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吉林市普通高中 2026—2027学年度高二年级上学期期中调研测试 ②直线 l2 斜率不存在，显然不符合（舍）．
综上所述，直线 l2 的方程为 2x y 1 0或 x 2 y 2 0．···········································13 分数学试题参考答案
16．【解析】
一、单项选择题： （Ⅰ）由题知， 2c 2， b 1， c 1， a
2 b2 c 2 2，
x 2
椭圆C 的标准方程为 y 2 1．···········································································4 分
1 2 3 4 5 6 7 8 2
C A D B D C B D （Ⅱ）由题知，F1( 1,0) 90 | AB | 2
4 2
，当 时， （舍）；
3
二、多项选择题：
当 90 时， k tan ，设直线 l 的方程为 y k(x 1)， A(x1 , y1 )， B(x2 , y2 )．
9 10 11
y k(x 1),
AC ABC ACD x 2 消去 y，得 (2k
2 1)x 2 4k 2x 2k 2 2 0，······································ 8 分
2
y 1, 2
三、填空题：
Δ 16k 4 4(2k 2 1)(2k 2 2) 8(k 2 1) 0，
1
2 6 2π 4k 212． 13． 4或 14． x x x x 2k
2 2
1 2 ， 1 2 ，····································································2 2 10 分2k 1 2k 1
四、解答题
2 2
15．【解析】 | AB | 1 k 2 4k 4(2k
2 2) 1 k 2 2 2 1 k
2 2 2(1 k 2 ) 4 2
2 2 2 ，
（Ⅰ）设圆心C(a,a 3)，则 | AC | | BC |． 2k 1 2k 1 2k 1 2k
2 1 3
(a 1)2 (a 4)2 (a 5)2 (a 2)2 a 3 ··················································· 解得 k 1或 k 1，······························································································ 13 分， ， 3 分
0, π π ,π π 3πC(3,0) r | AC | (3 1)2 (0 1)2 5 ， 或 ．································································ ， 15 分， 2 2 4 4
圆C 的方程为 (x 3)2 y 2 5．············································································· 6 分 17．【解析】
（Ⅰ）证明：（法一）连接 AD1， BC1 . 在ΔBAD1中， E，F 分别为 BD1，AB的中点，
（Ⅱ） (0 3)2 12 10 5， 点 P(0,1)在圆C 外，
EF 是ΔBAD1的中位线， EF // AD1，
①直线 l2 斜率存在，设直线 l2 的方程为 y kx 1，即 kx y 1 0．······························· 8 分 直四棱柱中，底面 ABCD为平行四边形， AB //CD，
点C(3,0) | 3k 1 |到直线 l2 的距离为d 5， 2k
2 3k 2 0，
2 又 CD//C D AB//D Ck 1 1 1 ， 1 1 ，
k 2 1 四边形 D ABC 为平行四边形， AD // BC ， EF // BC ， ····································· k 4 分解得 或 ，····························································································· 11 分 1 1 1 1 1
2
l 2x y 1 0 x 2 y 2 0 BC1 平面BCC1B1， EF 平面BCC B EF //平面BCC B即直线 的方程为 或 ． 1 1， 1 1 ． ····························· 6 分2
高二数学试题答案 第 1 页 （共 4 页）
（法二）连接 AC1， BC1． E是 BD1的中点， 6
（Ⅱ）在线段CD上假设存在点 E ，使 A D与平面 A BE所成角的正弦值为 .
E 是 AC 31的中点，
又 F 是 AB的中点， EF // BC ， 取BD中点O， DC 中点M ，连接 A O，OM ，则OM // BC .1
BD BC ， BD OM ， A D A B， A O BD .
又 EF 平面 BCC1B1， BC1 平面 BCC1B1，
BC BD，BC A D， BD A D D， BD,A D 平面 A BD， BC 平面A BD，
EF //平面BCC1B1 ． ···························································································· 6 分
又 A O 平面A BD， BC A O， OM // BC ， A O OM .
（Ⅱ） 直棱柱中，C1C 平面ABCD ， BD 2 2 A O 1 BD 2 BD BC , BDC π ， ， ，
2 4 BC 2 2
.
又 AC BC ，
以O为原点，OM，OB，OA 所在直线分别为 x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
以C 为原点，CA，CB，CC1 所在直线分别为 x，y，z轴
····························································································································· 8 分
建立如图所示空间直角坐标系， ·················································································8 分
则 A (0,0, 2 )， B(0, 2,0)， D(0, 2,0)，C(2 2, 2,0) .
则C(0,0,0)，F (1,1,0)， B(0,2,0)， D1(2, 2,2)， E是 D1B 中点， E(1,0,1)， A D (0, 2, 2)， A B (0, 2, 2)，
CE (1,0,1)，CF (1,1,0)，FB ( 1,1,0)，FE (0, 1,1)，····································· 10 分
设DE DC (2 2,2 2,0) (2 2 ,2 2 ,0)， [0,1].
设平面 EFC的一个法向量为 n (x, y, z)，则 n CF ， n FE，
A E A D DE (2 2 ,2 2 2, 2)，....................................................... .......................11 分
n CF x y 0, 令 x 1，则 y 1， z 1， n (1, 1, 1)，
n FE y z 0, 设平面 A BE的一个法向量为 n (x, y, z)，则 n A B， n A E ，
n A B 2 y 2z 0,
同理，平面 EFB的一个法向量为m (1，1，1)，····························································· 12 分 令 y ，则 z ， x 1 ，
n A E 2 2 x (2 2 2) y 2z 0,
EFC | n m | 1 1设平面 与平面 EFB夹角为 ，则 cos | cos n,m | ， ......................................................................................................... .......................
| n ||m | 3 3 3 n (1 , , )， 14 分
1
即平面 EFC与平面 EFB夹角余弦值为 .·································································· 15 分
3 则 | cos A D,n |
| A D n | 2 2 6
，
| A D || n | 2 1 2 2 2 3
18．【解析】
1 1
（Ⅰ）证明：由题知， A D A B， A D A C ， ∈ , ， DE DC ，2 2
A B A C A ， A B,A C 平面A BC ， A D 平面A BC ，................... .........................3 分
6线段CD上存在点 E ，且 E 是CD中点，使直线 A D与平面 A BE所成角的正弦值为 .
3
BC 平面A BC ， A D BC .............................................................................. .........................5 分
····························································································································17 分
高二数学试题答案 第 2 页 （共 4 页）
19．【解析】 1 1 1代入曲线 E 得 (x y)2 (x 2 y 2 ) (x y)2 3， x 2 3 y 2 6，
2 2 2
y
（Ⅰ） P(1, 3 )， r |OP | 1 3 2，且 tan 3 ，······································1 分 2 2
x 曲线F : x y 1 .··························································································· 11 分
π π 6 2
又 点P在第一象限， ，由三角函数定义得 P(2cos ,2sin
π ) .······························ 2 分
3 3 3 曲线 E 中 A,B,C ,D,M 旋转到曲线F 后对称点为 A1 ,B1 ,C1 ,D1 ,M1，
π π
x 2cos( ) 1, 3 3 如图，则ΔMCD的面积等于ΔM C D 的面积. 点 P ( 1, 3) .································································ 1 1 13 分

y 2sin(
π π
) 3,
3 3 （法一）设M1(x1 , y1 )， A1( 6,0)， B1(0, 2)，
（Ⅱ）证明： P(x, y)， r |OP |， x r cos ， y r sin ，
M 在第一象限， x 2 3 y 21 1 1 6 .
x r cos( ) r cos cos r sin sin xcos y sin ，
设ΔM1C1D1，ΔM1A1B1，四边形 A1B1C1D1的面积分别为 S ,S1 ,S2，则 S S1 S2 ，
y r sin( ) r sin cos r cos sin ycos x sin ，
下面先证 S2为定值.
x xcos y sin
.··························································································· 7 分
y x sin ycos A M : y y 6 y

直线 1 1
1 (x 6)，令 x 0得 D 1
x 6 1
0, ；
1

x1 6

A (x , y ) x0 2cos(t
π
) 2(1 cos t 3 sin t ) cos t 3 sin t ,
（Ⅲ）设 0 0 0 ， 3 2 2
直线B1M : y
y1 2 2x
1 x 2 ，令 y 0得C 11 ,0
；
y0 2cos t , x y 2 1 1
y 1 y
x 00 3 sin t， sin t (
0 x0 )， 1 1 2x S | A C | | B D | 1 6 6 y

2 3 2 2 1 1 1 1
1 2
2 2 y1 2 x 1 6
2 2
又 sin2 t cos2 t 1 1 y y， ( 0 x 20 x 0
2 2
3 4 0
y0 ) 1， x0 x0 y4 0
y0 3， x 2
1
3 y1 6 x1 3 y1 6 (x1 3 y1 6)
y1 2 x1 6 x1 y1 2x1 6 y1 2 3
E : x 2曲线 0 x
2
0 y0 y0 3 .···················································································9 分
(x 3 y 6)2 x 2 3 y 2 6 2 3x
E y x y x 1 1 1 1 1
y1 2 6x1 6 2 y1 2 3(x1 y1 2x1 6 y1 2 3)
曲线 关于 ， 对称，
将曲线 E π顺时针旋转 得到曲线F ，
4
S 2 3(x1 y1 2x1 6 y1 2 3) 2 3 ··························································
则 A0 (x0 , y0 )旋转后对应点 A (x, y)
2 ， 14 分， x1 y1 2x1 6 y1 2 3
2 2 设M1( 6 cos , 2 sin ) A
x y
，直线 1B1 : 1，即 A1B1 : x 3 y 6 0 .
x (x0 y0 ), x0 (x y), 6 2 2 2则
| 2 3 sin( π 2 2 ) 6 |
y ( x0 y0 ), y0 (x y), M A B d | 6 cos 6 sin 6 | 4 2 2 点 1到直线 1 1的距离 ，2 2
高二数学试题答案 第 3 页 （共 4 页）
π π
当 2kπ,k Z π，即 2kπ,k Z d 2 3 6 ，此时
4 2 4 max
，
2
S S 1 1 2 3 6 1 S2 | AB | dmax 2 3 6 2 2 3 6 3，2 2 2
ΔMCD的最大值为 6 3 .················································································· 17 分
备注：
π
①若将曲线 E 逆时针旋转 ，将得到焦点在 y轴的椭圆
4
②第（Ⅲ）问的方法非常多，还可采用以下思路：
SΔM1C1D S1 1 ΔM1C1D1
补充思路 1： S四A S S1B1C1D1 ΔM1A1B1 M C S1 1D1 ΔM1A1B1 1
SΔM1C1D1
1
S |M1A1| |M1B1| sin A M BΔM A B 1 1 1 y y y y y1 1 1 2 |M1A1| |M 1B1| 1 1 B1 1 B1 ，之后
SΔM1C1D 11 |M D | |M C | sin A M B |M1D1| |M1C1| y1 yD y1 1 y1 yD1
2 1 1 1 1 1 1 1
三角换元即可.
补充思路 2： S SΔOD1M S1 ΔOC1M S1 ΔOD1C1 .
补充思路 3： S SΔM A C S1 1 1 ΔD1A C 仍然如以上方法用 x1 , y1 1 1表示，再三角换元
6
补充思路 4： S SΔM S t1A1C1 ΔD1A1C1 ，用 表示，设直线 A1M1 : x ty 6 ，则 D1(0, )， t 3 ，t
x 2 y 2 6(t 2 3) 2 6t 6(t 3)
联立椭圆F： 1得M1( , )，写出直线 B1M1的方程，可得C1( ,0)6 2 t 2 3 t 2 3 t 3
S S S 6(t 3)ΔM1A1C1 ΔD1A1C1 ，通过换元转化为基本不等式求最值.t 2 3
高二数学试题答案 第 4 页 （共 4 页）★保密·启用前
吉林市普通高中2026一2027学年度高二年级上学期期中调研测试
数学试题
说明：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色
签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效！在试卷上、草纸上
答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求。
1.已知直线！的斜率为2，则直线1的一个方向向量为
A.(1,-2)
B.(-2,1)
C.1,2)
D.(2,1)
2.圆心为(2，-3)，半径为5的圆的标准方程为
A.(x-2)2+(y+3)2=25
B.(x+2y2+(0-32=25
C.(x-2)2+(y+3)2=5
D.（x+2)2+(y-32=5
3.如果AC>0,BC<0,那么直线Ar++C=0不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.己知椭圆r2
+户=1m>0)的-个熊点坐标是（3,0)则实教m
高二数学试题第1页共7页
A.2v2
B.v10
C.8
D.10
5.如图，正四棱台ABCD-4,B,C,D,的高为2'AB=24B,=22'0为底面ABCD的
D
中心，则直线D,0与CC,所成的角的余弦值为
A.、4
5
B.、
5
2
C·5
D.
5
6。若a,c;构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是
A·
{a+i.a,a-}
B.
fu +b,b,u-bi
C.
fa+bca-b3
D.a+bcu+b+e
7.动点M(x,)与定点F(0,1)的距离和1到定直线：y=4的距离的比是常数}，则动
点M的轨迹方程是
A.43
=1
B.2
4+3=1c.
2+p2=1
D.+x2=1
2
8.已知直线1：(m+1)x+(m-)-2m=0(m∈R),则原点到直线1的距高的取值范围是
高二数学试题第2页共7页
A.0,]
B.0,1)
C.b,]
D.
l0,2)
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知直线4：2x+y-1=0,直线，经过点P(1,1),且∥4,14，则
A.直线，的方程为2x+-3=0
B.直线，的方程为x+2y-3=0
C.直线.的方程为x-2y+1-0
D.直线，的方程为x-2y-3=0
10.已知圆0，：r2+y2=4和圆02：(x-m)+(+m)2=m+8(1∈R)关于直线对称，
点A、点P分别是圆O、直线！上的动点，C(5,1),则
A.m=4
B.直线！的方程为x-y+4=0
C.|PA|+|PCI的最小值是3v10-2
D.|PA|+|PC|的最小值是310+2
已知E’F,分别是椭圆B:+子
+护=1a>>0的左、右熊点，0为坐标原点，椭圆E的
离心率为。，过椭圆E上一点p作斜率为-1的直线，恰好平分∠FPE,的外角，分别过点
F,F作直线！的垂线，垂足分别为G,H,直线0H的斜率为3
高二数学试题第3页共7页

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