AOD=30°。由此可得圆心角∠AOB=60°，因此△AOB是等边三角形。
因为淤泥横截面的面积等于扇形面积减去三角形面积：
所以 扇形面积=×π×12=
所以三角形面积=×12=
所以淤泥面积=
故答案为：A
【分析】这道题求的是圆内淤泥横截面的面积，实际上就是一个弓形的面积。已知圆的直径是2米，所以半径是1米，淤泥的宽度AB是1米。先找到圆心O，连接OA和OB，这两条都是半径，长度为1米，AB也是1米，所以△OAB是等边三角形，每个角都是60°。淤泥的面积等于圆心角60°的扇形面积减去等边三角形的面积。扇形面积是六分之一圆的面积，也就是六分之一乘π乘12，等于六分之π。等边三角形面积是边长为1时的四分之根号三。所以淤泥面积就是，对应选项A。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：
根据概率公式，摸出白球的概率 摸出不是白球的概率
由于二者相同，故有
整理得
故答案为：
【分析】由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系.
12．已知抛物线y＝（x﹣m）2＋n与x轴交于点(1，0)，(4，0)，则关于x的一元二次方程（x﹣m﹣3）2＋n＝0的解是　 　．
【答案】x1＝4，x2＝7
【解析】【解答】解：抛物线y＝（x﹣m）2＋n与x轴交于点(1，0)，(4，0)，
将抛物线y＝（x﹣m）2＋n向右平移3个单位得到y＝（x﹣m﹣3）2＋n，
则平移后的抛物线与x轴的交点为：(4，0)、(7，0)；
故一元二次方程（x﹣m﹣3）2＋n＝0的解是：x1＝4，x2＝7，
故答案为：x1＝4，x2＝7．
【分析】将本题转换成二次函数图象平移的性质求解：左加右减，因为-3，所以应该往右平移3个单位。
13．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝　 　 度．
【答案】54
【解析】【解答】由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得 ，
∴ ，
∵ ，DG平分正五边形的外角∠EDF，
∴ ，
∴ ．
故答案是54．
【分析】根据正五边形的性质及角平分线的定义，可得∠DPG=90°，，利用三角形内角和得出，利用角平分线的定义，可得由即可求出结论.
14．已知抛物线y＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0， ）的下方，那么m的取值范围是　 　．
【答案】 m
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，
∴当 ， 即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，
解得：m＞ ，
又∵抛物线与y轴的交点在点（0， ）的下方，
∴当 ， ，即
解得：m＜ ，
综上可得： ＜m＜ ，
故答案为： ＜m＜ .
【分析】先求出m＞ ，再求出m＜ ，最后求解即可。
15．为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动.已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：列树状图为：
∵共6种等可能的结果，再次选到B的有4种，
∴他再选择B活动的概率是
故答案为：
【分析】画树状图得到所有的等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式求解即可.
16．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在一条直线上，则∠BOC的度数是　 　
【答案】30°
【解析】【解答】解：由题意可得：，OC⊥CD，
∴∠OBC=180°-∠ABO=60°，∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=30°，
故答案为：30°.
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求出∠OBC=180°-∠ABO=60°，再根据正方形的性质求出∠OCB=90°，最后利用三角形的内角和计算求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．一个不透明的箱子里装有个红球和个黄球，每个小球除颜色外其他完全都相同．
（1）现从该箱子里摸出个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树形图或列表的方法）；
（2）如果将箱子中增加若干个白球（与其他球除颜色外完全相同）后，把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，然后记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定于左右，请你估计增加白球的个数．
【答案】（1）解：画树状图，如图所示：
∴一共有种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有4种，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率；
（2）解：设增加个白球，则，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴需要增加个白球．
【解析】【分析】（1）此题是抽取放回类型，根据题意用树状图列举出所有等可能情况数，由图可知一共有9种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有4种， 再运用概率公式列式计算即可；
（2）大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此设再增加x个白球，运用概率公式列出方程，求解并检验即可.
（1）解：画树状图，如图所示：
∴一共有种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有4种，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率；
（2）解：设增加个白球，
则，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴需要增加个白球．
18．中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
∴（元），
答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是
（2）解：设售价定为元，利润为元，
依题意，得：，
∵
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为元，
答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】【分析】（1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
∴（元），
答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元；
（2）设售价定为元，利润为元，
依题意，得：，
∵
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为元，
答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元．
19．（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，．
（1）求半径的长；
（2）求图2中阴影部分的面积．
【答案】（1）解： ∵，，
∴
∵，
∴
∵，由题意得，
∴
在中，，
∴，
即的半径的长为．
（2）解：如图，连接.
，
，
∵ 在中，，
∴为等边三角形，
【解析】【分析】
（1）垂径定理的应用，先根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得，再由矩形的判定与性质可得，再由垂径定理得，最后再根据勾股定理得即可．
（2）由割补法即，再分别计算出矩形、扇形和三角形面积即可．
（1）解： ∵，，
∴
∵，
∴
∵，由题意得，
∴
在中，，
∴，
即的半径的长为．
（2）连接
，
，
∵ 在中，，
∴为等边三角形，
20．如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知点E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=xcm.
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V.
（2）某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值
【答案】（1）解：根据题意，设AE=BF=x(cm)，折成的包装盒恰好是个正方体，
知这个正方体的底面边长 则QE=QF= 故
∵正方形纸片ABCD边长为24cm，
解得：x=6，
则正方体的底面边长
答：这个包装盒的体积是
（2）解：设包装盒的底面边长为 acm，高为hcm，则a=
∴当x=8时，S取得最大值
【解析】【分析】(1)根据已知得出这个正方体的底面边长 再利用
AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；
(2)利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可.
21．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x(0＜x＜20，x是整数）元．
（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出 　 　个台灯（用含的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
【答案】（1）(600-10x)
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，．
答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个；
（3）解：设每月的销售利润为，
根据题意得：，
∵a=-10＜0，
∴抛物线的开口向下，
又∵对称轴直线为x=25，
∴当x＜25时，w随x的增大而增大，
，取整，
当时，有最大值，最大值为11890，
此时售价为：（元），
答：台灯售价定为59元时，每月销售利润最大．
【解析】【解答】解：（1） 售价上涨x元后，该商场平均每月可售出台灯的数量为：600-10x（个）；
故答案为：(600-10x)；
【分析】（1）根据原销售量减去因为涨价而减少的销售数量即可得出售价上涨元后的月销售量；
（2）根据总利润=单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之并根据x的取值范围即可得出结论；
（3）设每月的销售利润为w，根据总利润=单台利润×月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
22．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价/元 … 12 13 14 …
每天销售数量/件 … 36 34 32 …
（1）求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围．
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y= kx+b(k≠0)，
将(12， 36)、(13， 34)代入得， 解得，
∴y与x的函数关系式为y =-2x+60(10≤x≤19).
（2）解： 依题意得， (x-10)(-2x+60)= 192
解得， (舍去) ，
∴销售单价应为18元.
（3）解： 依题意得， w=(x-10)(-2x+60)=
∵a=-2<0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =20，
∴当10≤x≤19时， w随x的增大而增大，
∴当x = 19时， w有最大值，
∴当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元.
【解析】【分析】(1)设y与x之间的函数关系式为y= kx+b(k≠0)，然后用待定系数法求函数解析式即可；
(2) 根据利润=单利润×销售量列方程， 计算求出满足要求的解即可；
(3) 根据利润=单利润×销售量列函数解析式，配方得到顶点式，再根据二次函数的函数的增减性得到最大值即可.
23．我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”．
（1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
（2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值．
【答案】（1）解：，
即，
解得，；
（2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
∵函数与互为“轮转对称函数”，
，
函数的图象的对称轴为；
②，
令，
解得，，
函数的图象过定点，．
（3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
且，
，
同号，
又且，
，
设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
当时，，
即的最大值为6．
【解析】【解答】解：（1）由题可知，的“轮转对称方程”是；
【分析】（1）根据“ 轮转对称方程 ”定义直接写出方程，然后用因式分解法解方程即可；
（2）①由于点P、Q的纵坐标相同，故点P、Q关于抛物线的对称轴直线对称，从而利用点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系；然后根据“轮转对称函数”的定义写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；
②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可；
（3）根据关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限可得抛物线一定与x轴又两个不同的交点及两交点横坐标符号相同，利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式可得△＞0且，结合已知求得；设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，结合两点间的距离公式可得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可．
（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是，
即，
解得，；
（2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
∵函数与互为“轮转对称函数”，
，
函数的图象的对称轴为；
②，
令，
解得，，
函数的图象过定点，．
（3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
且，
，
同号，
又且，
，
设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
当时，，
即的最大值为6．
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