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九年级数学
作答时间:120分钟　　　试题满分:120分
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在下表中)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列常见的物理单位符号中,是中心对称图形的是
A. B. C. D.
2.下列变量具有二次函数关系的是
A.圆的周长与半径 B.正三角形的周长与边长
C.正方形的面积与边长 D.路程一定,速度与时间
3.已知关于的方程有两个相等的实数根,且,则的值是
A.24 B.6 C.18 D.12
4.山西部分煤矿装备企业针对矿山井下巡检、危险作业场景,开发防爆型人形机器人原型,面向能源行业特种作业场景.某装备制造车间7月份防爆机器人产能为500台,9月份产能提升至720台.设从7月份到9月份,该车间防爆机器人产能的平均月增长率为,根据题意可得方程
A.
B.
C.
D.
5.某物理小组探究电热水壶的功率(单位:千瓦)与烧开一壶水所需的时间(单位:分钟)之间的关系,在电压恒定、水量相同的条件下,记录了4个不同功率的电热水壶的实验数据如下:
功率/千瓦 1.0 1.6 2.0 2.5
时间/分钟 20 12.5 10 8
经分析,与之间满足某种函数关系,则与之间的函数关系式为
A. B. C. D.
6.如图,这是反比例函数的一部分图象,已知是图象上任意一点,过点作轴,垂足为,的面积是3,则的值是
A. B.6 C.3 D.2
7.如图,在某学校秋季运动会排练时,无人机进行高空展示.无人机操作员将其飞行轨迹设计为抛物线的一部分,其中为飞行高度(单位:米),为水平距离(单位:米).已知无人机从地面原点处起飞,且飞行过程中的最大高度为25米,则该抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
8.已知点,,都在函数的图象上,则,,的大小关系是
A. B. C. D.
9.如图,在平面直角坐标系中,的一个顶点在坐标原点上,点在轴正半轴上,点在第一象限内.已知,.将绕点逆时针旋转得到,则点的坐标是
A. B.
C. D.
10.如图,点在双曲线上,过点作轴,垂足为,线段的垂直平分线交于点,,则的周长为
A.4 B. C. D.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.下面是小刚发送给AI的一段话,AI在深度思考后,给出高度的值是______.
竖直上抛一个物体,物体的高度(单位:米)与物体抛出后的时间(单位:秒)的关系式为.求物体被抛出3秒后的高度的值.
12.如图,绕点逆时针旋转,得到,若,则的度数为______.
13.如图,某车载烧水杯在20 ℃时开启速热档,水温每分钟上升20 ℃,直至100 ℃时停止加热,此后水温开始下降.水温下降时,水温(单位:℃)与通电时间(单位:min)满足关系式.若从杯内水温20 ℃时开始通电16 min,则此时杯内的水温为______℃.
14.某文创店销售晋侯鸟尊文创盲盒,每个的成本为40元.当售价定为70元时,每月可售出2 000件.经市场调研发现,售价每提高2元,月销量就会减少50件.若该文创店希望每月通过销售该盲盒获得70 000元的利润,设此时的售价为元,则可列方程:______
15.如图,在四边形中,,点在四边形的内部,且,,将绕点顺时针旋转至,连接.若,,则的长为______.
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
解方程:(1);
(2).
17.(本题7分)如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,,.
(1)画出与关于原点对称的.
(2)画出绕原点逆时针旋转后的,并写出点的坐标.
18.(本题9分)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,与轴交于点,与轴交于点.
(1)求与的值.
(2)为轴上的一动点,当的面积为2时,求的值.
19.(本题7分)2026年是中国工农红军长征胜利90周年.某文化墙要制作一块红色主题喷绘展板,正中央印制长征主题主画面,四周空白,要求主画面的长是70厘米,宽是60厘米,且主画面到展板四周的宽度相同,主画面的面积是这个展板面积的,求展板空白部分的宽度.
20.(本题8分)【项目主题】吕梁沙棘汁礼盒销售利润优化问题
【项目背景】
吕梁沙棘是山西山地特色经济作物.某涉农企业为助力乡村振兴,生产了一款沙棘汁礼盒,每套礼盒的生产成本为30元.为实现日均利润最大化,企业开展了市场调研,收集了销售单价与日均销量的相关数据.
【信息收集】
礼盒的销售单价(单位:元)与日均销量(单位:盒)之间存在某种函数关系,调研数据如下表:
销售单价/元 40 42 44 45 50
日均销量/盒 200 180 160 150 100
【建立模型】
(1)根据表格数据填空:日均销量是销售单价的______函数(选填“一次”或“反比例”),与之间的函数关系式为______.
【问题解决】
(2)设该企业的日均销售利润为(单位:元).
①求与之间的函数关系式.
②若企业规定销售单价不得低于成本价,且不得超过50元,请问:当销售单价定为多少元时,日均销售利润最大 最大利润是多少
21.(本题8分)阅读与理解
类比探究高次方程根与系数的关系
【知识回顾】
我们学习一元二次方程时,既可以运用求根公式求解,也可以借助因式分解研究方程的根.
【方法导引】
对于一元二次方程,若它的两个实数根为,,由因式分解可得:
将右侧展开:
对比左右两边多项式对应项的系数,就得到一元二次方程根与系数的关系:
,
【类比迁移】
类比上面的思路,我们可以研究一元三次方程.若一元三次方程有三个实数根,,,则多项式可以因式分解为:
类比一元二次方程的方法导引,把右边展开整理,对比左右两边多项式对应项的系数,就得到一元三次方程根与系数的关系:
……
任务:
(1)已知一元三次方程的三个根是1,2,3,请直接填空:______,______,______.
(2)补全【类比迁移】中的推导过程.
22.(本题13分)综合与实践
【问题情境】为探究两类不同质量的文旅短视频的播放效果,新媒体科技团队选取两类基础质量不同的短视频开展研究.研究发现,在精品类、普通类两种短视频中,视频的完播量(单位:万次)与推广资源投放档位(单位:档)的关系可近似用下图中的两条抛物线描述,其中且为整数.设精品类短视频完播量为(单位:万次),普通类短视频完播量为(单位:万次).已知点,,均在描述与关系的抛物线上.
【建立模型】
(1)求精品类短视频完播量关于的函数关系式.
【应用分析】
(2)普通类短视频完播量与之间的函数关系式为.
①若两类短视频分配的推广档位数相等,即均投放档,当普通类短视频完播量最大时,求此时的投放档位以及此时两类视频完播量的差.
②若给精品类短视频、普通类短视频分配总共21档的推广资源,其中精品类短视频投放档,普通类短视频投放档,请直接写出两类视频完播量总和的最大值.
23.(本题13分)综合与探究
【问题情景】
如图1,在Rt,,,,分别为,的中点,点在线段上运动(点不与端点,重合),将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,.
【推理证明】
(1)求证:.
【拓展延伸】
(2)如图2,连接,,交于点.
①点在线段上运动的过程中,判断与的位置关系,并说明理由.
②若,点在线段上运动的过程中,当为等腰三角形时,直接写出线段的长.
九年级数学参考答案
1.C 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.A 9.B
10.D 提示:∵点在双曲线上,
∵,
∵,,则.
∵线段的垂直平分线交于点,
∴.
在Rt中,,,
则,
即,
解得(负值已舍去),
∴的周长为.
11. 0 12. 35 13. 25 14.
15. 提示:如图,过点作,交的延长线于点,
则,,.
∵,.
∵,,,
∴,,即,
∴,,
∴,,
∴.
∵,,
∴,.
在和中,
∴(SAS),∴.
16.(1)解:,
,,.
∴,
∴, 3分
∴,. 5分
(2)解:, 1分
, 3分
∴或, 4分
∴,. 5分
17.解:(1)如图1所示. 3分
(2)如图2所示. 6分
点的坐标为. 7分
18.解:(1)把代入,得,
∴,
∴一次函数的解析式为.
把代入,得,
∴.
把代入,得,
∴的值为,的值为. 4分
(2)当时,,
∴.
∵为轴上的一动点,
∴,
∴,
.
∵,
∴,
∴或,
∴或. 9分
19.解:设展板空白部分的宽度是厘米. 1分
由题意,得, 4分
解得,(舍去). 6分
答:展板空白部分的宽度是5厘米. 7分
20.解:(1)一次;. 2分
(2)①根据题意,得,
即.
②关于的二次函数图象开口向下,对称轴为直线,
∴当时,可以取得最大值,最大值为2 250,
答:当销售单价定为45元时,日均销售利润最大,最大利润是2 250元. 8分
21.解:(1)6;11;6. 3分
(2)
,
对比方程,可得
,,.
∵,
∴,,. 8分
22.解:(1)由题意,得是描述与关系的抛物线的顶点,
∴设.
∵点在描述与关系的抛物线上,
∴,解得,
∴关于的函数关系式为. 4分
(2)①∵,
∴,开口向下.
又∵,
∴当时,取得最大值,此时.
∵两类短视频投放档位相同,
∴当时,,
此时.
答:当普通类短视频完播量最大时,此时的投放档位是8档,两类视频完播量的差是64万次. 9分
②509. 13分
提示:∵,,
精品类短视频投放档,普通类短视频投放档,
令
,
∴当时,有最大值509.
23.解:(1)证明:∵,,线段绕点逆时针旋转得到线段,,
∴,,,
∴,
∴.
在和中,
∴(SAS). 4分
(2)①. 5分
理由:∵,,,分别为,的中点,
∴,.
在和中,
∴(SAS),
∴,
∴,
∴,即. 9分
②1或. 13分
提示:分三种情况:,,.
∵,
∴.
如图1,当时,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,,
∴,.
∵,
∴,
∴.
根据勾股定理,得,
∴,
解得(负值已舍去,线段长不能为负).
如图2,当时,
∴.
根据前面的证明,得,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
当时,则,
∴,
故点与点重合,与点在线段上运动时,不与端点,重合的要求矛盾.
此时不成立.
综上所述,当为等腰三角形时,线段的长为1或.

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