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第四单元 随机变量及其分布
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 了解条件概率，掌握随机变量的期望方差等求法
命题情境点 生活实践情境：8、11、14题 探索创新情境：19题 课程学习情境：17、18题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地被打破的概率为0.2.第一次落地没有被打破，第二次落地被打破的概率为0.5，则透镜落地2次以内(含2次)被打破的概率是
A.0.1
B.0.2
C.0.6
D.0.7
2.若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为
A.
B.
C.
D.
3.设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X-2|=1)=
A.
B.
C.
D.
4.已知随机变量X~B(2，p)，Y~N(2，σ2)，若P(X≥1)=0.51，P(Y>4)=p，则P(0A.0.4
B.0.1
C.0.3
D.0.2
5.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有5只果蝇的笼子里，不慎混入了三只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：5只果蝇和3只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到三只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件Ak表示“第k只飞出笼的是苍蝇”，k=1，2，…，8，则P(A4|A3)=
A.
B.
C.
D.
6.从分别标有数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的10张卡片中任取2张，组成一个两位数的数字，则该数字可以被3整除的概率是
A.
B.
C.
D.
7.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P()=，P(B)=，P(B+A)=，则P(|A)=
A.
B.
C.
D.
8.现有n(n>2，n∈N*)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k(k=1，2，3，…，n)个袋中有k个红球，n-k个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球(每个取后不放回)，若第三次取出的球为白球的概率是，则n=
A.7
B.8
C.11
D.16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”，B表示事件“医生乙派往①村庄”，C表示事件“医生乙派往②村庄”，则
A.P(A)+P(B)+P(C)=1
B.事件A，B，C最少发生一个
C.事件A与C相互独立
D.P(A|B)=
10.设X是随机变量，那么
A.若X~B，则E(3X-2)=1
B.若X~N(1，σ2)，P(X≤4)=0.77，则P(-2C.若X~N(3，22)，X=2Y-4，则D(Y)=1
D.若X~B，则σ(3X+3)=
11.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列结论正确的是
A.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为
B.第二次抽到1号球的概率为
C.如果第二次抽到的是2号球，那么它来自1号盒子的概率最大
D.若将6个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有540种
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布，即X~C(γ，x0)，其中当γ=1，x0=0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)=.已知X~C(1，0)，P=，P=，则P(|X|≥1)=　　　　.
13.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、5个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于或等于，则x的最大值为　　　　.
14.“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证，“青团”之称大约始于唐代，已有1 000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”.若先从甲箱中任取2个“青团”，随机吃掉一个，剩下另一个放入乙箱中，然后再从乙箱中任取2个“青团”，则取出的这两个“青团”是肉松馅的概率为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润200万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润160万元，求该企业可获利润的分布列.
16.(15分)为增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从甲箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是选择题的概率.
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的恰好是一个选择题和一个填空题的概率.
17.(15分)农历五月初五是我国的传统节日--端午节，为纪念伟大的爱国诗人屈原，民间有吃粽子的习惯，粽子也就成了我们生活中的一种美食.设一盘中装有6个粽子，其中豆粽、肉粽、蛋黄粽各2个，这三种粽子的外观完全相同.小明从中任取3个吃，吃完这3个，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是还没吃到肉粽，就再从剩下的3个中任取1个吃，吃完这个不管是否吃到肉粽都不再吃了.
(1)求小明最后吃到肉粽的概率；
(2)设X表示取到的肉粽个数，求X的分布列与数学期望.
18.(17分)高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关.为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
时间x/(小时/周) 0 01
人数 10 40 30 20
(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取3名进行详细调查，求这3名学生中恰有两人阅读时间大于1小时，另一人阅读时间大于0.5小时的概率；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取13名学生，用P(X=k)表示这13名学生中恰有k(k∈N，0≤k≤13)名学生数学阅读时间不超过1小时的概率，求P(X=k)取最大值时对应的k的值.
19.(17分)从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2，…，7.
(1)求第一次摸到红球的条件下第二次摸到蓝球的概率.
(2)记P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.
①证明：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).
②求P(A4).
【参考答案】
1.C　解析：恰在第一次落地被打破的概率为P1=0.2，恰在第二次落地被打破的概率为P2=0.8×0.5=0.4，则落地2次以内被打破的概率P=P1+P2=0.6.
2.A　解析：连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为=.
3.B　解析：由+m++=1，解得m=，P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=+=.
4.D　解析：∵随机变量服从X~B(2，p)，∴P(X≥1)=1-(1-p)2=0.51，解得p=0.3，
P(04)=0.2.
5.A　解析：由题意得P(A3)==，P(A3A4)==，P(A4|A3)==.
6.D　解析：能被3整除的个位数可以为0，3，6，9，余数为1的为1，4，7，余数为2的为2，5，8，故概率P==.
7.B　解析：事件B与A互斥，则P(B+A)=P(B)+P(A)，P(B)=P(B)+P(AB)，P(A)+P(B)=2P(AB)+P(B)+P(A)，则P(AB)==P(A)P(B)，A与B是相互独立的，P(|A)==.
8.C解析：设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为n(n-1)(n-2)，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2)；红白白，取法数为k(n-k)(n-k-1)；
白红白，取法数为(n-k)k(n-k-1)；红红白，取法数为k(k-1)(n-k).
所以第三次取出的是白球的总情形数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2)+2k(n-k)(n-k-1)+k(k-1)(n-k)=(n-1)(n-2)(n-k)，
则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率为Pk==.
因为选取第k个袋子的概率为，所以任选袋子取第三个球是白球的概率为P=×=，当P==时，n=11.
9.AD　解析：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有=36个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为+=12，则P(A)==，同理，P(B)=P(C)=，故P(A)+P(B)+P(C)=1，A项正确；当甲去②，乙去③，丙、丁去①时，事件A，B，C都没发生，故B项错误；事件AB含有的基本事件数为=2，则P(AB)==，事件AC含有的基本事件数为+=5，则P(AC)=，P(A)P(C)=≠P(AC)，即事件A与C相互不独立，C项错误；P(A|B)==，D项正确.
10.AC　解析：因为X~B，所以E(X)=np=4×=1，所以E(3X-2)=3E(X)-2=1，所以A项正确；P(X≤4)=0.77，则P(-211.BCD　解析：记第一次抽到第i号球的事件分别为Ai(i=1，2，3)，则有P(A1)=，P(A2)=P(A3)=，在第一次抽到3号球的条件下，则3号球放入3号盒子内，因此第二次抽到2号球的概率P==，A项不正确；记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为Bi(i=1，2，3)，而A1，A2，A3两两互斥，和为Ω，P(B1|A1)=，P(B2|A2)=，P(B3|A3)=，记第二次抽到1号球的事件为B，P(B)=P(AiBi)=[P(Ai)·P(Bi|Ai)]=×+×+×=，B项正确；记第二次在第i号盒内抽到2号球的事件分别为Ci(i=1，2，3)，则P(C1A1)=×=，P(C2A2)=×=，P(C3A3)=×=，根据贝叶斯公式，分母相同，则分子P(C1|A1)最大，即第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大，C项正确；把6个不同的小球分成3组的不同分组方法数是++=90，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中，有种不同的放法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是×=540，D项正确.
12.　解析：函数f(x)=的图象关于y轴对称，由P=可知，P=，且P=，则P(X≥1)=--=，所以P(|X|≥1)=2×=.
13.5　解析：设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为A1，A2，A3，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=≥，解得x≤，则x的最大值为5.
14.　解析：设事件A为“从乙箱中任取2个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅”，
事件B1为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”，
事件B2为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”，
事件B3为“从甲箱中取出的2个‘青团’1个为蛋黄馅1个为肉松馅”，
则B1，B2，B3彼此互斥.
P(B1)===，P(B2)===，P(B3)===，
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+××=，所以取出的这个“青团”是肉松馅的概率为.
15.解析：(1)H={至少有一种新产品研发成功}，则所求的概率为P(H)=1-=.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，160，200，360，
所以P(X=0)=1-=，P(X=160)=×=，
P(X=200)=×=，P(X=360)=×=.
故所求的分布列为
X 0 160 200 360
P
16.解析：(1)从甲箱中依次抽取两道题，第2题是选择题的概率为p1=×+×=.
(2)设事件A为“第三支部从乙箱中取出1个选择题”，
事件B1为“第二支部从甲箱中取出的2个题都是选择题”，
事件B2为“第二支部从甲箱中取出1个选择题和1个填空题”，
事件B3为“第二支部从甲箱中取出的2个题都是填空题”，
则B1，B2，B3彼此互斥，且B1∪B2∪B3=Ω，P(B1)==，P(B2)==，P(B3)==，P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=，
P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2)+P(B3)×P(A|B3)=×+×+×=，
所求概率即是A发生的条件下B2发生的概率，即P(B2|A)====.
17.解析：(1)小明吃到肉粽的概率为+×=.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，则P(X=0)==，P(X=1)=+×=，P(X=2)==.故X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
18.解析：(1)抽取的10人中，阅读时间不大于0.5小时的有5人，大于1小时的有2人，在0.5到1小时的有3人，故这3名学生中恰有两人阅读时间大于1小时，另一人阅读时间大于0.5小时的概率为=.
(2)阅读时间不超过1小时的频率为，故概率为，则k~B，所以P(k)=，
由得化简得
解得10.2≤k≤11.2，又k∈Z，故k=11.
19.解析：(1)第一次摸到红球后，还剩下2个红球和4个蓝球，此时再摸到蓝球的概率为，故第一次摸到红球的条件下第二次摸到蓝球的概率为.
(2)①由条件概率乘法公式P(A3|A1A2)=，可得P(A1A2A3)=P(A1A2)·P(A3|A1A2)，
由P(A2|A1)=，可得P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)，所以P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).
②P(A4)=×××+3××+3××+×××=.

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