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大单元综合测试(一)：第六章
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 理解两个基本计数原理，运用计数原理探索排列、组合、二项式定理
命题情境点 生活实践情境：6、15题 探索创新情境：8、19题 课程学习情境：3、4题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知=，则n=
A.3
B.4
C.5
D.6
2.现有由两个4和两个5依次排成的四位数，将0和3加入这个数中，构成六位数，若保持原来4个数字的顺序不变，则不同的六位数的个数共有
A.10
B.24
C.25
D.30
3.(x2+x+1)(x-1)2展开式合并同类项后不同的项数为
A.2
B.3
C.4
D.5
4.高二(1)班包含小明在内的四名学生与高二(2)班包含小华在内的五名学生站成一排照相，若高二(1)班和高二(2)班的学生必须分别排在一起，且小明和小华不能相邻，则不同方式的排列种数为
A.5760
B.5560
C.5492
D.5472
5.设a∈Z，且0A.1
B.2
C.5
D.6
6.现有包含甲在内的六名学生准备各自从A，B，C，D四个大学中选一个申请强基计划，已知每个大学都有人选，且甲没有选大学A，则所有不同选法的种数为
A.540
B.720
C.1080
D.1170
7.的展开式中x2y的系数为
A.9
B.-9
C.12
D.-12
8.如图，在这个正六边形的六个顶点上分别放置数字(包括0，1，2，…，9)，要求每个顶点上放置一个数字，且任意相邻两个顶点上的数字之和不能为5或7.若已经在三个相邻顶点上放置了数字1，2，3，且剩余3个顶点中与数字2和3相邻的顶点数字相同，则不同的放置方法的种数为(数字可重复使用)
A.24
B.48
C.54
D.96
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列四个等式一定正确的是
A.=
B.=m(m，n∈N*，且n≥m)
C.m=n(m，n∈N*，且n≥m)
D.+++…+=330
10.已知(x+a)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9+a10(x-1)10(a∈R)，则下列说法正确的是
A.若a=0，则a0+a1+a2+…+a9+a10=210
B.若a=1，则a0=210
C.若a0=0，则a10=210
D.若a9=30，则a=2
11.现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加跳远、跳高、铅球、三级跳四项体育活动，每人只安排参加一个体育活动，则下列说法正确的是
A.不同安排方案的种数为54
B.若每项体育活动至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C.若三级跳不安排，其余至少有1人参加，则不同安排方案的种数为(+)
D.若每项活动至少1人参加，甲不参加三级跳，则不同安排方案的种数为+
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.计算：3-2=　　　　.
13.(1+3x)6的展开式中，含x的项的系数为　　　　.
14.如图，这是某个城市的街道图，其中虚线部分为不可通过的湖泊，则小华从A处到B处的最短路径有　　　　条.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)学校要安排一场文艺晚会的10个节目的演出顺序，这10个节目包括4个音乐节目、3个舞蹈节目、2个小品、1个相声，要求第1个节目是舞蹈节目，最后1个节目是音乐节目.
(1)若要求4个音乐节目排在一起，求不同的排法种数；
(2)若要求音乐节目、舞蹈节目、小品节目分别相邻演出，求不同的排法种数.
16.(15分)(1)解方程：24(++)=.
(2)解不等式：<6.
17.(15分)(1)用五种不同的颜色(不一定需要全部使用)给图中三棱台的表面涂色，要求每个面涂一种颜色，有公共棱的两个面涂不同的颜色，求不同的涂色方法的种数；
(2)用四种不同的颜色(不一定需要全部使用)给图中三棱台的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条线段的两个顶点涂不同的颜色，求不同的涂色方法的种数.
18.(17分)已知(n∈N*).
(1)若展开式的二项式系数的和为128，求该式的展开式中所有项的系数之和.
(2)若+=135.
①求该式的展开式中有理项的个数；
②求该式的展开式中系数绝对值最大的项.
19.(17分)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图1所示，而同“杨辉三角”齐名的“莱布尼茨三角形”如图2所示.
(1)探究图2可得组合恒等式“+=(r∈N，1≤r≤n)”，请证明这个恒等式；
(2)探究图1发现“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即()2+()2+()2+…+()2=”，请证明这个组合恒等式；
(3)请构造一个实际背景，对恒等式·=·(m，n，k∈N*，且n≥m≥k)的意义作出解释.
【参考答案】
1.A　解析：因为=，所以=，所以2n=n(n-1)，得n=3.
2.C解析：加入数字3有5种情况，再加入数字0有5种情况，由分步计数原理得，共有5×5=25个不同的六位数.
3.C　解析：因为(x2+x+1)(x-1)2=(x3-1)(x-1)，所以(x2+x+1)(x-1)2展开式合并同类项后不同的项数为4.
4.D　解析：高二(1)班和高二(2)班的学生分别排在一起，共有=5 760种排列方式，若小明和小华相邻，共有=288种排列方式，所以小明和小华不能相邻的排列方式共有5 760-288=5 472种.
5.D　解析：342 024=(35-1)2 024，其展开式的通项为Tr+1=352 024-r×(-1)r.当r<2 024时，能被7整除；当r=2 024时，1不能被7整除，所以a=6.
6.D　解析：因为甲没有选大学A，所以甲有=3种选法，其余五名学生可以选三个大学或四个大学.当其余五名学生选三个大学时，有=150种选法；当其余五名学生选四个大学时，有=240种选法.故共有(150+240)×3=1 170种不同的选法.
7.A　解析：展开式的通项为Tr+1=(x2)k-r=x2k-2r，
根据题意令解得所以展开式中含x2y的项为x2y=x2y，所以的展开式中x2y的系数为×3×=9.
8.C解析：∵相邻两个顶点的数字之和不能为5或7，∴2和3不相邻，即三个点分布为3，1，2或2，1，3，∵正六边形是对称轴图形，∴上述两种情况相同，记一种结果.由题意可知，与2相邻的另一个点的数字可能是0，1，2，4，6，7，8，9，与3相邻的另一个点的数字可能是0，1，3，5，6，7，8，
9.
当这两个点所选数字相同时，共有6种取法，此时，与剩余点相邻的数字相同，只需考虑2种不符合题意的数字，∴最后一个点共有8+8+9+9+10+10=54种取法，∴共有54种不同的放置方法.
9.AC　解析：因为=6，=6，所以=，故A正确；因为==n×=n，所以B错误；因为m=m×=n×=n，所以C正确；因为++++…+=-1=329，所以D错误.
10.ABD　解析：对于A，因为a=0，所以x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9+a10(x-1)10，令x=2，则a0+a1+a2+…+a9+a10=210，故A正确；对于B，因为a=1，所以(x+1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9+a10(x-1)10，令x=1，则a0=210，故B正确；对于C，令x-1=t，则x=t+1，所以(t+1+a)10=a0+a1t+a2t2+…+a9t9+a10t10，因为a0=0，所以a=-1，则a10=1，故C错误；对于D，令x-1=t，则x=t+1，所以(t+1+a)10=a0+a1t+a2t2+…+a9t9+a10t10，所以T10=(a+1)t9，所以(a+1)=a9，即10(a+1)=30，得a=2，故D正确.
11.BD　解析：对于A，若每人都安排一项体育活动，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为45，故A错误；对于B，先将5人分为四组，再将分好的四组全排列，安排四项体育活动，则不同安排方案的种数为，故B正确；对于C，先将5人分为三组，有种分组方法，将分好的三组安排参加跳远、跳高、铅球三项体育活动，有种安排方法，则不同安排方案的种数是，故C错误；对于D，①先从乙、丙、丁、戊中选出1人参加三级跳活动，再将剩下的4人分成三组，安排参加跳远、跳高、铅球三项体育活动，则不同安排方案的种数为，②先从乙、丙、丁、戊中选出2人参加三级跳活动，再将剩下的3人安排参加跳远、跳高、铅球三项体育活动，则不同安排方案的种数为，所以不同安排方案的种数是+，故D正确.
12.12　解析：3-2=252-240=12.
13.99　解析：由题意得，(1+3x)6的展开式的通项为Tr+1=(3x)r=3rxr，所以(1-2x)(1+3x)6的展开式中含x的项为×32x2-2×31x1=99x，所以展开式中含x的项的系数为99.
14.132　解析：把A看作原点，根据题意，可得所有经过(3，3)的路径都不行，所以用总路径数减掉不符合题意的路径数，即小华从A处到B处的最短路径有-·=132条.
15.解析：(1)先将4个音乐节目全排列，有种排法，再把舞蹈、小品、相声节目看作6个节目进行排列，有·种排法，所以共有=24×360=8 640种排法.
(2)先把它们各自排列并捆绑，各自有，，种排法，再把小品和相声全排列，有种排法，所以共有=576种排法.
16.解析：(1)因为24(++)=，所以24=，解得x=4.
(2)因为<6，所以<6×，所以x2-19x+84<0，解得7又因为2≤x≤8，所以x=8.
17.解析：(1)第一类，用四种颜色，先涂三个侧面，上底面和下底面同色，则共有=120种涂色方法；第二类，用五种颜色，则共有=120种涂色方法.
所以共有240种不同的涂色方法.
(2)第一类，用四种颜色，先涂A，B，C，有24种涂色方法，再涂D，E，F中的一个点，有3种涂色方法，最后剩余的两个点只有3种涂色方法，则共有216种涂色方法；第二类，用三种颜色，首先选出三种颜色，共有4种选法，先涂A，B，C，有6种涂色方法，再涂D，E，F，有2种涂色方法，则共有48种涂色方法.综上，共有264种涂色方法.
18.解析：(1)由+++…+=2n=128，可得n=7.令x=1，可得=，
所以展开式中所有项的系数之和为.
(2)①若+=135，则+n(n-1)=135，解得n=10或n=-9(舍去).
的通项为Tr+1=(2)10-r=210-r，且r∈{0，1，2，…，10}，所以当r=0，2，4，6，8，10时，可得展开式中的有理项，所以共有6个有理项.
②由①知，的通项为Tr+1=(2)10-r=(-1)r210-2r，且r∈{0，1，2，…，10}，令解得≤r≤，所以r=2，所以T3=(-1)226x2=2 880x2.
19.解析：(1)证明：+==
===·=.
(2)证明：考虑多项式(1+x)n·(1+x)n中xn的系数.一方面，代数式(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n=+x+…+xn+…+x2n中，xn的系数为.
另一方面，代数式(1+x)n·(1+x)n=(+x+…+xn)·(+x+…+Cnxn)中，xn的系数为·+·+…+·.因为=，所以·+·+…+·=()2+()2+…+()2，所以()2+()2+()2+…+()2=.
(3)从n名学生中选出m人组成代表队，其中k名作为主力队员，m-k名作为替补队员，根据分步乘法原理共有·种方法，也可以直接从n名学生中选了k名主力队员，再从剩下的n-k名学生中选出m-k名替补队员，根据分步乘法原理共有·种方法.
由上面的两种方法可知，·=·.

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