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第十三章 三角形单元测试卷
一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　）
A．B．C． D．
2．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状
3．用长度分别为4，m，7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（　　）
A．12 B．11 C．4 D．3
4．如图，已知，平分，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　）
A．38 B．39 C．40 D．41
6．在中，、、的对边分别是、、，下列条件能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，
7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　）
A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm
8．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝α，∠MAC＝β，∠ADC＝γ，则α，β，γ三者间的数量关系是（　　）
A．β＝α+γ B．β＝2α﹣2γ C．β＝α+2γ D．β＝2γ﹣α
10．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2026，则∠A2026的度数是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为 ．
12．如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ．
13．用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ．
14．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝______ ．
15．如图，是的中线，是的中线，已知，则的面积是 ．
16．如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝______ °．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）在△ABC中，
（1）若∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A的度数；
（2）若△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，求∠A的度数．
18．（6分）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容一一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
21．（8分）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC．
（1）∠1、∠2、∠A的大小关系是：　 　 ＞　 　 ＞　 　 ；
（2）若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解．
思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数． 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数．
22．（12分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）；
②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明．
23．（14分）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．
24．（14分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F．
（1）【问题呈现】
如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数；
（2）【问题推广】
如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数；
（3）【问题拓展】
若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP＝α，∠ACB＝β．射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α，β的式子表示）．
第1页（共1页）第十三章 三角形单元测试卷
一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，
故选：C．
2．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键．
根据钝角三角形的定义作答即可．
【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形．
故选：C．
3．用长度分别为4，m，7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（　　）
A．12 B．11 C．4 D．3
【答案】C
【解答】解：由题意得7﹣4＜m＜7+4，
解得3＜m＜11，
故m可能的值是4，
故选：C．
4．如图，已知，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
5．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　）
A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】A
【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，
∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，
∵∠AEO+∠BEO＝180°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，
∴∠ADE+∠BFE＝128°，
∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，
即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，
∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，
∴∠A+∠B＝142°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．
故选：A．
6．在中，、、的对边分别是、、，下列条件能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理逆定理及三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理及三角形内角和进行计算，逐项判断即可．
【详解】A、∵，
∴，
∴是直角三角形，符合题意；
B、∵，且，
∴，，∠，
∴不是直角三角形，不符合题意；
C、∵，设
∴，
∴，
∴不是直角三角形，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　）
A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm
【答案】C
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：28﹣6＝22（cm）．
故选：C．
8．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝α，∠MAC＝β，∠ADC＝γ，则α，β，γ三者间的数量关系是（　　）
A．β＝α+γ B．β＝2α﹣2γ C．β＝α+2γ D．β＝2γ﹣α
【答案】D
【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝α，
∴∠B＝∠EFC＝α，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB＝2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD，
∵∠ADC＝γ，
∴∠BCD＝γ﹣α，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵∠MAC＝β，
∴β＝α+2（γ﹣α），
即β＝2γ﹣α，
故选：D．
10．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2026，则∠A2026的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴，，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴，
∴，
∵∠A＝α，
∴；
同理可得，， ，
∴，
∴，
故选：C．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键．
根据等腰三角形的定义分类讨论即可．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和10，
当腰长是，底边长为时，
∵，
∴不能构成等腰三角形；
当腰长是，底边长是时，
∵，
∴符合等腰三角形的定义，
∴这个等腰三角形的周长为，
故答案为：24 ．
12．如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ．
【答案】/122度
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵、分别平分、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．根据三角形的周长和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：∵细铁丝的长度为，即三角形的周长为，
∵，
∴a是这个三角形最长的边，
由三角形三边的关系，得，而，
∴，
解得，，
∵a、b、c为整数，
∴a最大可取6．
故答案为：6．
14．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　9°　 ．
【答案】9°．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD∠BAC＝35°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°，
故答案为：9°．
15．如图，是的中线，是的中线，已知，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的中线把三角形面积平分的性质．由于是的中线，那么和的面积相等，又因为是的中线，由此得到和面积相等，而，由此即可求出的面积．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
而，
∴．
故答案为：．
16．如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　35　 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，
由折叠的性质可得∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED，
∵∠A＝75°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣325°＝35°．
故答案为：35．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）在△ABC中，
（1）若∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A的度数；
（2）若△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，求∠A的度数．
【答案】（1）60°；
（2）30°或75°或120°．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，
∴∠A＝20°+∠B，
∴20°+∠B+∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝40°，
∴∠A＝20°+∠B＝60°；
（2）∵△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当∠A为该等腰三角形的底角时，又有以下两种情况：
①当∠B＝30°是该等腰三角形的底角时，则∠A＝∠B＝30°；
②当∠B＝30°是该等腰三角形的顶角时，则∠A＝∠C，
∴∠A+∠C+∠B＝180°，
∴2∠A+30°＝180°，
∴∠A＝75°，
（ⅱ）当∠A为顶角时，则∠B＝∠C＝30°是该等腰三角形的底角，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠A+30°+30°＝180°，
∴∠A＝120°，
综上所述：∠A的度数是30°或75°或120°．
18．（6分）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容一一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【答案】见解析．
【解答】解：过A作DE∥BC，
∴∠EAC＝∠C，∠DAB＝∠B，
又∠EAC+∠BAC+∠DAB＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠1，
∵∠1＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC；
（2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝34°，
∴∠B＝∠DFE＝34°，
在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝34°，
∴∠ACB＝180°﹣36°﹣34°＝110°，
∵CD平分∠ACB，
，
∴∠2＝180°﹣36°﹣55°＝89°．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【答案】（1）72°；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
21．（8分）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC．
（1）∠1、∠2、∠A的大小关系是：　 　 ＞　 　 ＞　 　 ；
（2）若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解．
思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数． 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数．
【答案】（1）∠1，∠2，∠A；
（2）∠1＝132°．
【解答】解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BPC是△CDP的外角，
∴∠2＝∠3+∠A，∠1＝∠2+∠4，
又∵∠3＞0，∠4＞0，
∴∠1＞∠2＞∠A．
故答案为：∠1，∠2，∠A；
（2）（思路一）在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4＝180°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠A﹣∠3﹣∠4＝180°﹣67°﹣25°﹣40°＝48°．
在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠1＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣48°＝132°；
（思路二）∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠2＝∠3+∠A＝25°+67°＝92°，
∵∠BPC是△CDP的外角，
∴∠1＝∠2+∠4＝92°+40°＝132°．
22．（12分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）；
②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①26°；②∠P，证明见解析过程．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB．
同理可得，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）①解：由（1）知，
∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D，
∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P．
又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD，
即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P，
∴∠P．
又∵∠B＝36°，∠D＝16°，
∴∠P．
②∠P，证明如下：
由（1）知，
∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D，
∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P．
又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD，
即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P，
∴∠P．
23．（14分）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．
【答案】（1）60°；
（2）βα．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°，
∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，
又∵∠BDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠BAD＝60°；
（2）如图2：
过点A作AG∥BC，
则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，
则∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β∠ABC＝βα．
24．（14分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F．
（1）【问题呈现】
如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数；
（2）【问题推广】
如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数；
（3）【问题拓展】
若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP＝α，∠ACB＝β．射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α，β的式子表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在△ABC中，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB，
∴2∠FBC+2∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠FBC+∠FCB（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∵∠BFD是△FBC的一个外角，
∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝90°∠A；
∵∠A＝100°，
∴∠BFD＝90°100°＝40°；
（2）∵∠AMF＝180°﹣∠1，∠ANF＝180°﹣∠2，∠1+∠2＝160°，
∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°，
由折叠性质得：∠AMF＝2∠AMN，∠ANF＝2∠ANM，
∴2∠AMN+2∠ANM＝∠AMF+∠ANF＝200°，
∴∠AMN+∠ANM＝100°，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝80°，
由（1）得：∠BFD＝90°﹣1/2∠A，
∴∠BFD＝90°80°＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFD＝130°；
（3）∵P，Q分别是线段AB，AC上的点，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H，
∴有以下两种情况：
①射线CF与∠APQ的平分线相交于点H，设射线PH交AC于K，如图1所示：
由（1）得：∠BFH＝90°∠A，
∴∠BFD＝180°﹣∠BFH＝90°∠A，
∵CF平分∠ACB，PH平分∠APQ，∠ACB＝β，
∴∠ACH∠ACBβ，∠APK∠APQ，
∵∠APQ＝180°﹣∠A﹣∠AQP＝180°﹣∠A﹣α，
∴∠APK＝∠APQ＝90°∠A﹣1/2α，
∵∠1＝∠APK+∠A
∴∠1＝90°∠Aα+∠A＝90°∠Aα，
即∠1＝∠BFCα，
∵∠PHC＝∠1+∠ACH，
∴∠PHC＝∠BFCαβ，
∴∠PHC﹣∠BFCβα；
②射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H时，设射线PH交AC于K，如图2所示：
同理：∠1＝∠BFDα，
在△KHC中，∠PHC＝180°﹣∠1﹣∠ACH＝180°﹣（∠BFCα）β
∴∠PHC+∠BFC＝180°αβ．
综上所述：∠PHC与∠BFC之间的数量关系是：∠PHC﹣∠BFCβα或∠PHC+∠BFC＝180°αβ．
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