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2026年数学人教版（新教材）九年级上册（新教材）期中复习综合题二
一、单选题
1．二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上，直线x＝4，（4，5）
B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）
D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
2．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
3．关于二次函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当 时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为-3
4．由二次函数可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为
C．其最大值为1 D．当时，y随x的增大而减小
5．设A ，B ，C 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．已知点A（－1，y1），B（2，y2），C（－3，y3）在抛物线y＝ －x2＋2x＋c上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知二次函数的图象和x轴有交点，则m的取值范围是　 　.
8．若函数 （m是常数）是二次函数，则m的值是　 　.
9．写一个反比例函数　 　.
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为　 　．
11．已知二次函数 的图象经过原点，则 的值为　 　.
12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=　 　．
三、复合题
13．已知二次函数y＝ax2的图象经过A（2，﹣4）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）请写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向.
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标．
15．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
16．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型：
设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内的交点的坐标．
（2）画出函数图象：
函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象：
当直线平移到与函数的图像有唯一交点时，写出周长的值　 　；
（4）得出结论：
若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长的取值范围　 　．（直接写出结论）
17．如图，运动员甲在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为米．
（1） 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2） 该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
（3） 运动员乙跳离地面时，最高能摸到，问：在（2）的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数y＝（x+4）2+5，
∵
∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，当a>0时，开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），据此判断.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】抛物线 的顶点坐标是（3，1）.
故答案为：A.
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故答案为：A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故答案为：B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故答案为：C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故答案为：D正确，
故答案为：D.
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
函数有最小值1，
当时，随的增大而减小.
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时，图象开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），最小值为k，当xh时，y随x的增大而增大，据此即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】∵函数的解析式是 ，如图，
∴对称轴是 ，
∴点A关于对称轴的点A′是 ，
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边 随 的增大而减小，
∴于是 ，
故答案为：A.
【分析】由题意知，A、B、C三点不在抛物线对称轴的同一侧，根据抛物线的对称性找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性即可作出判断.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得：抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为
∴当时，y随着x的增大而增大，且当和时，函数值均为y2
∵
∴y3故答案为：B.
【分析】由函数解析式可得函数图象开口向下，且对称轴为直线x=1，在x<1的左侧，y随着x的增大而增大，据此进行比较.
7．【答案】且
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象和x轴有交点，
；
，又因为二次项系数；
且.
故答案为：且.
【分析】利用Δ＝b2 4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△＝62+36m≥0，且m≠0，然后解关于m的不等式组即可．
8．【答案】－2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知， 且 ，
解得： ，
故答案为：－2.
【分析】根据二次函数的定义可得 且 ，据此解答即可.
9．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：由反比例函数定义可得： ，
故答案为： （答案不唯一）.
【分析】形如y=（k为常数，且k≠0）的函数，叫反比例函数，根据定义解答即可.
10．【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式可得抛物线，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据两点间距离即可求出答案.
11．【答案】2
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意得：m(m 2)=0，
∴m=0或m=2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2.
故填2.
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0.
12．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵四边形ODBE为矩形，∴故又∵点D，点E在反比例函数的图象上，∴∴又∵BE=2EC ，∴又根据反比例函数的性质可得：解得k=3.
故答案为：3.
【分析】本题主要考查矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，连接OB，根据矩形的性质可得：再根据反比例函数的性质及已知条件可得：即可求出k的值.
13．【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2的图象经过A（2，﹣4）， ∴﹣4＝4a，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2
（2）解：∵二次函数的解析式为 y＝﹣x2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向下
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于该函数的二次项系数小于0，故函数图象开口向下；又此题给出抛物线的解析式中，一次项系数及常数项都为0，故 这个二次函数图象的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴 .
14．【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
15．【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时，y最大= m2.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 12×3-1×（12-a）=32 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 y=x·(21-3x) ，再根据函数解析式的性质计算求解即可。
16．【答案】（1）一
（2）解：图像如下所示；
（3）8
（4）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）因为 设矩形相邻两边的长分别为 ，则故 满足要求的应是两个函数图象在第一象限的交点坐标.
故答案为：一.
（3）将点代入可得：解得m=8.
故答案为：8.
（4）直线在平移过程中，交点的个数有：0个，1个，2个三种情况，联立和，消去y并化简可得：则当时两个函数有交点，解得：或（不合题意舍去），故周长m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点、绘制一次函数图象、反比例函数与一次函数综合运用、一元二次方程的根的判别式等知识.
（1）根据题意知x，y均为为正数，即可求解；
（2）结合题意作图即可；
（3）将点代入求解即可；
（4）直线在平移过程中，交点的个数有：0个，1个，2个三种情况，联立和，由一元二次方程的判别式求解即可.
17．【答案】（1）解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的表达式为．
由图知图象过以下点：．
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为，
因为（1）中求得，
则球出手时，球的高度为，
∴，
∴．
答：球出手时，他跳离地面的高度为．
（3）解：由题意可得出：，
则，
解得：，，
∴，，
∴乙在距离甲米以内或离篮板米以内能在空中截住球．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要二次函数的实际运用、二次函数的顶点式、一元二次方程.
（1）根据题意可得二次函数的顶点坐标，然后运用顶点式设二次函数的解析式为：，再将点代入即可求解；
（2） 设球出手时，他跳离地面的高度为， 根基题意及二次函数的解析式可得关于h的方程，解出方程即可；
（3）把代入二次函数的解析式，解出x即可求解.
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