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大单元综合测试(二)：第七章~第八章
(120分钟 150分)
【命题视点】
单元大任务 熟知变量概率的求法，了解线性回归方程的求法和变量相关性的判断
命题情境点 生活实践情境：2、4、6、17题 探索创新情境：11、14题 课程学习情境：18、19题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设A，B为两个事件，若P(A∩B)=，P(A)=，则P(B|A)=
A.
B.
C.
D.
2.为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了160名学生，得到如下2×2列联表：
男 女 总计
爱好 a b 70
不爱好 c 40
总计 60
则a-b-c=
A.-100
B.-60
C.60
D.100
3.若ξ~B(n，p)，且E(ξ)=6，D(ξ)=4，则p=
A.
B.
C.
D.
4.某艺术馆为了研究学生喜欢国画和性别之间的联系，随机抽取120名学生进行调查(其中有男生90名，女生30名)，并绘制等高条形图，则这120名学生中喜欢国画的人数为
A.94
B.90
C.68
D.58
5.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是
A.r1B.r2>r4
C.|r2|>|r4|
D.|r1|<|r3|
6.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等.这4场比赛结束后，该班胜场多于负场的概率为
A.
B.
C.
D.
7.在研究某高中高三年级学生是否喜欢某学科与性别的关系时，总共调查了N位学生(N=100m，m∈N*)，其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢，女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢.若有99%把握认为是否喜欢该学科与性别有关(附：当χ2>6.635 时，则有99%的把握判断两变量有关联)，则可以推测N的最小值为
A.400
B.300
C.200
D.100
8.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位长度的概率都为.设移动n次后质点位于位置Xn，则P(X5=1)=
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以A1，A2和A3表示从甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件，再从乙盒子中随机取出一球，以B表示从乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是
A.P(B)=
B.事件B与事件A3相互独立
C.P(B|A1)=
D.P(A1|B)=
10.下列选项正确的是
A.已知随机变量X服从二项分布B，则D(2X)=2
B.口袋中有大小相同的3个红球、4个蓝球和5个黑球，从中任取四个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)=1
C.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在8次射击中，最有可能击中的次数是7次
D.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=，P(B)=，P(A+)=，则P(B|A)=
11.抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x，y)表示一次试验的结果.定义事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论正确的是
A.A与B对立
B.P(A)=
C.P(B|C)=
D.A与C相互独立
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ 5 6 7 8
P 0.14 0.16 0.5 0.2
记“函数f(x)=x2-13x+12在区间[ξ，+∞)上单调递增”为事件A，则事件A的概率是　　　　.
13.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ≤-0.9)=0.15，则P(|ξ|≤0.9)=　　　　.
14.已知在一次英语口语考试中，有10道备选的试题，某考生能答对其中的7道试题.规定每次考试都需从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算及格，则该考生及格的概率为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)为增强学生体质以及展示当代青少年积极向上的精神风貌，某学校在校内新开设羽毛球课和篮球课，且每名同学只选一门课.为了研究学生所选的课程是否与性别有关，现随机抽取了高一年级200名学生的选课情况(其中男生80人，女生120人).
(1)完成下面的2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验判断是否认为学生所选的课程与性别有关，并说明理由.
篮球 羽毛球 合计
男 48
女 80
合计
(2)从上述120名女生中按选羽毛球课和选篮球课进行分层随机抽样，抽取6人，再从这6人中任取2人，求至少有1人选择了篮球课的概率.
附：
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.010
k 2.706 3.841 6.635
16.(15分)某书店销售刚刚上市的某高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：
单价x/元 18 19 20 21 22
销量y/册 61 56 50 48 45
(1)求试销5天的销量的平均值和y关于x的经验回归方程.
附：==，=-.
17.(15分)为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动--反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩/分 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 2 4 22 40 28 4
(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表).
(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本成绩的平均分，σ2近似为样本成绩的方差s2.若X>55，参赛居民可获得“参赛纪念证书”.若该社区有5 000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数(结果保留整数).
附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ18.(17分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为了估计林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树根部的横截面积和材积量，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得到=0.038 ，=1.615 8，xiyi=0.247 4.
附：相关系数r=，≈1.377 .
(1)若在样本中随机抽取两棵，求这两棵树木根部的横截面积都不小于0.05的概率；
(2)求该林区这种树木根部的横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木根部的横截面积，并得到所有这种树木根部的横截面积总和为100 m2，已知树木的材积量与其根部的横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
19.(17分)某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是精品果或礼品果的概率.
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1，不分类卖出，单价为21元/kg.
方案2，分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价/(元/kg) 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及方差D(X).
【参考答案】
1.D　解析：P(B|A)==.
2.A解析：根据题意，2×2列联表如下：
男 女 合计
爱好 10 60 70
不爱好 50 40 90
合计 60 100 160
∴a-b-c=10-60-50=-100.
3.C　解析：由E(ξ)=np=6，D(ξ)=np(1-p)=4，得p=.
4.B解析：由等高条形图可知，这120名学生中喜欢国画的人数为0.8×90+0.6×30=90.
5.C　解析：r1，r3都是正线性相关，并且相关性r1最强，所以r1>r3>0，r2，r4都是负线性相关，并且r2相关性强，所以|r2|>|r4|，所以r26.A　解析：若胜一场，则其余为平，共有=4(种)情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有+=18(种)情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有×2=8种情况；若胜四场，则只有1种情况.综上，共有31种情况，而总情况共有3×3×3×3=81，故概率为.
7.C解析：由题意可知，男女各50m人，列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男 30m 20m 50m
女 20m 30m 50m
合计 50m 50m 100m
χ2==4m，∵有99%把握认为是否喜欢该学科与性别有关，
∴4m>6.635，m为整数，故m最小值为2，N的最小值为200.
8.D　解析：设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则Y~B，X5=1，则表示5次移动中有3次向右移动，2次向左移动，
故P(X5=1)==.
9.AD　解析：P(A1)==，P(A2)==，P(A3)=.又P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=，故C项错误；P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=×+×+×=，故A项正确；P(B)P(A3)=×=，P(BA3)=P(B|A3)P(A3)=×=，故P(B)P(A3)≠P(BA3)，所以事件B与事件A3不相互独立，故B项错误；P(A1|B)==，故D项正确.
10.BC　解析：对于A项，X~B，D(X)=4××=1，D(2X)=4D(X)=4，故A项不正确；
对于B项，X服从超几何分布，所以E(X)=4×=1，故B项正确；
对于C项，设最有可能击中k次，根据计算公式可得6.2=np+p-1≤k≤np+p=7.2，即k=7，C项正确；
对于D项，P(A+)=P(A)+P()-P(A)=+-P(A)=，则P(A)=，P(B|A)=1-P(|A)=1-=1-=，故D项不正确.
11.BD解析：对于A，若x+y为奇数，则x和y一个为奇数，一个为偶数，若xy为奇数，则x和y都为奇数，所以事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，但事件A与事件B也可能同时不发生，例如x=2，y=2，所以事件A与事件B不对立，故A项错误；
根据所有可能结果，得P(A)==，B项正确；显然，P(C)=，P(BC)==，所以P(B|C)==，故C项错误；由上述可知，P(A)=，P(C)=，P(AC)==，所以P(A)·P(C)==P(AC)，所以A与C相互独立，故D项正确.
12.0.7　解析：易知函数f(x)=x2-13x+12在区间[6.5，+∞)上单调递增，所以ξ≥6.5，即所求事件A的概率P(A)=P(ξ≥6.5)=P(ξ=7)+P(ξ=8)=0.7.
13.0.7解析：由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ≤-0.9)=0.15，得P(|ξ|≤0.9)=1-2P(ξ≤-0.9)=1-2×0.15=0.7.
14.　解析：令正确回答的题数为随机变量X，则该考生及格的概率为P(X≥2)，P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
15.解析：(1)2×2列联表如下：
篮球 羽毛球 合计
男 48 32 80
女 40 80 120
合计 88 112 200
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2==≈13.853.
因为13.853>6.635，所以我们可以认为学生所选的课程与性别有关.
(2)因为从女生中用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，得到的这6人中选篮球课的人数为2，所以选取的2人中至少有1人选择了篮球课的概率为1-=.
16.解析：(1)==20，==52，∴(xi-)(yi-)=-40，(xi-)2=10，
==-4，=-=52+20×4=132，故y关于x的回归直线方程为=-4x+132.
(2)获得的利润z=(x-12)y=(x-12)(-4x+132)，即z=-4x2+180x-1 584.
二次函数z=-4x2+180x-1 584的图象开口向下，∴当x==22.5时，z取最大值，
∴当单价定为22.5元时，可获得最大利润.
17.解析：(1)100名居民本次竞赛成绩的平均分=45×+55×+65×+75×+85×+95×=75，
100名居民本次竞赛成绩的方差s2=(45-75)2×+(55-75)2×+(65-75)2×
+(75-75)2×+(85-75)2×+(95-75)2×=100.
(2)因为μ近似为样本成绩的平均分，σ2近似为样本成绩的方差s2，
所以μ=75，σ2=100，可知σ==10.
由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，55=μ-2σ，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率P(μ-2σ故估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为4886.
18.解析：(1)依题意，样本中共有8棵树木根部的横截面积不小于0.05，故随机抽取两棵，这两棵树木根部的横截面积都不小于0.05的概率P==.
(2)r====≈≈0.97，
则r≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树木的材积量与其根部的横截面积近似成正比，可得=，解得Y=650 m3，则该林区这种树木的总材积量估计为650 m3.
19.解析：(1)记“从这100个水果中随机抽取1个，这个水果是精品果或礼品果”为事件A，则P(A)==.从这100个水果中有放回地随机抽取3个，设抽取的精品果或礼品果的个数为Y，则Y~B，故恰好有2个水果是精品果或礼品果的概率P(Y=2)=××=.
(2)方案2，每公斤的单价=16×+18×+22×+24×=20.6元，
∵21>20.6，∴从采购商的角度考虑，应该采用第2种方案.
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，则标准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数分别为1，3，4，2，即4个精品果，6个非精品果.
由题意可得，X的可能取值有0，1，2，3，
则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
则E(X)=0×+1×+2×+3×=，D(X)=×+×+×+×=.

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