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第2章特殊三角形单元检测卷浙教版2026—2027学年八年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
2．如果等腰三角形的周长为16，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜6 C．3＜x＜6 D．4＜x＜8
3． 如图， 在△ABC中， AB=AC， α， β为△ABC的两个外角， 则当α减少1°时， β的变化是(　　)
A．减少1° B．减小2° C．增大1° D．增大2°
4．如图，在△ABC中，，点D是BC边上一点，点E是AC的中点，连接AD、DE，若BC=BD+AD，则CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．如图，下列关于和的说法中正确的是（　　）
A．是等腰三角形
B．是等腰三角形
C．和均是等腰三角形
D．和均不是等腰三角形
6．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC是锐角等腰三角形，那么点 C 的个数为（　　).
A．5 B．4 C．3 D．2
7．用尺规法过直线外一点作此直线的垂线，作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（　　）
A．2.5 B．2 C．3 D．3.5
9．如图，要从电线杆离地面 5米的点C处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为12米，则这根钢缆长为 (　　)
A．13米 B．12米 C．11米 D．10米
10．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程x2+2mx=64，按照图1，构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，连接CD，若，则m的值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为　 　．
12．如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB＝90°， AB＝10， AC＝8.分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于 M，N两点，直线 MN分别交AC，AB于点D，E，则DE的长为　 　.
13．如图所示的网格是正方形网格，则　 　（点，，，是网格线交点）．
14．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，其中15—20题每题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），在直线l的左侧，其三个顶点A，B，C分别在网格的格点上．
（1）请你在所给的网格中画出，使和关于直线l对称；
（2）在直线l上找一点P，使得最小，请画出点P．（用虚线保留画图痕迹））
16． 如图，点在外部，点在边上，交于点，若．
求证：
（1）
（2）是等腰三角形
17．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证：
（1）；
（2）平分．
18．如图，在四边形中，，，平分；
（1）试说明：；
（2）若，，，请判断的形状，并说明理由．
19．【初步感知】
（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
20． 在△ABC中， ∠A=90°， AC=2， ∠ACB=60°， D为AB的延长线上一点， E为线段BC， BD的垂直平分线的交点，连接EC， EB， ED.
（1）如图1， BC的长为　 　.
（2）如图2，连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由.
（3）如图3，过点B作直线BF，使得∠BFD=∠BCE， P为直线BF上的一个动点，求PE-PD的最大值.
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长是16，腰长为x，
∴底边长为：16﹣2x，
∴，解得：4＜x＜8．
故选：D．
3．【答案】D
【解析】【解答】延长CB，如图所示，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=α
∵2α+β=360°，2(α-1)+β'=360°
∴β'=β+2
即β增大2°.
故答案：D.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BC=BD+DC=BD+AD，
∴AD=CD，
又∵点E为AC的中点，
∴∠DEC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠CDE=180°-∠DEC-∠C=180°-90°-50°=40°，
故答案为：B.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：的第三个内角为，有两个角都是，故是等腰三角形；
6．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，当AB 为腰时，分别以点 A，B为圆心，AB 长为半径作圆，可以找出格点 C的个数有 C1，C2两个；
当AB 为底时，作AB 的垂直平分线，可找出格点 C 的个数有 1 个为 C3，但此时 为等腰直角三角形，不符合题意.
故选 D.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A．根据作图可得，故该选项不符合题意；
B．根据作图可得垂直平分，故该选项不符合题意；
C．如图，根据作图可得，，
∴，，又，
∴，
∴，
∴，
则垂直平分，即，故该选项不符合题意；
D．无法判断，故该选项符合题意；
故选：D．
8．【答案】A
9．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知，电线杆垂直于地面，即，
∴为直角三角形，其中米，米。
根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
∴米，
即钢缆的长度为 13 米。
故答案为：A
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作AB的垂线段CE.
故选：B
11．【答案】
【解析】【解答】解：由已知可得，
在中，，
，
点M表示的数为．
故答案为：
12．【答案】3
【解析】【解答】解：在中，，
由题意可知，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3.
13．【答案】45
【解析】【解答】解：如图所示，点是网格线交点，连接，
根据题意可知，，
，
根据网格的性质可知，，，
，
，
故答案为：45．
14．【答案】12
【解析】【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，
根据图1得：，
根据图2得：，
联立解得，
∴，
则．
故答案为：12．
15．【答案】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如图，点P即为所求作：

16．【答案】（1）证明：∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∠2+∠E+∠AFE=∠3+∠C+∠CFD，
∴ .
（2）解：∵∠2=∠1，
∴ ∠2+∠CAD=∠1+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
∵ ，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AB=AD，
∴是等腰三角形.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，即E为中点．
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴平分．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：为直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴为直角三角形．
19．【答案】解：（1）证明：和是等边三角形，
，，．
，
，即．
在和中，
，
；
（2）；理由如下：
和是等边三角形，
，，．
，
，即．
在和中，
，
．
，
，
．
（3）有最小值，在射线上截取，连接，
，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴∠ACD+∠ACB=∠ACD+∠PED=180°，
∴∠EPC+∠CDE=∠CDE+∠EDM=180°，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
是等边三角形，
，
∴，，
即点E在角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值，
∵，，
∴，
∴
的最小值为8．
20．【答案】（1）4
（2）解：△CDE为等边三角形，理由如下，
∵点E为线段CB，BD的垂直平分线的交点，
∴EC=EB=ED，
∴∠ECB=∠EBC，∠EBD=∠EDB.
∵∠CAB=90°，∠ACB=60°，
∴∠CBA=90°-60°=30°，
∴∠CBD=180°-30°=150°，
∴∠ECB+∠CBD+∠EDB=300°
∴∠CED=360°-300°=60°，
又∵EC=ED，
∴△CED为等边三角形
（3）解：连接CD，由(2)得，△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°， CD=DE，
如图，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'.
∴PD=PD'，
∴ PE-PD=PE-PD'∵∠BFD+∠BFE=180°， ∠BFD=∠BCE，
∴∠BCE+∠BFE=180°，
∴∠CBF+∠CEF=180°.
∵∠CED=60°，
∴∠CBF=120°，
∴∠CBA=∠FBD=30°，
∴∠DBF=∠FBD'=30°，
∴∠DBD'=60°.
∵BD=BD'，
∴△BDD'是等边三角形，
∴ DB=DD' ， ∠BDD'=∠CDE=60°，
∴∠CDB=∠EDD'.
∴△CDB≌△EDD'(SAS)，
∴CB=ED'.
∵∠A=90°，∠CBA=30°，
∴CB=2CA，
∴ PE-PD=2CA=4.
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