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二项式定理
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 掌握二项式定理，计算展开式中的每一项
滚动考查点 计数原理
命题情境点 生活实践情境：12、14题 探索创新情境：8、11题 课程学习情境：18、19题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式共有8项，则常数项为
A.
B.224
C.336
D.448
2.化简(x+2)4-4(x+2)3+6(x+2)2-4(x+2)+1的结果为
A.x4
B.(x-1)4
C.(x+1)4
D.x4-1
3.在的展开式中，二项式系数之和是16，则展开式中各项系数的和为
A.16
B.81
C.1
D.32
4.(1+)6的展开式中的常数项为
A.4246
B.1286
C.206
D.16
5.如果的展开式中第4项与第3项的系数之比是3，那么展开式中有理项的项数为
A.2
B.3
C.1
D.0
6.在(3x3-5x2+1)5的展开式中，除x6项之外，剩下所有项的系数之和为
A.299
B.1159
C.981
D.-1
7.若x2-3x5+x10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a10(1+x)10，则a8=
A.-10
B.10
C.-45
D.45
8.已知n为正整数，若1.1515∈[n，n+0.5)，则n的值为
A.6
B.7
C.8
D.9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知的展开式中第2项与第3项的系数的绝对值相等，则下列结论成立的是
A.n=10
B.展开式中的常数项为10
C.含x5项的系数为110
D.展开式中的有理项有3项
10.已知(2+ax)n+(3-x)7=a0+a1x+…+a6x6(a≠0)，则
A.n=7
B.a=128
C.a0+a1+a2+…+a6=2 315
D.++…+=
11.“杨辉三角”把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据“杨辉三角”判断下列说法正确的是
A.(x-1)7=x7-7x6+21x5-35x4+35x3-21x2+7x-1
B.++4+6+4+=
C.已知(1-3x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为210
D.已知(x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5，则a1+a2+a3+a4=30
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a=×3+×32+…+×320，a≡b(mod 5)，则b的最小正数值为　　　　.
13.已知(2x+m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7，若a0+++…+=-128，则a4=　　　　.
14.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如图)，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n(n≥2)行的第3个数字为an-1，则a1+a2+a3+…+a9+a10=　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知(a+x)(1+x)4的展开式中的常数项为3.
(1)求a的值；
(2)求展开式中x的奇数次幂项的系数之和.
16.(15分)已知m>0，n∈N*，(1+mx)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，且a1+a2+a3+a4=80.
(1)求mn的值；
(2)求展开式中的第4项.
17.(15分)已知在二项式的展开式中，仅第7项的二项式系数最大.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项.
18.(17分)设(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N*，且=2a2a4.
(1)求n的值；
(2)设(1+)n=a+b，其中a，b∈N*，求a+b的值.
19.(17分)在(1+x+x2)n=+x+x2+…+x2n中，把，，，…，叫作三项式系数.
(1)当n=3时，写出三项式的值.
(2)在(a+b)n(n∈N*)的展开式中，二项式系数可表示成下列形式：
当0(3)求-+-+…+-的值(可用组合数作答).
【参考答案】
1.D　解析：∵展开式共有8项，∴n=7，则的展开式的通项为Tr+1=(x3)7-r·=(-2)r，令21-r=0，得r=6，故展开式中的常数项为T7=·(-2)6=448.
2.C　解析：(x+2)4-4(x+2)3+6(x+2)2-4(x+2)+1=(x+2)4+(x+2)3×(-1)+(x+2)2×(-1)2+(x+2)×(-1)3+(-1)4=[(x+2)-1]4=(x+1)4.
3.B　解析：因为二项式系数之和是16，所以2n=16，解得n=4，
令x=1，可得展开式中各项系数的和为34=81.
4.C　解析：(1+)6的展开式的通项为Tr+1==，r=0，1，2，3，4，5，6，
的展开式的通项为Tk+1=，k=0，1，2，3，4，5，
两通项相乘得=，令-=0，得2r=3k，
所以满足条件的(r，k)有三组：(0，0)，(3，2)，(6，4).故常数项为1++=206.
5.A　解析：依题意可得=3，即=3×，解得n=11，所以二项式的展开式的通项为Tr+1=()11-r=(r=0，1，2，…，11).
根据题意，令∈Z，解得r=3或r=9，故共有2项有理项.
6.B　解析：令x=1，得(3-5+1)5=-1，所以(3x3-5x2+1)5的展开式中所有项的系数之和为-1.根据(3x3-5x2+1)5的展开式为…+(3x3-5x2)2+(3x3-5x2)3+…，知含x6项的系数为×32+×(-5)3=-1 160，故剩下所有项的系数之和为1 159.
7.D　解析：设1+x=t，则(t-1)2-3(t-1)5+(t-1)10=a0+a1t+a2t2+…+a10t10.因为仅有(t-1)10中含有t8项，所以a8=(-1)2=45.
8.C　解析：因为1.155==×+×+×+×+×+×=1++++×=2++×，
而2<2++×<2++<2++=2+<2.02，
所以2<1.155<2.02，因此8<1.1515<8.24，又n为正整数，所以n=8.
9.BD　解析：由于展开式中第2项与第3项的系数的绝对值相等，则|×2n-1×(-1)|=×2n-2×(-1)2，解得n=5，故A项不正确；展开式中的常数项为×2=10，故B项正确；含x5项的系数为×23×(-1)2=80，故C项不正确；展开式中的有理项为第1，3，5项，故共有3项有理项，故D项正确.
10.ACD　解析：由等式右边最高为x6项，且不含x7项，得n=7，且×a7+×30×(-1)7=0，则a=1，故A项正确，B项错误；所以(2+x)7+(3-x)7=a0+a1x+…+a6x6，令x=1，得a0+a1+a2+…+a6=2 315，故C项正确；令x=3，得a0+3a1+…+36a6=57，等式两边同时除以37，得++…+=，故D项正确.
11.ACD　解析：对于A，根据二项式展开公式可得(x-1)7=x7-7x6+21x5-35x4+35x3-21x2+7x-1，故A项正确；对于B，因为=，所以++4+6+4+=2+5+10=469，而==462，故B项不正确；对于C，根据题意得=，所以n=10，故原二项式为(1-3x)10，令x=1，得展开式中所有项的系数之和为(-2)10=210，故C项正确；对于D，令x=0，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=25，令x=-1，得a0=1，a5=1，所以a1+a2+a3+a4=30，故D项正确.
12.5　解析：已知a=×3+×32+…+×320，由二项式定理得a=(1+3)20-=420-1=(5-1)20-1，则a=×520-×519+…-×5+-1.因为×520-×519+…-×5能被5整除，所以a能被5整除，故b的最小正数值为5.
13.-560　解析：令x=，则1-x=，原式变为(1+m)7=a0+++…+=-128，解得m=-3，故(2x+m)7=(2x-3)7=[-1-2(1-x)]7，则a4=×(-1)3×(-2)4=-560.
14.220　解析：由题意得a1=，a2=，a3=，…，a10=，则a1+a2+a3+…+a10=+++…+==220.
15.解析：(1)易知展开式中的常数项为a，且常数项为3，所以a=3.
(2)设(3+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
令x=1，得16×4=a0+a1+a2+a3+a4+a5，　①
令x=-1，得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5，　②
由①-②，得16×4=2(a1+a3+a5)，则展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1+a3+a5=32.
16.解析：(1)因为m>0，n∈N*，(1+mx)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
所以n=4，令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(1+m)4，
所以a1+a2+a3+a4=(1+m)4-1=80，解得m=2或m=-4(舍去)，所以mn=24=16.
(2)(1+2x)4的展开式中的第4项为T4=×23x3=32x3.
17.解析：(1)因为展开式中仅第7项的二项式系数最大，所以n=12，
所以Tr+1=，令12-r=0，得r=9，所以常数项为=.
(2)设展开式中系数最大的项是第r+1项，则整理得
解得≤r≤.因为r∈N，所以r=4，所以展开式中系数最大的项是第5项.
18.解析：(1)因为(1+2x)n=+2x+22x2+…+2nxn，n≥4，n∈N*，
所以a2=4，a3=8，a4=16，则(8)2=2×4×16，解得n=5.
(2)由(1)知n=5，则(1+)n=(1+)5=++()2+()3+()4+()5=a+b，则a=+3+9=76，b=+3+9=44，
从而a+b=120.
19.解析：(1)因为(1+x+x2)3=1+3(x+x2)+3(x+x2)2+(x+x2)3，所以含x4项的系数为=3+=6.
(2)当0(3)(1+x+x2)2 025·(x-1)2 025=(+x+x2+x3+…+x4 049+x4 050)·(x2 025-x2 024+x2 023-…+x-)，
其中含x2 025项的系数为-+-+…+-，
又(1+x+x2)2 025·(x-1)2 025=(x3-1)2 025，所以含x2 025项的系数为=，
所以-+-+…+-=.

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