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北师大版2026—2027学年七年级上册期中押题上分攻略卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在 ， ，0，1四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．当时，整式值为，则当时，整式的值为（　　）
A．2022 B． C．2024 D．
3．任意一个两位数，对调十位和个位数字得到一个新两位数，原两位数的5倍与新两位数的2倍的差一定是________的倍数．（　　）
A．2 B．3 C．9 D．11
4．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（　　）
A．圆 B．长方形 C．三角形 D．梯形
5．已知a，b互为倒数， c，d互为相反数， ， 则 的值为(　　)
A． B．或 C．或 D．
6．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22020的末位数字是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
7．某学校组织初一n名学生秋游，有4名教师带队，租用55座的大客车若干辆，共有3个空座位，那么用n的代数式表示租用大客车的辆数为（　　）
A． B． C． D．
8．几种液体的凝固温度（标准大气压)如表：其中凝固温度最低的是（　　)
液体 水银 酒精 水 乙醚
凝固温度 （℃) - 39 - 114 0 - 117
A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚
9．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组，（2），（4，6，8），（10，12，14，16，18），（20，22，24，26，28，30，32）…，若AM＝（i，j）表示正偶数M是第i组第j个数（从左往右数），若A8＝（2，3），则A2022＝（　　）
A．（32，27） B．（32，50） C．（45，41） D．（45，49）
10．给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法：
①当时，；
②当时，；
③．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如下图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则x-y=　 　
12．某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点.如果水库水位为31.4米记作+1.6米，那么水库水位为28米记作　 　米.
13．计算：　 　 ．
14．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　 　个正方形．
15．某小组开展“无盖长方形纸盒制作”的综合实践活动，他们准备在一张长为，宽为的长方形纸板上按照如图的方式进行裁剪，剪去阴影部分后，再将剩余纸板沿虚线折合．若，则折合后的无盖纸盒体积为　 　．
16．观察下列等式：
第一行：
第二行：
第三行：
第四行：
按照上述规律，第n行的等式为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）8+(﹣10)+(﹣2)﹣(﹣5)
（2）﹣7+13﹣6+20．
18．在年园博会筹备工作中，设计师计划用长为L米的篱笆，依托园博园的景观墙围成长方形的盆景展区，如图所示．其中平行于墙的一边留有宽为米的门，设盆景展区的宽为．
（1）用关于，的代数式表示盆景展区的面积．
（2）当米，米时，求盆景展区的面积．
19．以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题：
化简：
原式=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步
=
（1）①以上步骤中，第一步依据的运算律是 （　　）
A．加法结合律 B．加法交换律 C．乘法分配律
②从第______步开始出现错误，出现错误的原因是____________________．
（2）请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值．
20．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250米/分，那么小明跑步一共用了多长时间？
21．若任意有理数有这样的运算规律：．
（1）则__________（直接填空），
（2）计算：的值
（3）试用字母a、b表示其规律；
22．如图，在数轴上有A，B，C三个点。
（1）写出数轴上与点 B 相距3个单位长度的点所表示的数。
（2）将点C向左移动6个单位长度到达点D，用“<”把A，B，D三点所表示的数连接起来。
（3）怎样移动A，B，C中的两个点才能使三个点所表示的数相同(写出一种移动方法即可)
23．数学问题的分析、解决离不开其中蕴含的思想与方法，思想与方法可以说是数学的“灵魂”．整体思想就是一个很重要的数学思想．
【案例学习】
计算的值．
分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题．
解：设，①
则
得，②
②①得：，
，
，
即．
【实践操作】
（1）【迁移拓展】计算的值；
（2）观察分析，该算式中第56个加数为　 　（直接写出结果）；
（3）计算的值；
【灵活运用】
（4）现有一机器跳蚤从原点出发，沿着数轴正方向按如下指令前进：第1次前进个单位长度，第2次前进个单位长度，第3次前进个单位长度依此类推，每一次前进的长度是上次长度的一半．试判断该跳蚤第50次前进后，能否到达该数轴表示数1的点处？若能，请说明理由；若不能，用自己的语言描述该跳蚤在何处？
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北师大版2026—2027学年七年级上册期中押题上分攻略卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在 ， ，0，1四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-3|=3，而3＞2，
∴-3＜-2＜0＜1，
∴在 ， ，0，1四个数中，最小的数是-3.
故答案为：A.
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．当时，整式值为，则当时，整式的值为（　　）
A．2022 B． C．2024 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴；
当时，整式，
故选：B
【分析】由题意得：，则；然后把代入计算即可.
3．任意一个两位数，对调十位和个位数字得到一个新两位数，原两位数的5倍与新两位数的2倍的差一定是________的倍数．（　　）
A．2 B．3 C．9 D．11
【答案】B
【解析】【解答】解：令原两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，
则这个两位数是：，
则新两位数的个位上的数字为b，十位上的数字为a，
则这个两位数是：，
∴原两位数的5倍与新两位数的2倍的差为：
，
故该数一定是3的倍数．
故答案为：B
【分析】令这个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，再根据题意列出相应的式子求解即可求出答案.
4．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（　　）
A．圆 B．长方形 C．三角形 D．梯形
【答案】B
【解析】【解答】根据题意可得，水平放置时，水面的形状是长方形，
故答案为：B.
【分析】利用垂直于圆柱底面的截面是长方形，从而得解.
5．已知a，b互为倒数， c，d互为相反数， ， 则 的值为(　　)
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵互为倒数，互为相反数，，
∴，
当时，；
当时，，
综上所述，的值为4或．
故答案为：C .
【分析】根据倒数，相反数，绝对值的定义得到，然后分别代入计算即可．
6．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22020的末位数字是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴21的末位数字是2，
21+22的末位数字是6，
21+22+23的末位数字是4，
21+22+23+24的末位数字是0，
21+22+23+24+25的末位数字是2，
…，
即末位数字每4个一循环，依次为：2，6，4，0；
∵
∴21+22+23+24+…+22020的末位数字是0，
故选：A.
【分析】先求出前几项中数据的末尾数字与序号的关系可得规律末位数字每4个一循环，依次为：2，6，4，0，再结合可得21+22+23+24+…+22020的末位数字是0，从而得解.
7．某学校组织初一n名学生秋游，有4名教师带队，租用55座的大客车若干辆，共有3个空座位，那么用n的代数式表示租用大客车的辆数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：大客车共（n+4+3）座位，
∴ 大客车的车辆为.
故答案为：B.
【分析】先计算出大客车的座位，再除以每辆大客车的座位数，即可求出大客车的辆数.
8．几种液体的凝固温度（标准大气压)如表：其中凝固温度最低的是（　　)
液体 水银 酒精 水 乙醚
凝固温度 （℃) - 39 - 114 0 - 117
A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚
【答案】D
【解析】【解答】解：A、水银凝固温度-39℃，不是最低，A不符合题意；
B、酒精凝固温度-114℃，比-39和0都低，但比-117高，B不符合题意；
C、水凝固温度0℃，是四个温度中最高的，C不符合题意；
D、乙醚凝固温度-117℃，在四个温度中最小（-117<-114<-39<0），D符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题结合物理中液体凝固点的实际情境考查有理数大小比较.负数比较大小的规则是：绝对值大的反而小.四个温度中两个是负数，一个是0，要先比较两个负数-114和-117，因为|-117|>|-114|，所以-117<-114，即乙醚的凝固温度最低.
9．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组，（2），（4，6，8），（10，12，14，16，18），（20，22，24，26，28，30，32）…，若AM＝（i，j）表示正偶数M是第i组第j个数（从左往右数），若A8＝（2，3），则A2022＝（　　）
A．（32，27） B．（32，50） C．（45，41） D．（45，49）
【答案】B
【解析】【解答】解：2022是第1011个数，
设2022在第组，
则，
当时，，
当时，，
故第1011个数在第32组，
第32组的第一个数为，
则2022是第个数，
故.
故答案为：B.
【分析】设2022在第n组，则1+3+5+……+(2n-1)=n2，求出n=31、32对应的n2的值，推出第1011个数在第32组，求出第32组的第一个数，据此解答.
10．给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法：
①当时，；
②当时，；
③．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：先推导数列的循环周期：
，，
，
，
，
，
因此数列每 4 项一循环。
验证①：当 时，，故 ，①正确；
验证②：，两边平方得 ，展开得 ，整理得 ，②正确；
验证③：一个周期的乘积：。
，
，③正确。
综上，①②③都正确。
故答案为：D
【分析】本题考查分式递推运算、数列周期性与完全平方公式。先按递推公式依次算出 、、、，确定周期为 4；①由 得 ；②由 ，两边平方并展开 ，整理得 ；③先算出一个周期内四项乘积为 1，再由 ，剩余两项乘积为 。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如下图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则x-y=　 　
【答案】2
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“1”与“x”是相对面，
“3”与“y”是相对面，
∵相对面上两个数互为相反数，
∴x=-1，y=-3，
∴x-y=(-1)-(-3)=-1+3=2．
故答案为：2．
【分析】根据正方体展开图的特征和相反数的定义求解即可。
12．某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点.如果水库水位为31.4米记作+1.6米，那么水库水位为28米记作　 　米.
【答案】-1.8
【解析】【解答】解：28-29.8=-1.8.
故答案为：-1.8.
【分析】利用有理数的减法运算即可得出答案。
13．计算：　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：=，得_______
根据 除数=被除数商=（-16）（-15）=.
【分析】根据除数=被除数商即可求出答案.
14．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　 　个正方形．
【答案】31
【解析】【解答】
解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3个正方形，
第3个图形有1+21+22=7个正方形，
……
第5个图形中共有1+21+22+23+24=31个正方，
故答案为：31.
【分析】根据图形规律发现第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3个正方形，第3个图形有
1+21+22=7个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数，即可解答.
15．某小组开展“无盖长方形纸盒制作”的综合实践活动，他们准备在一张长为，宽为的长方形纸板上按照如图的方式进行裁剪，剪去阴影部分后，再将剩余纸板沿虚线折合．若，则折合后的无盖纸盒体积为　 　．
【答案】576
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴折合后的无盖纸盒体积为，
故答案为：．
【分析】设，，根据矩形的性质和折叠的性质可得关于x的方程，解方程求得x的值，再根据长方体的体积公式计算即可求解．
16．观察下列等式：
第一行：
第二行：
第三行：
第四行：
按照上述规律，第n行的等式为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：把原等式变形得：
第一行 （1+1）2-12=4-1=3=2×1+1；
第二行 （2+1）2-22=9-4=5=2×2+1；
第三行 （3+1）2-32=16-9=7=2×3+1；
第四行 （4+1）2-42=25-16=9=2×4+1；

∴第n行的等式为： ，
故答案为：
【分析】观察已知等式知：被减数是行数多1的平方，减数是行数的平方，等号右边是行数的2倍多1，据此即得结论.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）8+(﹣10)+(﹣2)﹣(﹣5)
（2）﹣7+13﹣6+20．
【答案】（1）解：原式＝8+5+(﹣10)+(﹣2)＝13﹣12＝1
（2）解：原式＝(﹣7﹣6)+(13+20)＝﹣13+33＝20
【解析】【分析】有理数的加减混合运算，先把减法转化为加法，然后运用加法的交换律和结合律，同号结合，使运算简便。
18．在年园博会筹备工作中，设计师计划用长为L米的篱笆，依托园博园的景观墙围成长方形的盆景展区，如图所示．其中平行于墙的一边留有宽为米的门，设盆景展区的宽为．
（1）用关于，的代数式表示盆景展区的面积．
（2）当米，米时，求盆景展区的面积．
【答案】（1）解：∵盆景区的宽为，
∴盆景区的长为，
∴盆景区的面积．
（2）解：当米，米时，
盆景区的面积为：
（平方米）．
∴盆景展区的面积为平方米．
【解析】【分析】(）根据盆景区的宽为，得盆景区的长为，即可得盆景区的面积.
()当米，米时，代入即可得盆景展区的面积为平方米．
19．以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题：
化简：
原式=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步
=
（1）①以上步骤中，第一步依据的运算律是 （　　）
A．加法结合律 B．加法交换律 C．乘法分配律
②从第______步开始出现错误，出现错误的原因是____________________．
（2）请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值．
【答案】（1）①C；
②二，括号前是负号，去括号时第二项未变号
（2）解：．
当，时，原式.
【解析】【解答】（1）解：①第一步依据的运算律是乘法分配律；
②从第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是负号，去括号时第二项未变号；
故答案为：①C；②二，括号前是负号，去括号时第二项未变号；
【分析】（1）①根据所给的整式化简步骤找出第一步的依据即可；
②找出解答过程中的错误，分析其原因即可；
（2）先将原式去括号合并求出最简结果，再把和代入计算求解即可.
（1）解：①第一步依据的运算律是乘法分配律；
②从第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是负号，去括号时第二项未变号；
故答案为：①C；②二，括号前是负号，去括号时第二项未变号；
（2）．
当，时，原式．
20．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250米/分，那么小明跑步一共用了多长时间？
【答案】（1）由题意可得数轴如下：

（2）解：由（1）中数轴可得：小彬家与学校的距离为；
答：小彬家与学校之间的距离为．
（3）解：由题意得：
（分）；
答：小明跑步一共用了40分钟．
【解析】【分析】本题结合实际行程问题考查数轴的应用、数轴上两点间的距离以及有理数运算的实际应用。
（1）以小明家为原点，向东为正方向，小彬家在东边2 km处对应数轴上的点2，小红家在东边3.5 km处对应点3.5，学校在小红家西边4.5 km处即，对应点 1，在数轴上标出A、B、C三点即可；
（2）求小彬家与学校之间的距离，用数轴上两点对应的数值相减取绝对值， km；
（3）先计算小明跑步的总路程：从家到小彬家2 km、到小红家1.5 km、到学校4.5 km、从学校回家1 km，总路程为 km即9000米，再根据"时间=路程÷速度"计算，分钟。
（1）略
（2）解：由（1）中数轴可得：小彬家与学校的距离为；
答：小彬家与学校之间的距离为．
（3）解：由题意得：
（分）；
答：小明跑步一共用了40分钟．
21．若任意有理数有这样的运算规律：．
（1）则__________（直接填空），
（2）计算：的值
（3）试用字母a、b表示其规律；
【答案】（1）24
（2）解：；
（3）解：观察等式可知，．
【解析】【解答】（1）解：；
【分析】(1) 由规律a b=b2-ab，得-2 4=42-(-2)×4=16+8=24.
(2) -3 (-4)=(-4)2-(-3)×(-4)=16-12=4.
(3) 观察1 2=22-1×2、3 4=42-3×4，归纳得a b=b2-ab.
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：观察等式可知，．
22．如图，在数轴上有A，B，C三个点。
（1）写出数轴上与点 B 相距3个单位长度的点所表示的数。
（2）将点C向左移动6个单位长度到达点D，用“<”把A，B，D三点所表示的数连接起来。
（3）怎样移动A，B，C中的两个点才能使三个点所表示的数相同(写出一种移动方法即可)
【答案】（1）解：因为点B所表示的数是-2，
所以距点B3个单位长度的点所表示的数有-5和1；
（2）解：点C向左移动6个单位长度到达点D，
则点D表示的数为－3，
所以-4<-3<-2；
（3）解：把点A向右移动2个单位长度，点C向左移动5个单位长度，答案不唯一．
【解析】【分析】(1)根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数，即可得出答案；
(2)根据移动的方向，得D所表示的数，再根据负数比较方法，绝对值大的反而小，即可得出答案；
(3)根据点的移动和数的大小变化规律即可得出答案．
23．数学问题的分析、解决离不开其中蕴含的思想与方法，思想与方法可以说是数学的“灵魂”．整体思想就是一个很重要的数学思想．
【案例学习】
计算的值．
分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题．
解：设，①
则
得，②
②①得：，
，
，
即．
【实践操作】
（1）【迁移拓展】计算的值；
（2）观察分析，该算式中第56个加数为　 　（直接写出结果）；
（3）计算的值；
【灵活运用】
（4）现有一机器跳蚤从原点出发，沿着数轴正方向按如下指令前进：第1次前进个单位长度，第2次前进个单位长度，第3次前进个单位长度依此类推，每一次前进的长度是上次长度的一半．试判断该跳蚤第50次前进后，能否到达该数轴表示数1的点处？若能，请说明理由；若不能，用自己的语言描述该跳蚤在何处？
【答案】（1）解：设，①
则，
得，②
②①得：，
，
即；
（2）
（3）设，①
则，
则，②
②①得：，
，
，
即；
（4）解：由题意可知，第1次前进个单位长度，
第2次前进个单位长度，
第3次前进个单位长度，
……
即第50次前进个单位长度，
该跳蚤第50次前进后的长度为，
设，①
则，
则，②
②①得：，
，
，
即该跳蚤第50次前进后，不能到达该数轴表示数1的点处，此时它在数1的左侧，且与之距离为个单位长度．
【解析】【解答】解：（2）观察可知，该算式中第1个加数为，
该算式中第2个加数为，
该算式中第3个加数为，
该算式中第4个加数为，
……
即该算式中第个加数为，
该算式中第56个加数为，
故答案为：；
【分析】（1）参考题目给出的示例方法，设，给等式两边同时乘2，可得，将两个等式错位作差，就能计算得到结果。
（2）观察算式里的各个加数，可以总结出规律：第个加数为，再结合错位相减法就可以计算出结果。
（3）设，等式两边同时乘2，得到，将两个等式相加后，可整理得到，解出S即可得到结果。
（4）根据题意，跳蚤完成第50次跳动后，距离起点的总距离为算式，参考题目示例的错位相减法计算，可以得到，由此就能得到最终结论。
（1）解：设，①
则，
得，②
②①得：，
，
即；
（2）解：观察可知，该算式中第1个加数为，
该算式中第2个加数为，
该算式中第3个加数为，
该算式中第4个加数为，
……
即该算式中第个加数为，
该算式中第56个加数为，
故答案为：；
（3）设，①
则，
则，②
②①得：，
，
，
即；
（4）解：由题意可知，第1次前进个单位长度，
第2次前进个单位长度，
第3次前进个单位长度，
……
即第50次前进个单位长度，
该跳蚤第50次前进后的长度为，
设，①
则，
则，②
②①得：，
，
，
即该跳蚤第50次前进后，不能到达该数轴表示数1的点处，此时它在数1的左侧，且与之距离为个单位长度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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