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人教版2026—2027学年九年级上册期中名校真题汇编卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．点都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．关于二次函数 下列说法正确的是(　　).
A．函数图象的开口向上
B．函数图象的顶点坐标是(-2，3)
C．函数图象与y轴的交点坐标是(0，1)
D．当x>2时，y的值随x的增大而减小
4．若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．-9 B． C． D．9
5．某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，.其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次数学知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接．若，则　　）
A． B． C． D．
9．已知抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，其对称轴是直线 ．有下列结论：
① ；②关于x的方程 有两个不等的实数根；③ ．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 　 　s.
12．已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，进而可知 的最小值是 4.依此方法，代数式 的最小值是　 　.
13．已知是关于的一元二次方程，则的值为　 　．
14．如图，在等边三角形中，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接.当时，的长为　 　.
15．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活.据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率.若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为　 　.
16．在中，，，，分别是，的中点．若把等腰绕点逆时针旋转得到等腰，直线与的交点为，则线段的长为　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）（x﹣2）（x﹣3）=12
（2）3y2+1=2 y．
18．益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价．
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）
19．如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，写出点P的坐标.
21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=（45°<<60°），点D是边AC上一点，点E在BC上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转2得到DF，点F落在边AB上，过E作EG∥AC交AB于G.
（1）如图1，当G与F重合时，求证：AF=BG；
（2）如图2，当G与F不重合时，用等式表示AF与BG的数量关系，并证明.
22．某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元．
（1）求线下和网上的销售量分别是多少．
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量．调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个．
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△BOC的面积．
（3）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．
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人教版2026—2027学年九年级上册期中名校真题汇编卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为300（1+x）万元，三月份的营业额为300（1+x）2万元，由题意得
300+300（1+x）+300（1+x）2=1200，即300[1+(1+x)+(1+x)2]=1200.
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，分别表示出二月份与三月份的营业额，最后根据“ 第一季度的营业额共1200万元 ”列出方程即可.
2．点都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A（m 1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x 1）2的图象上，
∴y1＝（m 1 1）2＝（m 2）2，y2＝（m 1）2，
∵y1＜y2，
∴（m 2）2＜（m 1）2，
∴（m 2）2 （m 1）2＜0，
即 2m＋3＜0，
∴m＞，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析可得（m 2）2 （m 1）2＜0，再求解即可.
3．关于二次函数 下列说法正确的是(　　).
A．函数图象的开口向上
B．函数图象的顶点坐标是(-2，3)
C．函数图象与y轴的交点坐标是(0，1)
D．当x>2时，y的值随x的增大而减小
【答案】D
【解析】【解答】解：由y=-(x-2)2+3，得a=-1，h=2，k=3．
A、∵a=-1<0，抛物线开口向下，A错误；
B、顶点坐标为(2，3)，不是(-2，3)，B错误；
C、求与y轴交点，令x=0，y=-(0-2)2+3=-4+3=-1，交点(0，-1)，C错误；
D、对称轴为直线x=2，开口向下，∴当x>2时，y的值随x的增大而减小，D正确．
故答案为：D．
【分析】先根据顶点式系数a判断开口方向，再由h，k确定顶点坐标，接着代入x=0求出y轴交点，最后结合对称轴与开口方向判断增减性，逐一验证即可．
4．若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．-9 B． C． D．9
【答案】C
【解析】【解答】根据题意
故选：C
【分析】一元二次方程判别式与根的关系：判别式大于0时，方程有2个不相等的实数根；判别式等于0时，方程有2个相等的实数根；判别式小于0时，方程没有实数根；据此找到等量关系即可求出m值。
5．某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，.其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次数学知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】【解答】解：∵用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，
∴xy的值就是该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相等，
点丙在反比例函数图象的上方，
∴丙的优秀人数最多.
故答案为：C
【分析】观察图象可知xy的值就是该校的优秀人数，乙、丁两所学校的优秀人数相等；点丙在反比例函数图象的上方，据此可得到丙的优秀人数最多.
6．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC，=AB.
∴∠=∠B.
∵，
∴∠C=∠CA=x°.
∴∠=∠C+∠CA=2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180.
解得：x=24.
∴的度数为24°.
故答案为：C.
【分析】设=x°，利用旋转的性质可得∠C=∠= x°，=AC，=AB，再利用角的运算可得∠=∠C+∠CA=2x°，再利用三角形的内角和可得x+2x+108=180，最后求出x的值即可.
7．如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】①由二次函数的图象开口向上，可知，
与轴交于负半轴，
，，故①正确；
②二次函数的图象，与x轴交于、点，
方程的根是；故②正确
③二次函数的图象，与x轴交于，
由图象可知，当时，故③错误；
④观察图象可知，对称轴为，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
即当时，y随x的增大而增大．
所以正确的有①②④3个．
故答案为：C．
【分析】 先根据二次函数的图象确定二次函数中的符号，进而根据二次函数与坐标轴的交点即可得到的根，再根据二次函数的增减性结合题意逐一分析即可求解。
8．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接．若，则　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】将绕点顺时针旋转后得到，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】根据旋转性质，，，可得，根据三角形的外角性质可得，即可求出答案.
9．已知抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，其对称轴是直线 ．有下列结论：
① ；②关于x的方程 有两个不等的实数根；③ ．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】∵抛物线 经过点 ，对称轴是直线 ，
∴抛物线经过点 ，
，b=-a；∴a+b=0，∴ab<0，
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a；当x=2时，0=4a+2b+c，
∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
∵ ，而
∴关于x的方程 有两个不等的实数根，②符合题意；
∵ ，c=-2a>1， ∴ ，③符合题意
故答案为：C.
【分析】根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式 ，即可判断②；根据 以及c=-2a，即可判断③．
10．如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴，
∴，①说法正确；
∵，
∴②说法错误；
∵抛物线与x轴交于，对称轴是直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点是，
∴，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上，
∴函数最小值为，
∴，
∴，④说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，⑤说法正确；
综上所述，正确的有①③④⑤．
故选：D．
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点得出，，，即可判断①说法正确，②说法错误；根据抛物线的对称轴、与x轴的交点得出抛物线与x轴的另一个交点是，即可判断③说法正确；根据抛物线的开口方向得出函数最小值为，即可判断④说法正确；根据抛物线与x轴有两个交点，得出，即可判断⑤说法正确，即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 　 　s.
【答案】2
【解析】【解答】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20.
故答案为：2.
【分析】将h与t的函数关系式化为顶点式，据此可得h的最大值.
12．已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，进而可知 的最小值是 4.依此方法，代数式 的最小值是　 　.
【答案】1
【解析】【解答】解：
所以代数式 的最小值是1；
故答案为：1.
【分析】根据配方法，将原式化为一个平方式与一个常数的和，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可.
13．已知是关于的一元二次方程，则的值为　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程，
∴且m-1≠0，解得m=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据一元二次方程的概念，列出关于先求字母的方程求解.
14．如图，在等边三角形中，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接.当时，的长为　 　.
【答案】或
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
在△ABC为等边三角形，
∴，
点D为AB的中点，
， ，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，
∵，
∴当∠ADQ=90°时，点Q一定在直线BD上；
①当Q点在线段BD上时，如图所示：
，
在Rt△ADQ中，；
②Q点在DB的延长线上，如图所示：
，
，
综上可知，当时，AQ的长为或，
故答案为：或.
【分析】连接BD，由等边三角形的性质的三线合一得AD=CD=，BD⊥AC，利用勾股定理算出BD，由旋转的性质得CQ=CP=1，当∠ADQ=90°时，点Q一定在直线BD上；①当Q点在线段BD上时，得DQ=BD-BQ=2，在Rt△ADQ中，利用勾股定理算出AQ；②Q点在DB的延长线上，得DQ=BD+BQ=4，进而利用勾股定理算出AQ即可.
15．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活.据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率.若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为　 　.
【答案】6500(1+x)2=7600
【解析】【解答】解：由题意知6500(1+x)2=7600.
故答案为：6500(1+x)2=7600.
【分析】由题意直接列出一元二次方程即可.
16．在中，，，，分别是，的中点．若把等腰绕点逆时针旋转得到等腰，直线与的交点为，则线段的长为　 　
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，连接，
由旋转可知，，，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
，
，，分别是，的中点，
，
又，
=AD1，
在△E1AC和△D1AB中，
（SAS），
，
又，，
四边形为正方形，
，
在中，由勾股定理可得．
故答案为：．
【分析】根据题意画出图形，由旋转的性质并根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△ADD1是等边三角形，结合角的构成可证，在△E1AC和△D1AB中，用边角边可证，由全等三角形的性质和直角的定义可证，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形AD1PE1是正方形，由正方形的各边都相等可得PE1=AE1，然后在中，由勾股定理即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）（x﹣2）（x﹣3）=12
（2）3y2+1=2 y．
【答案】（1）解：（x﹣2）（x﹣3）=12，
整理得：x2﹣5x﹣6=0，
（x﹣6）（x+1）=0，
则x﹣6=0，x+1=0，
解得：x1=﹣1；x2=6
（2）解：3y2﹣2 y+1=0，
∵a=3，b=﹣2 ，c=1，
∴△=b2﹣4ac=12﹣12=0，
∴x= = = ，
∴y1=y2=
【解析】【分析】（1）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可；（2）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用求根公式x= 进行计算即可．
18．益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价．
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）
【答案】（1）解：设这种玩具的进价是x元，根据题意得：
解之得：
答：这种玩具的进价为20元．
（2）解：设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得：
解之得：（不合题意，舍去）
∴，
答：平均每次降价的百分率为．
【解析】【分析】（1）设这种玩具的进价是x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设这种玩具的进价是x元，根据题意得：
解之得：
答：这种玩具的进价为20元．
（2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得：
解之得：（不合题意，舍去）
∴，
答：平均每次降价的百分率为．
19．如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：设花圃的宽为，则，
根据题意得：
∵，
∴．
（2），
，，
当时，．
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是.
【解析】【分析】 （1）依托矩形面积计算法则，结合边长数量关系建立面积与自变量之间的函数表达式；
（2）借助二次函数图象性质，确定函数顶点取值，求解面积最值结果 ．
（1）解：设花圃的宽为，则，
根据题意得：
∵，
∴．
（2），
，，
当时，．
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，写出点P的坐标.
【答案】解：（1）∵直线y=kx﹣2过点A（3，1），
∴1=3k﹣2．
∴k=1．
∴直线的解析式为y=x﹣2．
∵双曲线y=过点A（3，1），
∴m=3．
∴双曲线的解析式为y=．
（2）∵PC∥x轴，DC=2OB，
∴
∴CF=2OF，
由直线y=x﹣2可知F（0，﹣2），
∴OF=2，
∴CF=4，
∴C的坐标为（0，2）或（0，﹣6），
∴P的纵坐标为2或﹣6，
代入y=得，2=，解得x=，
﹣6=，解得x=﹣，
∴P（，2）或（﹣，﹣6）．
故答案为P（，2）或（﹣，﹣6）．
【解析】【分析】（1）把A的坐标分别代入双曲线y=与直线y=kx﹣2，根据待定系数法即可求得；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出，得出CF=2OF，即可求得直线CD与y轴的交点坐标，从而求得P的纵坐标，代入（1）求得的解析式即可求得P点的坐标．
21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=（45°<<60°），点D是边AC上一点，点E在BC上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转2得到DF，点F落在边AB上，过E作EG∥AC交AB于G.
（1）如图1，当G与F重合时，求证：AF=BG；
（2）如图2，当G与F不重合时，用等式表示AF与BG的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：取BG中点H，连接EH.
∵EG∥AC，
∴∠EGB=∠A=α，∠C=∠BEG=90°.
∵∠B=α，
.
在Rt△BEG中，
∵H为BG中点，
∴∠HEG=∠EGH=90°-α.
∵将DE绕点D顺时针旋转2α得DG，
∴∠GDE=2α，DG=DE.
∴∠DGE=∠DEG=90°-α，
∴∠DEG=EGH，∠DGE=∠HEG.
∴DE∥GH，DG∥EH.
∴四边形DGHE是平行四边形.
∴DG=EH
又∵EG∥AC，
∴∠ADG=∠DGE=90°-α，.
∴∠ADG=∠A.
∴AG=DG.
即
（2）.
证明：取BG中点M，连接EM，在BG上取一点N，使得DN=DA，连接EN
∴∠A=∠DNA.
∵∠C=90°，∠B=α，
∴∠ADN=2α.
∵DE绕点D顺时针旋转2α得DF，
∴∠EDF=2α，DF=DE.
∴∠EDF=∠ADN.
∴∠EDF-∠FDN=∠ADN-∠FDN.
即∠NDE=∠ADF.
∴△NDE≌△ADF（SAS）.
∴AF=NE，∠A=∠DNE=90°-α
∴∠ENM=∠DNE+∠DNA=180°-2α.
∵EG∥AC，
∴∠C=∠GEB=90°.
∴∠B=∠MEB=α.
∴∠EMB=∠ENM.
∴EM=EN
【解析】【分析】(1)由三角形内角和定理可得 ，由旋转的性质可得 ，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得 由平行线的性质可得 ，从而得出 进而可得DE∥FH，取BF的中点H，连接EH，由直角三角形的性质可得则证明四边形DFHE为平行四边形，得出DF=HE，即可得证；
(2)由三角形内角和定理可得 由旋转的性质可得 ，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得 由平行线的性质可得. α.取BF的中点H，连接EH，由直角三角形的性质可得则 由等边对等角得出∠EHG=∠EGH=90°-α， 结合三角形外角的定义及性质可得∠EHB=180°-2α， 在AB上取一点M使得AD=DM，连接EM，则∠DMA=∠A=90°-α， 证明∠ADF=∠MDE， 从而可得△ADF≌△MDE(SAS)， 由全等三角形的性质可得∠DME=∠A=90°-α， EM=AF， 求出∠EHM=∠EMH， 由等角对等边得出EH=EM，即可得证.
22．某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元．
（1）求线下和网上的销售量分别是多少．
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量．调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个．
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？
【答案】解：（1）设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，
解得：x=30
∴线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个；
（2）①
总纯利润=34×24+34×（20-7）=1258（元）
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润
∵
∴当时，网上销售量为20+2×5=30个
有最大值
设线下的销售量m个，则
∵k=24，随着m的增大而增大
∵线下增加的销售量不超过原来线下销售量的
∴m个
∴当m=40时，有最大值
∴当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大
【解析】【分析】（1）设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①根据总纯利润等于单个利润乘以销售量列式计算即可求出答案.
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质可得有最大值，设线下的销售量m个，则，再进行计算即可求出答案.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△BOC的面积．
（3）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．
【答案】解：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，
∵B的坐标为（n，﹣2），
∴BD=2，
∵tan∠BOC=，
∴OD=4，
∴B的坐标为（﹣4，﹣2）
把B（﹣4，﹣2）代入y=得：k=8，
∴反比例函数为y=，
把A（2，m）代入y=得：m=4，
∴A（2，4），
把A（2，4）和B（﹣4，﹣2）代入y=ax+b得：
解得：a=1，b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
（2）在y=x+2中，令y=0，得x=﹣2，
∴CO=2，
∴S△BOC=CO BD=×2×2=2；
（3）设P点的坐标为P（a，0）
则由S△PAC=S△BOC得：PC×4=2，
∴PC=1，
即||a+2|=1，
解得：a=﹣3或a=﹣1，
即P的坐标为（﹣3，0）或（﹣1，0）．
【解析】【分析】（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，求出BD=2，根据tan∠BOC=求出OD=4，得出B的坐标，把B的坐标代入y=即可求出反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式；
（2）求出CO=2，根据三角形面积公式求出即可；
（3）设P点的坐标为P（a，0）根据S△PAC=S△BOC得出PC×4=2，求出PC即可．
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