资源简介

成对数据的统计分析
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，了解2×2列联表独立性检验及其应用
命题情境点 生活实践情境：6、14题 探索创新情境：8、11题 课程学习情境：1、2题
参考公式：经验回归方程=x+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-，样本相关系数r=. χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某学习小组为了利用独立性检验的方法研究高中生爱好某项运动与性别是否有关，随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，计算得到χ2=4.916 ，则下列结论正确的是
A.有95%的把握判断“爱好该项运动与性别无关”
B.有95%的把握判断“爱好该项运动与性别有关”
C.爱好该项运动与性别独立
D.有99%的把握判断“爱好该项运动与性别有关”
2.已知r1表示变量X与Y之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，且r1=0.936 ，r2=-0.978 ，则
A.变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性
B.变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性
C.变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性
D.变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性
3.经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成绩(单位：分)之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y的数据进行收集，结果如表所示：
x 15 16 18 19 22
y 102 m 115 115 120
若由表中样本数据求得经验回归方程为=3.1x+54.2，则实数m=
A.98
B.108
C.110
D.115
4.某学校有甲、乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关，随机调查了150名学生.设M表示事件“学生喜欢去甲食堂”，N表示事件“被调查的学生是男生”，若P(|N)=，P(|M)=，P(N)=，则下列结论不正确的是
被调查的是男生 被调查的是女生 合计
喜欢去甲食堂
喜欢去乙食堂
合计 150
A.被调查的学生中喜欢去甲食堂的有70人
B.有95%的把握判断学生喜欢去哪个食堂与性别有关
C.没有充分证据判断学生喜欢去哪个食堂与性别有关
D.被调查的学生中喜欢去甲食堂的男生有30人
5.从某地区随机抽取了7对母女的身高数据，如表所示：
母亲的身高x/cm 157 158 159 160 161 162 163
女儿的身高y/cm 156 159 162 161 164 165 166
下列结论不正确的是(参考数据：-7=28，-7≈74.86，xiyi-7 ≈44，≈45.79)
A.7个成对数据呈正相关
B.变量x和变量y的样本相关系数rxy约为0.961
C.以均值和为零点(，)，平移后的成对数据(x1-，y1-)，(x2-，y2-)，…，(x7-，y7-)与原始成对数据相关性不相同
D.用样本相关系数rxy可以估计总体两个变量的相关系数
6.某中学为更好地开展素质教育，现对学生选修外出研学课程与性别是否有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的.若有99%的把握判断“选修外出研学课程与性别有关”，则被调查的男生人数可能为
A.200
B.300
C.325
D.380
7.全民阅读已经成为一种新的生活方式.某市在全市范围内建设并开放了共60家城市书房——孺子书房，方便市民阅读、交流等，推动全民阅读活动深入开展.截至目前，孺子书房累计接待读者19.6万人次.下表是对2019年以来近5年孺子书房的年借阅量的数据统计(参考数据：yi=9 000).
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码X 1 2 3 4 5
年借阅量Y/册 y1 y2 1 600 2 200 2 800
通过分析散点图的特征，得到年借阅量Y关于年份代码X的经验回归方程为=500x+，则2025年的借阅量约为
A.3600册
B.3700册
C.3800册
D.3900册
8.已知变量X，Y的四个样本点A1(1，1)，A2(2，4)，A3(3，6)，A4(4，9)，用最小二乘法得到经验回归方程l1：=x+，过点A2，A3的直线方程为l2：y=mx+n，给出下列4个命题：①>m；②>n；③(yi-xi-)2≤(yi-mxi-n)2；④点(2.5，5)在直线l1上，也在直线l2上.其中正确的命题的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A，B，C三种样式，且每个盲盒只装一个玩偶.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了100份问卷并全部收回，经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占，而在未购买者当中，男生、女生各占，则下列结论正确的是
A.χ2≈2.357
B.未购买过该款盲盒的女生人数为70
C.没有充分的证据判断“购买该款盲盒与性别有关”
D.若每个盲盒装有A，B，C三种样式玩偶的概率相同，某同学已经有了B样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，则恰好能收集齐这三种样式玩偶的概率是
10.某学校一名同学研究温差x(单位：℃)与本校当天新增感冒人数y的关系，该同学记录了5天的数据，如表所示：
x 5 6 8 9 12
y 16 23 25 27 34
由统计数据知y与x满足经验回归方程=2.3x+，则下列结论正确的是
A.样本中心点为(8，25)
B.=6.6
C.当解释变量x每增加1时，响应变量y增加2.3
D.若去掉样本点(8，25)，则样本相关系数r不变
11.已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列一定不能说明X与Y有关的是
X Y Y 合计
X Y=0 Y=1 合计
X=0 100 a d
X=1 200 b e
合计 300 c n
A.b=2a
B.2c=3b
C.a=2b
D.e=2d
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知变量y与x线性相关，由样本点(xi，yi)(xi=i，i=1，2，3，4，5)求得的经验回归方程为=x+，若点(x5，y5)在经验回归直线上，且y5=2，=3，则y1+y2+y3+y4=　　　　.
13.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男、女生中各随机抽取160名学生进行问卷调查，得到如下数据(20≤m≤30，m∈N*)：
支持 不支持
男 140-m 20+m
女 100+m 60-m
若通过计算得有95%的把握判断“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的160名女生中，支持增加中学生体育锻炼时间的政策的人数的最小值为　　　　.
14.近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展.为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度(分为满意与不满意)的情况，某公司随机调查了该地区150名使用A型充电桩的车主，其中男性车主有60名对A型充电桩的使用表示满意，有30名对A型充电桩的使用表示不满意，女性车主有60%对A型充电桩的使用表示满意.将频率视为概率，用样本估计总体.已知该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意，则这位车主是男性的概率为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某单位对其30名员工的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人喜食蔬菜，饮食指数高于70的人喜食肉类).
(1)根据所给数据完成2×2列联表；
喜食蔬菜 喜食肉类 合计
35岁以上
35岁以下
合计
(2)能否有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关
16.(15分)下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能x(单位：吨)与标准煤相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：
x 3 4 5 6 7
y 45 50 60 65 70
(1)求y关于x的经验回归方程=x+；
(2)已知该厂技术改造前10吨产品的生产能耗为100吨标准煤，试根据(1)中求出的经验回归方程，预测该厂技术改造后10吨产品的生产能耗比技术改造前降低了多少吨标准煤.
17.(15分)为调查某校大学生对生成式人工智能技术的了解情况，从全校男、女大学生中各随机抽取40人，统计得到如下列联表：
男 女 合计
了解 30 20 50
不了解 10 20 30
合计 40 40 80
(1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校大学生对生成式人工智能技术的了解与性别有关
(2)用样本估计总体，从全校男大学生中随机抽取4人，记其中了解生成式人工智能技术的人数为Y，求Y的分布列及数学期望.
18.(17分)我国南方某蜜橘种植县通过网络平台直播销售蜜橘，其中每箱蜜橘重5千克，单价为40元/箱.已知最近5天单日直播总时长x(即所有主播的直播时长之和，单位：小时)与蜜橘的单日销售量y(单位：百箱)之间的统计数据如下表：
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
(1)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系，可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的经验回归方程.
(2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜橘的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播
(3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜橘平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元. 现有甲、乙两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为t(1≤t≤5)元/箱，且每箱坏果的个数X服从P(X=i)=
若采用乙款包装箱，成本为t元/箱，且每箱坏果的个数Y服从P(Y=i)=请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得的利润更大
附：(xi-)(yi-)=93，(xi-)2=30，(yi-)2=358，xiyi=4 218，=635，≈103.68.
19.(17分)乒乓球比赛有两种赛制，分别是“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.
(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.7，若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8.已知甲、乙两人共进行了m(m=10k，k∈N*)场比赛，是否有90%的把握判断赛制与甲获胜的场数有关
(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局.记事件A为“甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜”，事件B为“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：P(A)=P(B).
(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是p(p>0.5)，没有平局.若采用“赛满2n-1局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n)，若采用“赛满2n+1局，胜方至少取得n+1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n+1)，试比较P(n)与P(n+1)的大小.
【参考答案】
1.B　解析：因为χ2=4.916>3.841，且χ2=4.916<6.635，所以有95%的把握判断“爱好该项运动与性别有关”，但没有99%的把握判断“爱好该项运动与性别有关”.
2.C　解析：因为样本相关系数r1=0.936，r2=-0.978，所以变量X与Y之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系.又因为|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越高，所以X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性.
3.A　解析：依题意得，==18，==90.4+，而经验回归方程为=3.1x+54.2，则90.4+=3.1×18+54.2，所以m=98.
4.C　解析：因为P(N)=，所以150×=80，即被调查的学生中男生有80人，女生有70人，且P(|N)=，所以80×=50，即男生中喜欢去乙食堂的有50人，喜欢去甲食堂的有30人.又因为P(|M)=，所以P(N|M)=，所以被调查的学生中喜欢去甲食堂的有70人.根据以上数据作出下表：
被调查的是男生 被调查的是女生 合计
喜欢去甲食堂 30 40 70
喜欢去乙食堂 50 30 80
合计 80 70 150
χ2=≈5.79>3.841，所以有95%的把握判断学生喜欢去哪个食堂与性别有关.
5.C　解析：因为-7=28，-7≈74.86，xiyi-7≈44，所以rxy==≈0.961，B项正确；由rxy≈0.961>0，得7个成对数据呈正相关，A项正确；平移后的成对数据所对应平面直角坐标系中的散点图与原始成对数据所对应的散点图形状完全一致，故相关性完全相同，C项错误；根据统计学思想，D项正确.
6.D　解析：设被调查的男生人数为5n(n∈N*)，根据题意可得2×2列联表如下：
男 女 合计
选修外出研学课程 3n
未选修外出研学课程 2n
合计 5n 5n 10n
χ2==，若有99%的把握判断“选修外出研学课程与性别有关”，则>6.635，解得n>65.69，所以5n>328.43，又男生、女生的人数为5的倍数，故被调查的男生人数可能为380.
7.C　解析：因为==3，===1 800，所以1 800=500×3+，解得=300.所以经验回归方程为=500x+300，当x=7时，=500×7+300=3 800.
8.C　解析：作出散点图(图略)，直观判断可知>m，又=2.5，=5，
所以==2.6，=5-2.6×2.5=-1.5，所以l1：=2.6x-1.5，
因为m==2，所以l2：y=2x，
所以(yi-xi-)2=(1-1.1)2+(4-3.7)2+(6-6.3)2+(9-8.9)2=0.2，
(yi-mxi-n)2=(1-2)2+(4-4)2+(6-6)2+(9-8)2=2，所以③正确.
因为经验回归方程一定经过样本点中心(，)，点(2.5，5)恰好在直线y=2x上，所以④正确.
9.ACD　解析：有30人购买了该款盲盒，因为在这些购买者当中，女生占，所以购买了该款盲盒的人中男生有20人，女生有10人.有70人没有购买该款盲盒，其中男生有35人，女生有35人.根据以上数据，列联表如下：
男 女 合计
未购买过该款盲盒 35 35 70
购买过该款盲盒 20 10 30
合计 55 45 100
χ2=≈2.357<2.706，所以没有充分的证据判断“购买该款盲盒与性别有关”.
某同学再购买两个这款盲盒，基本事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，能收集齐这三种样式玩偶的基本事件有(A，C)，(C，A)，所以恰好能收集齐这三种样式玩偶的概率是.
10.ABD　解析：由表格可得==8，==25，所以样本中心点为(8，25)，故A项正确；由=2.3+，得=-2.3=25-2.3×8=6.6，故B项正确；由B项知，=2.3x+6.6，当解释变量x每增加1时，响应变量y不一定增加2.3，故C项不正确；因为x3==8，y3==25，x3-=0，y3-=0，所以(x3-)(y3-)=0，(x3-)2=0，(y3-)2=0，所以去掉样本点(8，25)后，在样本相关系数r的公式中，分子、分母的大小都不变，故样本相关系数r的大小不变，故D项正确.
11.ABD解析：在同一个样本中，|ad-bc|越小，说明两个变量的关系越弱，|ad-bc|越大，说明两个变量的关系越强.对于A，当b=2a时，|100b-200a|=0；对于B，当2c=3b时，可得b=2a，则|100b-200a|=0；对于C，当a=2b时，|100b-200a|=|150a|；对于D，当e=2d时，200+b=200+2a，即b=2a，此时|100b-200a|=0.由以上分析可知，选项C能说明X与Y有关，选项A，B，D不能说明X与Y有关.
12.6　解析：由题意，点(5，2)在经验回归直线上，将其代入=x+中，可得2=1+，解得=1.
因为=3，且样本中心点(，)在经验回归直线上，所以=×3+1=，
故yi+2=5×，解得yi=6.
13.128　解析：因为有95%的把握判断“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以≥3.841，即(m-20)2≥57.615.因为函数y=(m-20)2在20≤m≤30时单调递增，且m∈N*，(27-20)2<57.615，(28-20)2≥57.615，所以m的最小值为28，所以在这被调查的160名女生中，支持增加中学生体育锻炼时间的政策的人数的最小值为100+28=128.
14.　解析：设该地区“一位车主对A型充电桩的使用表示满意”为事件M，“车主是男性”为事件N，则该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意且这位车主是男性的概率为P(N|M).又男性对充电桩满意的概率P(MN)==，车主对充电桩满意概率P(M)=+=，则这位车主是男性的概率P(N|M)===.
15.解析：(1)根据茎叶图中的数据，填写2×2列联表，如表所示：
喜食蔬菜 喜食肉类 合计
35岁以上 16 2 18
35岁以下 4 8 12
合计 20 10 30
(2)由(1)中2×2列联表的数据，可得χ2==10>3.841=x0.05，
故有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关.
16.解析：(1)=5，=58，xiyi=1 515，xiyi-5 =65，-5=10，
∴==6.5，=58-6.5×5=25.5，∴=6.5x+25.5.
(2)当x=10时，y=90.5，即改造后预测生产能耗为90.5吨，∵100-90.5=9.5，
∴预测该厂改造后10吨产品的生产能耗比技术改造前降低了9.5吨标准煤.
17.解析：(1)零假设为H0：对生成式人工智能技术的了解与性别无关联.由题意得χ2==<6.635=x0.01，根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即没有99%的把握认为该校大学生对生成式人工智能技术的了解与性别有关.
(2)由题意得样本中的男大学生了解生成式人工智能技术的频率为，用样本估计总体，从全校男大学生中随机抽取一人，则他了解生成式人工智能技术的概率为，则Y~B.P(Y=0)==，P(Y=1)==，P(Y=2)==，P(Y=3)==，P(Y=4)==.
所以Y的分布列如下：
Y 0 1 2 3 4
P
故E(Y)=np=4×=3.
18.解析：(1)由题意得==11，==75，
(xi-)(yi-)=93，(xi-)2=30，(yi-)2=358，
所以r==≈0.897，所以y与x成正线性相关，且相关程度很强，所以可用线性回归模型进行拟合.
又xiyi=4 218，=635，所以===3.1，所以=-=75-3.1×11=40.9，故经验回归方程为=3.1x+40.9.
(2)根据题意得40×100=4 000(3.1x+40.9)>600 000，解得x>≈35.2，又=8.8，所以至少要请9位主播进行直播.
(3)对于乙款包装箱，由m+m+m+=1，所以m=.设采用甲款包装箱每箱获得的利润的数学期望为E1，则E1=40-E(X)-t=40-1×-t=-t.
设采用乙款包装箱每箱获得的利润的数学期望为E2，则E2=40-E(Y)-t=40-1×-t=-t.
令-t=-t，解得t=.因为1≤t≤5，所以令-t>-t，解得t∈，令-t<-t，解得t∈.
综上所述，当t=时，采用两款包装箱获得的利润一样；当t∈时，采用甲款包装箱获得的利润更大；当t∈时，采用乙款包装箱获得的利润更大.
19.解析：(1)由题设可得，赛制与甲获胜情况的列联表如下：
甲获胜场数 乙获胜场数 合计
5局3胜 0.7m 0.3m m
7局4胜 0.8m 0.2m m
合计 1.5m 0.5m 2m
χ2==.若≥2.706，则m≥101.475，即当m≥102(m=10k，k∈N*)时，有90%的把握判断赛制与甲获胜的场数有关，当m<102(m=10k，k∈N*)时，没有充分证据判断赛制与甲获胜的场数有关.
(2)证明：由题意得，P(A)=p3+p·p2(1-p)+p·p2(1-p)2=p3+3p3(1-p)+6p3(1-p)2=6p5-15p4+10p3，
P(B)=p3(1-p)2+p4(1-p)+p5(1-p)0=10p3(1-p)2+5p4(1-p)+p5=10p5-20p4+10p3+5p4-5p5+p5=6p5-15p4+10p3，
P(A)=P(B)，原题得证.
(3)考虑赛满2n+1局的情况，以赛完2n-1局为第一阶段，第二阶段为最后2局.
设“赛满2n+1局，甲获胜”为事件C，结合第一阶段结果，要使事件C发生，有两种情况，分别是第一阶段甲获胜，记为A1，第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了n-1局，记为A2，则C=A1C+A2C，得P(C)=P(A1C)+P(A2C).若第一阶段甲获胜，即赛满2n-1局甲至少胜n局，有甲至少胜n+1局和甲恰好胜n局两种情况.当甲至少胜n+1局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜.当甲恰好胜n局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为pn(1-p)n-1(1-p)2，所以P(A1C)=P(n)-pn(1-p)n-1(1-p)2.若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了n-1局，则要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得P(A2C)=P(A2)P(C|A2)=pn-1(1-p)np2，所以P(n+1)=P(C)=P(n)-pn(1-p)n-1(1-p)2+pn-1(1-p)np2，则P(n+1)-P(n)=pn-1(1-p)np2-pn(1-p)n-1(1-p)2=pn+1(1-p)n-pn(1-p)n+1=2pn(1-p)n，因为p>，所以2pn(1-p)n>0，故P(n+1)>P(n).

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