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2026年 数学人教版（新教材）九年级上册（新教材）期中复习综合题一
一、单选题
1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）．
A．1 B． C． D．不确定
2．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大
C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5
5．瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有2人参加，共赛一局；若有3人参加，共赛3局；若有4人参加，共赛6局……并且规定：每局赢者得2分，输者得0分，如果平局，两个选手各得1分.经统计，全部选手总分为2070分，试问如果选手A这次比赛共得90分，A有无可能成为冠军？（　　）.
A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能
6．已知实数，现甲，乙、丙、丁四人对关于的方程讨论如下，则下列判断正确的是（　　）
甲：该方程一定是关于的一元二次方程 乙：该方程有可能是关于的一元二次方程 丙：当时，该方程没有实数根 丁：当且时，该方程有两个实数根
A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对
C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对
二、填空题
7．一元二次方程的解是　 　
8．已知的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的　 　．（填“内部”、“外部”、“上”）
9．若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为　 　．
10．设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是　 　．
11．已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为　 　．
12．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为　 　．
三、复合题
13．已知二次函数y＝ax2的图象经过A（2，﹣4）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）请写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向.
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求m的取值范围.
（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值.
15．某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克，
（1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为　 　千克，每天共盈利　 　元；
（2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？
16．有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积？
（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明．
17． 【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全.
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要.某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动.创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究.
（1）任务一：考察测量
如图①，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为 4m，则AB=　 　m.
（2）任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过.
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD<2AB时(如图①)，线段CD能通过直角弯道；
②当CD=2AB时，必然存在线段CD的中点E 与点B 重合的情况，线段 CD 恰好不能通过直角弯道(如图②).此时，∠ADC的度数是　 　；
③当CD>2AB时，线段CD不能通过直角弯道.
（3）如图③，创新小组用矩形 PQMN模拟汽车通过宽均为4m 的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形 PQMN恰好不能通过该弯道.若PQ=a m，PN=2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值.
（4）任务三：成果迁移
如图④，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数 的图象，其对称轴交图象于点
A.弯道内侧的顶点 B在射线OA 上，两边分别与x轴，y轴平行，( 创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似.有一辆长为 bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　 　.(参考数据：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 方程是关于的一元二次方程，
∴的最高次数为2，即，
∴，即．
又∵ 二次项系数，
当时，，不符合条件；
当时，，符合条件．
∴．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
有两个不相等的实数根，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的判别式的值确定方程根的情况解题．
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2-3x-1=0，
2x2-3x=1，
故答案为：C.
【分析】化二次项系数为1后，把常数项右移，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方.
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数中，
，函数图象开口向下，A不符合题意；
函数图象的顶点坐标是，当时，函数有最大值，最大值是5，C符合题意，D不符合题意；
函数图象的对称轴为，时y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，B不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质及二次函数的最值逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用；简单的极端原理
【解析】【解答】解：设共有名选手参赛，由题意列方程得：
解方程得：（舍去）
共有46名选手参赛
每名选手的比赛局数为：
每局最多积2分
即选手A每局都获胜，则他一定是冠军
故答案为：D.
【分析】由循环赛制规则知，若有名选手参赛，由于每一名选手都要和其他选手比赛，即每名选手都需打场比赛，因为无论输赢每局都会产生2分的积分，由此可列一元二次方程先求出参赛人数为46人，即每人都需打45场比赛，又因为只有获胜局才能积2分，则选手A这45场都获胜才能积最高的90分，据题意知他确实得到了90分，则一定是冠军.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：关于的方程，
当，时，原方程变为，是关于的一元一次方程，故甲是错误的；
当时，是关于的一元二次方程，故该方程有可能是关于的一元二次方程，故乙是正确；
∵，，，
∴，
当时，，且，方程有两个实根，故丁正确；
当时，方程没有实数根，故丙错误；
综上所述，正确的有乙，丁，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的概念可判定甲、乙，运用根据与系数的关系可判定丙、丁，由此即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知一元二次方程的解法是解题关键.
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
将方程移项得：，再提取公因式x可得：，令x=0或2x-1=0，解得：，由此可得出答案．
8．【答案】外部
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
解得
∴点P到圆心O的距离d
的半径是4，
点P在的外部
故答案为：外部
【分析】根据因式分解法解方程可得x值，再根据点与圆的位置关系即可求出答案.
9．【答案】6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，得方程，
因式分解得，
解得，，
即抛物线与x轴的交点为和，
∴弦长为：．
故答案为：6．
【分析】由于x轴上点的纵坐标为零，从而令抛物线y=x2-4x-5中y=0，算出对应自变量x的值，可得抛物线与x轴交点坐标，进而根据x轴上任意两点间的距离等于其横坐标差的绝对值，列式计算即可.
10．【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：解方程．
因式分解得．
解得，．
即的两条直角边的长分别为和．
由勾股定理得，的斜边长为．
设内切圆的半径为，直角三角形内切圆半径公式为，其中a，b为直角边长，为斜边长．
代入得．
故填：2.
【分析】首先先解一元二次方程得到直角三角形两条直角边的长，再利用勾股定理求出斜边长，最后根据直角三角形内切圆半径公式计算结果．
11．【答案】19
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
解得：或
∵2+6=8<9，不能构成三角形，
2+8=10>9，能构成三角形，则三角形的周长=2+8+9=19．
故答案为：19．
【分析】先解一元二次方程，根据三角形的三边关系进行判断，进而根据三角形的周长公式，即可求解．
12．【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：方程的两个根为，，由根与系数的关系得，，
对于任意正整数有：
由于，则，代入得：
，
∵，，
∴，，
∴，
∴恒成立，
因此，
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
故．
故答案为：10．
【分析】
先根据根与系数的关系，得到本题中两根满足，mn=1；之后对进行通分化简，可得到对任意正整数t，St恒等于1，因此累加和，最后将结果代入方程求解即可得到最终答案.
13．【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2的图象经过A（2，﹣4）， ∴﹣4＝4a，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2
（2）解：∵二次函数的解析式为 y＝﹣x2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向下
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于该函数的二次项系数小于0，故函数图象开口向下；又此题给出抛物线的解析式中，一次项系数及常数项都为0，故 这个二次函数图象的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴 .
14．【答案】（1）解：根据题意得，△＝9﹣4m＞0，
解得，m＜ ；
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝3，
∵x1＝5，
∴x2＝﹣2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得到△＝9﹣4m＞0，求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，由x1＝5求出结果.
15．【答案】（1）480；3360
（2）解：设水果每千克应涨价x元，则
(5+x)(500－10x)=4500
解得：x1＝5，x2＝40．
因为同时又要使顾客得到实惠，所以水果每千克应涨价5元.
答：水果在原售价的基础上应涨价5元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1） 销售量 ：500-2×10=480（千克）； 盈利 ：480×（17-10）=3360（元）
故答案为：480；3360
【分析】（1）销售量=原销售量-涨价减少的销量，盈利=（售价-进价）×销量
（2）根据销量×单价利润=总盈利，设涨价为x元，根据题意列出方程解得
解得：x1＝5，x2＝40．因为同时又要使顾客得到实惠，所以水果每千克应涨价5元.
16．【答案】（1）解：由题意，，，
∴，
∴此时窗户的透光面积为
（2）解：设，则，
∵，
∴，
则窗户的透光面积，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大；
∵，
∴与例题相比透光的最大面积变大
【知识点】正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形和正方形的性质得到：，，进而即可求出AD的长度，最后根据面积计算公式计算即可；
（2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，进而利用二次函数的性质求得最大面积为，即可求解．
（1）解：由题意，，，
∴，
∴此时窗户的透光面积为；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
则窗户的透光面积，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大；
∵，
∴与例题相比透光的最大面积变大．
17．【答案】（1）
（2）45°
（3）解：方法一如图①，设 AB 与MN 相交于点G.
根据题意，得 AB⊥PQ，B 为 PQ 的中点，AB⊥MN，G为MN 的中点，
∴MN=2AG.
又∵AB=4 m，NP=BG=2m，
∴MN=2AG=2(AB-BG)=(8 4)m.
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为 7.
方法二：如图②，设直线 PQ 分 别 与 直 线AM，AN 相 交 于 点I，H.
易得△ABI，△ABH，△IMQ，△NHP均为等腰直角三角形，
PH=PN=2m，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为 7.
（4）10
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：(1)如图，延长内侧交外侧于点B'，则BB'⊥AB'，
∴AB'=BB'=4，
∴，
故答案为：.
(2)由图形可知△ACD是等腰直角三角形，则∠ADC=45°，
故答案为：45°.
(4)过点A作AA'⊥x轴于点A'，
由勾股定理可得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
设直线AB与MN的交点为P，则BP=2，
过点P作PP'⊥轴于点P'，则，
∴PP'=OP'=4，
∴P(4，4)，
∴直线MN的解析式为：y=-x+8；
令，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴b=MN的最大整数值为10.
故答案为：10.
【分析】(1)延长内侧交外侧于点B'，则BB'⊥AB'，由勾股定理可求得AB的长；
(2)由图形可知△ACD是等腰直角三角形，进而可得结论；
(3)如图3，设AB与MN相交于点G，根据题意得∠ANM=∠NAG=45°，易证△AGM≌△AGN，所以GM=GN，则，求出MN的估算值即可得出结论；
(4)过点A作AA'⊥x轴于点A'，由勾股定理可得，可得，进而可得反比例函数的解析式为；设直线AB与MN的交点为P，则BP=2，过点P作PP'⊥x轴于点P'，可得PP'=OP'=4，由此可得点P的坐标，进而可求得直线MN的解析式，联立直线MN和反比例函数的解析式，可得M，N的坐标，进而可求出MN的长度，即可得出b的最大整数值.
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