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七年级全国总测试参考答案
一、填空题（每小题 12 分，共 84 分）
1、
已知 a b=1，两边平方得 (a b)2=12，即 a2 2ab+b2=1。
又 a2+b2=5，代入得 5 2ab=1，解得 2ab=4，即 ab=2。
计算 (a+b)2=a2+2ab+b2=5+4=9，故 a+b=±3。
2、 35
已知 ab=2(a+b)，bc=3(b+c)，ca=4(c+a)，可得 ，
3、
设直角边为 a，b，斜边为 c。分情况讨论：1，直角边 a长度为 4，另一直角边 b上的中线长为 5，根据勾股
定理得另一直角边的一半为 3，斜边为 ；2，直角边长度为 4，斜边上的中线长度为 5，斜边
为 10；3，直角边长度为 5，另一直角边 b上的中线长为 4，不满足直角三角形实际情况，不存在；4，直角
边长度为 5，斜边 b上的中线长为 4，斜边为 8；5，斜边长为 5，直角边上的中线为 4，斜边为 5；6，斜边
长为 4，直角边上的中线为 5，不存在。所以，
4、55
它们的和能被 30整除，故它们的和能被 10整除，所以要被分成 10个数。
分情况讨论：1，111+1+1+1+1+1+1+1+1+1=120，可以被 30整除，总共有 10种分法；
2，11+11+1+1+1+1+1+1+1+1=30，可以被 30整除，考虑两个 11的位置，总共有 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
种分法；
总共有 55种分法。
5、7
可得 ，
化简得
6、
设 BD=5，作 DC上的高 AM、BN，则 BN=AM=4，DN= ，由于
，得 ，故 相似与 ，所以 4:3=AC:5，
所以 ，面积为 。
7、100
可 以 发 现 黑 板 上 每 个 数 加 1后 的 乘 积 在 操 作 前 后 不 变 。 设 最 后 剩 下 的 是 x， 则
，x=100。
三、解答题（共 5 题。第 8-10 题各 12 分，第 11-12 题各 15 分，共计 66 分）
8、3456
30 的质因数为 21×31×51，每个数的绝对值是 2a×3b×5c (a,b,c∈{0,1})，共 8 个正因数（含 1）。每行每
列的乘积中，2、3、5的指数均为 1，故每个质因数的指数在每行每列恰好出现一次（排列矩阵）。质因数
2的位置有 3!种排列，同理 3和 5各 3!种，共 (3!)3 = 63 = 216种绝对值排列方式。
每行每列乘积为正（符号乘积为 +1），即每行每列负数个数为偶数（0 或 2）。前两行前两列的符号（4 个
位置，每个 ±1）可自由选择 24 = 16 种，第三行和第三列的符号由前两行决定，且自动满足条件（验证：
第三行每行乘积为 +1，每列同理）。
绝对值排列与符号分配独立，故总填法为 216×16 = 3456。
9、1/3
设等腰梯形 ABCD 的对称轴为 y轴，A(-a,0)，D(a,0)，B(-b,h)，C(b,h)(a>b>0)，点
P(x,y)。根据距离公式列出四个距离方程(x+a) +y2=12, (x+b) +(y-h)2=22，(x-b) +(y-h)2=32，(x-a)
+y2=42。
通过 PD2-PA2=4ax=15和 PC2-PB2=-4bx=5,得 ，所以
10、18
满足题目条件小正方体最少的摆放情况如下：
11、26
首先，用五刀切西瓜其实就是求五个面能把空间分成多少部分。先考虑简单的情况，三刀能最多得到 8块。
在此基础上，新增加的面应该尽量多经过其它面划分出来的区域，并且面与面相交于线。所以新的一刀能
增加多少个空间可以转化为：在新的面里面，3条线最多能把这个面分割成多少块，易得 3条线能最多把面
分成 7份，3条线能最多把面分成 11份，故最多可以有 8+7+11=26。
12、504
设两者正常相遇的时间为 t小时，擎天柱的速度为 5v，大黄蜂一开始的速度为 4v，则可得
因此距离为 9v×t=504万千米。绝密★启用前
2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）全国总测试
(2025年夏季)
选手须知：
5已知y2=1,++十2+x+-3,y+z+2x=1。则2+
1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计84分：第二部分：解答题，共计66分。
y2+z2的值为。
2、答题前请将自己的姓名、年级、教室编号、活动证号写在规定的位置。
3、测试时不能使用计算工具。

4、测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。
题号
一
二
三
总分
核查人
如
得分
6、梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为
七年级试题(A卷)
得分
邮
评卷人
(本试卷满分150分，考试时间90分钟)
一、填空题（每题12分，共计84分）
0
长
1、已知a一b=1,12+b=5,则a+b=
(第6题图)
K
舞
2、设a,b,c均为非负实数，并且ab-2(atb),bc=3(b+c,ca4(c+,则
、已知在黑板上有1，是子…，这100个数字，我们规定：将其中两个数字ab
ab
翻
擦去，然后在黑板上新加上ab+叶b这个数字，记为一次操作。那么99次操作后，黑板上
郑
最终只剩下一个数字。问该数字为
杯
3、一个直角三角形，一边的长和另一边上的中线长为4和5（顺序不固定），则这个三角形
相
斜边的所有可能长度之和为一。
4、一共有12个1排成一行，在它们中间加入一定的加号使得它们的和能被30整除，例如
1+11+111+111111=111234。求使得最终和是30的倍数的添法的个数为。
七年级第1页
七年级
第2页
得分
评卷人
二、解答题（第8-10题各12分，第11-12题各15分，共计66分）
8、三乘三的九宫格内填入9个整数，每格填一个数，使得每一行、每一列各数的乘积均为30，
11.一个西瓜，用刀切5次，最多能将其切成多少块？
问一共有多少种填法？
圜
9.Isosceles trapezoid ABCD has parallel sides AD and BC,with BCpoint P in the plane such that PA=1,PB=2,PC=3,and PD=4.Bc
知
AD
,(Isosceles:等
腰；parallel平行的；plane平面)
12擎天柱和大黄蜂分别从地球和塞伯坦星球同时出发，相向而行，大黄蜂和擎天柱的速度比是
4:5,他们出发1小时后，大黄蜂遇到威震天的拦截而搏斗了半小时，然后大黄蜂继续前进，但
斟
因负伤速度减小了25%。当大黄蜂遇到擎天柱时，比预计的相遇时间推迟了22分30秒。如
果大黄蜂和擎天柱的相遇点距地球和塞伯坦星球两地中点70万千米，那么地球和塞伯坦星球
长
相距多少万千米？
(第9题图)
郑
10、由若干个1×1×1的小立方体粘合成一个立体图形（侮个小立方体至少和周围一个小立
方体有公共面，所组成的立体图形从正面、上面、左面看，得到的图形都如图所示。那么组成
这个立体图形，至少需要多少个小立方体？
杯
相
(第10题图)
七年级第3页
七年级第4页

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