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北师大版2026—2027学年九年级上册期中名校真题严选卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，E在CD上，连结AF交对角线BD于点H，交DE于点I，若要求两正方形的面积之和，则只需知道（　　）
A．AH的长 B．BH的长 C．IF 的长 D．CI的长
3．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（ ）
A． B． C． D．
4．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 （　　）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
5． 甲公司前年缴税a万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为b，则今年该公司应缴税（　　）万元．
A．a（1+b%）2 B．a（1+b）2
C．a（1﹣b）2 D．a（1﹣b%）2
6．下列命题中正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直
B．矩形的对角线相等
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＝2 B．k≥2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠0
8．五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形，已知，平分，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．某市年底有2万户用户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，点，分别在，边上，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，连接，若，，则　 　．
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数　 　．
13．如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为　 　．
14．已知，则的值为　 　．
15．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB 经小孔 O 在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.若AB=36 cm，A'B'=24 cm，小孔O到 AB 的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离为　 　cm.
16．小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 ，并且两条对角线长分别为 和 .现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是　 　 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）
（2）
18．受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件．
（1）已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率；
（2）已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？
19．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求菱形的面积．
20．如图，，是正方形的对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若正方形边长为，，求菱形的面积．
21．天水樱桃果实味美，营养丰富，深受消费者喜爱．某水果商店购入进价为元/千克的樱桃，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克．通过调查市场行情发现卖樱桃不会亏本．
（1）当售价为元/千克时，每月销售樱桃多少千克？
（2）当月利润为元时，每千克樱桃售价为多少元？
22．如图，在中，AD是边上的高线，是边上的中线，是的中点，。
（1）求证：。
（2）若，求的长。
23．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．
（1）求路灯的高度．
（2）当秒时，求影子的长？
（3）常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒；
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北师大版2026—2027学年九年级上册期中名校真题严选卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，且点的对应点为，
∴与位似比为，
∴点的对应点的坐标为．
故答案为：A.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此结合点A与A'的坐标可得到位似比，进而即可求出点B'的坐标.
2．如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，E在CD上，连结AF交对角线BD于点H，交DE于点I，若要求两正方形的面积之和，则只需知道（　　）
A．AH的长 B．BH的长 C．IF 的长 D．CI的长
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，延长FE，分别交AB，BD于点M，N.
设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，且a>b>0，
则两正方形的面积之和为S=a2+b2
∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AD//BC，AB//CD，EF//CG，EF⊥CD，AD=CD=a，CE=EF=b，∠BDC=45°
∴AD///FM，FM⊥AB，NE=DE=a-b，
∴四边形ADEM是矩形
∴AM=DE=a-b，EM=AD=a，
∴FM=EF+EM=a+b，FN=EF+NE=a=AD
∴AF2=AM2+FM2=(a-b)2+(a+b)2=2S
又∵AD//FM，
∴∠DAH=∠NFH，∠ADH=∠FNH
在△ADH和△FNH中，
∴△ADH≌△FNH(ASA)
∴AH=FH，
∴
∴，
则要求两正方形的面积之和，只需知道AH的长，
故答案为：A.
【分析】延长FE，分别交AB，BD于点M，N，设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，且a>b>0，则两正方形的面积之和为S=a2+b2，先根据正方形的性质、勾股定理可得AF2=2S，再证出△ADH≌△FNH，根据全等三角形的性质可得AH=FH，由此即可得.
3．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设两次数据扩容的平均增长率为，
由题意得，
整理得，
∵，
∴，
解得，
∴这两次数据扩容的平均增长率为．
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用。两次扩容的平均增长率问题符合复利增长模型，即最终量=初始量×。设平均增长率为 ，将初始数据量和最终数据量代入模型列出方程，求解后取正的增长率即可。
4．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 （　　）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
【答案】D
【解析】【解答】 设把该商品每件售价降低x元，由题意得： （20﹣x）（200+8x）＝8450 ，
故答案为：D.
【分析】根据某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元 ，利用利润=单件商品的利润销售数量，列出方程从而求解.
5． 甲公司前年缴税a万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为b，则今年该公司应缴税（　　）万元．
A．a（1+b%）2 B．a（1+b）2
C．a（1﹣b）2 D．a（1﹣b%）2
【答案】B
【解析】【解答】
解： 甲公司前年缴税a万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为b， 则今年应缴税 a（1+b）2
故答案为B
【分析】本题考查一元二次方程的应用 平均增长率，找出基础量a，最终量b，平均增长率x和次数n，可得a（1+x）n=b，据此可得答案。
6．下列命题中正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直
B．矩形的对角线相等
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【答案】B
【解析】【解答】解： A：平行四边形的对角线不一定互相垂直，命题错误；不符合题意；
B：矩形的对角线相等，命题正确，符合题意；
C：对角线相等的平行四边形是矩形，命题错误，不符合题意；
D：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，命题错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形，矩形，正方形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＝2 B．k≥2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，
∴，，
解得：k≤2且k≠0 。
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据根的判别式可得，据此求解。
8．五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形，已知，平分，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵为等腰三角形，∠A=36°
∴ ∠ABC=∠ACB=72°
∵ BD平分∠ABC
∴ ∠DBC=∠ABD=36°
∴ ∠BCD=∠BDC=72°
∴ ∠A=∠DBC=36°，
∴是顶角相等的等腰三角形
∴(AAA)
∴
设BD=BC=AD=x，AC=1
则
解得：（舍去）
∴
故答案为：B
【分析】本题考查等腰三角形及三角形的相似判定。根据等腰三角形和角平分线，可得到是顶角相等的等腰三角形，则其相似，可得到，设其中一个长度，可列方程计算。熟悉三角形相似的判定方法是关键。
9．某市年底有2万户用户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：依题意得，，
故选：C．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
10．如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，点，分别在，边上，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，连接，若，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，设与交于点O
∴
∵将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵，，
∴
由折叠得，
∵，
∴
∴
解得（负值舍去）
∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】
如图所示，设与交于点O，由折叠得到，然后结合得到，然后利用三角形内角和定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代数求解即可解答．
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=（2m）2-4×1×（m2-m+2）＞0，
∴m＞2．
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=-2m，x1 x2=m2-m+2，
∵x1+x2+x1 x2=2，
∴-2m+m2-m+2=2，
解得：m1=0（不符合题意，舍去），m2=3，
∴实数m的值为3．
故答案为：3．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2=-2m，x1 x2=m2-m+2，结合x1+x2+x1 x2=2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论。
13．如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【分析】先证明可得，再结合，，可得，从而求出即可。
14．已知，则的值为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵
∴．
∴，
∴或，
∴或（舍），
∴．
故答案为：5.
【分析】对已知等式进行因式分解可得(a2+b2-5)(a2+b2+2)=0，求解可得a2+b2的值.
15．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB 经小孔 O 在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.若AB=36 cm，A'B'=24 cm，小孔O到 AB 的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离为　 　cm.
【答案】20
【解析】【解答】解： 设小孔O到.A'B'的距离为 xcm，由题意可得： 则
解得：x=20.
故答案为：20.
【分析】利用已知得出 进而利用相似三角形的性质求出即可.
16．小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 ，并且两条对角线长分别为 和 .现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是　 　 .
【答案】540
【解析】【解答】解：∵ ，
∴风筝模型ABCD的面积为 ，
假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，
∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，
∴它们的对应边之比为1：3，
∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积
=1080-540
=540cm2.
故答案为：540.
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半可得风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，则四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且相似比为1∶3，根据相似图形的的面积比等于相似比的平方可得大风筝的面积，进而根据矩形的面积计算方法算出矩形彩色纸的面积，然后根据废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积进行计算.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）将原方程的左边分解因式，得x(x-5)=0，
则x=0或x-5=0
所以方程的解为
（2）因为a=1，b=1，c=-1，
所以
所以
所以方程的解为
【解析】【分析】（1）提取公因数x分解因式解方程即可；
（2）先计算根的判别式的值，然后代入公式解方程即可.
18．受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件．
（1）已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率；
（2）已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？
【答案】（1）解：设平均下降的百分率为x，
由题意知，
解得，（不合题意，舍去），
答：2，3月份的月下降的百分率为；
（2）解：设当商品降价y元时，商场4月份可获利13520元，
由题意知，
整理得，即，
解得，
，
答：当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件．
【解析】【分析】
（1）设该销量平均下降的百分率为x，结合1月份和3月份的销量列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际情况的根即可得到答案；
（2）设该商品需要降价y元，先用含y的代数式分别表示出4月份的销量和每件商品的利润，再根据总利润为13520元列出一元二次方程，求解后结合商家需要减少库存的要求确定最终答案即可.
（1）解：设平均下降的百分率为x，
由题意知，
解得，（不合题意，舍去），
答：2，3月份的月下降的百分率为；
（2）解：设当商品降价y元时，商场4月份可获利13520元，
由题意知，
整理得，即，
解得，
，
答：当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件．
19．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
证明：，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形
，即．
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形
，
，
，
四边形是矩形．
，
的面积，
．
【解析】【分析】（1）由，证明四边形为平行四边形，由菱形的性质可证明，从而利用90的平行四边形是矩形，可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，利用（1）的矩形性质可得OB=1，再利用三角形的面积公式解答即可．
20．如图，，是正方形的对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若正方形边长为，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，
四边形ABCD为正方形，
，，
，
，即，
四边形BEDF为平行四边形，且，
四边形BEDF为菱形；
（2）解：正方形边长为，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质得BD⊥AC，OA=OB=OC=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形BEDF为平行四边形，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到四边形BEDF是菱形 ；
（2）根据正方形的性质和勾股定理求得菱形的对角线长，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形BEDF面积.
21．天水樱桃果实味美，营养丰富，深受消费者喜爱．某水果商店购入进价为元/千克的樱桃，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克．通过调查市场行情发现卖樱桃不会亏本．
（1）当售价为元/千克时，每月销售樱桃多少千克？
（2）当月利润为元时，每千克樱桃售价为多少元？
【答案】（1）解：当售价为元/千克时，
每月销售樱桃为（千克）；
答：每月销售樱桃千克；
（2）解：设每千克樱桃售价为元，
由题意可得：，
整理得，解得：，
答：每千克樱桃售价为元或元．
【解析】【分析】
（1）当售价定为元/千克时，根据题意，售价在原元/千克的基础上，每上涨1元，月销售量就会减少千克，因此月销售量会在原千克的基础上，减少千克，据此就可以计算出此时的月销售量。
（2）设每千克樱桃的售价为元，根据销售问题中“总利润=每千克的利润×销售量”的关系列出方程求解即可.
（1）解：当售价为元/千克时，
每月销售樱桃为（千克）；
答：每月销售樱桃千克；
（2）解：设每千克樱桃售价为元，
由题意可得：，
整理得，解得：，
答：每千克樱桃售价为元或元．
22．如图，在中，AD是边上的高线，是边上的中线，是的中点，。
（1）求证：。
（2）若，求的长。
【答案】（1）证明：连接DE，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CE是△ABC的中线，
∴在Rt△ADB中，
是等腰三角形，
∵点G是CE的中点，
（2）解：连接DE，作垂足为F，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CE是△ABC的中线，
∴在Rt△ADB中，
∵CD=AE，
∴CD=DE=BE，
∴△BED、△CDE是等腰三角形，
∴BF=DF，
∵AD=6，BD=8，
∴在Rt△ABD中，BF=DF=4，
∴在Rt△EFB中，
∴CF=DF+CD=4+5=9，
∴在Rt△CEF中，
【解析】【分析】(1)根据三角形高线和中线的定义可知是等腰三角形，最后利用等腰三角形的三线合一性质解答即可；
(2)根据三角形高线和中线的定义可知是等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一性BF=DF=4，最后利用勾股定理即可解答.
23．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．
（1）求路灯的高度．
（2）当秒时，求影子的长？
（3）常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒；
【答案】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米，，，
，
∴，，
，
，
，
，
答：路灯的高度为米；
（2）解：，米，
∵米，米，
∴米，米，
，
，
∴，，
，
，
，
，
，
答：的长是米；
（3）①米；②
【解析】【解答】（3）解：①由（1）（2）得，，
当运动秒后，米，则米，
设米，米，
，
解得：；
，
解得；
米，
故答案为：米；
②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是，
米，
当秒时，
米，
当秒时，
米，
∴1秒时间内移动的距离为：
米，
影子的顶端在地面上移动的速度是米秒．
故答案为：．
【分析】（1）本题考查相似三角形在中心投影问题中的应用。小明身高与路灯均垂直于地面，因此，根据两角分别相等可证，由相似三角形对应边成比例，代入、与的长度，即可计算出路灯的高度；
（2）本题考查中心投影下的影长计算。当时，先根据行走速度计算出小明到路灯的距离，进而得到到路灯的距离。由小明身高平行于，证得，根据相似三角形对应边成比例列比例式，代入已知长度即可求解出影子的长度；
（3）①本题考查列代数式表示动态影长。类比第 (2) 问的相似三角形比例关系，分别用含的代数式表示出两个路灯下的影长与，两者相加即可得到影子总长的代数式；②本题考查一次函数中速度的几何意义。影子顶端的移动速度等于其到定点的距离随时间的变化率，先写出关于的一次函数表达式，其一次项系数即为点的移动速度。
（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米，
，，
，
∴，，
，
，
，
，
答：路灯的高度为米；
（2）解：，
米，
∵米，米，
∴米，米，
，
，
∴，，
，
，
，
，
，
答：的长是米；
（3）解：①由（1）（2）得，，
当运动秒后，米，则米，
设米，米，
，
解得：；
，
解得；
米，
故答案为：米；
②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是，
米，
当秒时，
米，
当秒时，
米，
∴1秒时间内移动的距离为：
米，
影子的顶端在地面上移动的速度是米秒．
故答案为：．
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