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6.4.3　 第1课时　余弦定理
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝，b＝4，c＝5，则a＝(　　)
A.6 B.7
C.8 D.4
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝(　　)
A. B.
C. D.
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝，则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
5.(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值可以为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
6.(多选)在△ABC中，a，b，c为三个内角A，B，C的对边，若tan B＝ac，则角B＝(　　)
A.30° B.60°
C.150° D.120°
7.(数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边的长度为　　　　.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2－c2＝2a2，cos B＝－，则＝　　　　.
9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝　　　　.
10.(13分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.A＝30°的三角形
12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，b＝6，c＝4，则中线AD的长为(　　)
A.2 B.2
C. D.
13.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是　　　.
14.(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)证明：acos B＋bcos A＝c；
(2)若a＝7，b＝5，＝.求△ABC的周长.
15.(5分)(双空题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝，a＝7，b＝5，若BC边上有一点D满足BD＝2DC，则c＝　　　　，AD＝　　　　.
16.(17分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A为钝角，b＝2，cos 2A＋(4＋)sin (B＋C)＝2＋1，点P是△ABC的重心，且AP＝，求a的值.
6.4.3　 第1课时　余弦定理
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案：A
解析：由余弦定理得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝，故a2＋c2＝b2，所以△ABC为直角三角形，A＝30°.故选A.
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝，b＝4，c＝5，则a＝(　　)
A.6 B.7
C.8 D.4
答案：B
解析：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋52－2×a×5×＝(4)2，即a2－6a－7＝0，解得a＝7或a＝－1(舍去).故选B.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，所以a2＝c2＋b2＋bc，根据余弦定理a2＝c2＋b2－2bccos A，得cos A＝－.又因为A∈(0，π)，所以A＝.故选D.
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝，则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案：B
解析：根据余弦定理的推论得bcos C＋ccos B＝b×＋c×＝＋＝a＝，所以a2＝b2＋c2，则A＝，故△ABC为直角三角形，无法判断是不是等腰三角形.故选B.
5.(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值可以为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
答案：BD
解析：由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.故选BD.
6.(多选)在△ABC中，a，b，c为三个内角A，B，C的对边，若tan B＝ac，则角B＝(　　)
A.30° B.60°
C.150° D.120°
答案：BD
解析：由题得tan B＝，根据余弦定理可知cos Btan B＝sin B＝，所以B＝60°或B＝120°.故选BD.
7.(数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边的长度为　　　　.
答案：2
解析：设“圭田”的底边的长度为x，则由余弦定理可得x2＝42＋42－2×4×4×＝8，解得x＝2(负值舍去)，即该“圭田”的底边的长度为2.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2－c2＝2a2，cos B＝－，则＝　　　　.
答案：2
解析：由b2－c2＝2a2及余弦定理的推论，得cos B＝＝＝＝－，所以＝2.
9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝　　　　.
答案：
解析：由题意得，a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.
10.(13分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
解：(1)因为cos A＝2cos2－1，
又2cos2＋cos A＝0，
所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－，
又0°＜A＜180°，
所以A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.A＝30°的三角形
答案：A
解析：因为sin2＝，所以＝－，所以cos A＝.由余弦定理的推论可得＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，又无法判断是不是等腰三角形，且无法判断A的大小.故选A.
12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，b＝6，c＝4，则中线AD的长为(　　)
A.2 B.2
C. D.
答案：D
解析：根据题意，如图所示，在△ABD和△ADC中由余弦定理得：AB2＝AD2＋DB2－2AD·DBcos ∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos ∠ADC.又cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，DB＝DC，两式相加得AB2＋AC2＝2AD2＋DB2＋DC2，即42＋62＝2AD2＋42＋42，所以2AD2＝20，所以AD＝.即△ABC的中线AD的长为.故选D.
13.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是　　　.
答案：(，5)
解析：因为b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，所以cos A＝＞0，且cos C＝＞0，所以7＜a2＜25，所以 ＜a＜5.
14.(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)证明：acos B＋bcos A＝c；
(2)若a＝7，b＝5，＝.求△ABC的周长.
解：(1)证明：由题意得acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝c，所以acos B＋bcos A＝c，得证.
(2)因为＝，所以2ccos A＝bcos A＋acos B，
结合(1)可知，2ccos A＝c，即cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝25＋c2－10c×，即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20.
15.(5分)(双空题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝，a＝7，b＝5，若BC边上有一点D满足BD＝2DC，则c＝　　　　，AD＝　　　　.
答案：8　
解析：如图所示，
在△ABC中，由余弦定理得72＝52＋c2－2×5×c×，化简得c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，所以cos B＝＝＝.又BD＝2DC，所以BD＝a＝.在△ABD中，由余弦定理得AD2＝＋64－2××8×＝，解得AD＝(负值舍去).
16.(17分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A为钝角，b＝2，cos 2A＋(4＋)sin (B＋C)＝2＋1，点P是△ABC的重心，且AP＝，求a的值.
解：在△ABC中，由cos 2A＋(4＋)sin (B＋C)＝2＋1，得1－2sin2A＋(4＋)sin A＝2＋1，整理得2sin2A－(4＋)sin A＋2＝0.
又0＜sin A≤1，所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
由点P是△ABC的重心，得＝＋)，则＝＋＋2｜｜·｜｜cos ∠BAC)＝×＝×(c2＋4－2c)＝，所以c2－2c－24＝0.
而c＞0，所以c＝6，由余弦定理得a＝＝2.

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