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第2课时　正弦定理
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，sin B＝，b＝2，则a＝(　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，B＝，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
3.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝，bcsin A＝8sin B，a＝2，则b＝(　　)
A.4 B.2
C.2 D.2
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＝c，则△ABC一定是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
5.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝(k为非零实数)，则下列结论正确的是(　　)
A.当k＝5时，△ABC是直角三角形
B.当k＝3时，△ABC是锐角三角形
C.当k＝2时，△ABC是钝角三角形
D.当k＝1时，△ABC是钝角三角形
6.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有(　　)
A.A∶B∶C＝a∶b∶c
B.＝
C.若A＞B，则a＞b
D.若A＞B，则sin A＞sin B
7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，则sin A∶sin B∶sin C＝　　　　.
8.在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝　　　　.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝8，B＝，若△ABC有两解，则b的取值范围是　　　　.
10.(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列判断正确的有(　　)
A.若b＝19，A＝45°，C＝30°，则三角形有两解
B.若a＝，b＝2，A＝45°，则三角形有两解
C.若a＝3，b＝2，A＝45°，则三角形只有一解
D.若a＝7，b＝7，A＝75°，则三角形只有一解
12.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的有(　　)
A.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
D.若acos B－bcos A＝c，则△ABC一定为直角三角形
13.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则下列三个不等式中成立的是　　　　(填序号).
①sin A＞sin B；
②cos A＜cos B；
③sin A＋sin B＞cos A＋cos B.
14.(15分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
15.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＜，c＝bsin C，则cos (A－C)的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
16.(17分)在△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且＝.
(1)求角A的大小；
(2)若sin Bsin C＝，bc＝2，求边a.
第2课时　正弦定理
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，sin B＝，b＝2，则a＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由正弦定理得a＝·sin A＝.故选A.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，B＝，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：根据正弦定理得sin A＝＝，因为A∈，所以A＝，所以C＝π－B－A＝.故选B.
3.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝，bcsin A＝8sin B，a＝2，则b＝(　　)
A.4 B.2
C.2 D.2
答案：B
解析：因为bcsin A＝8sin B，所以abc＝8b，即ac＝8.又a＝2，所以c＝4，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，从而b＝＝2.故选B.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＝c，则△ABC一定是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
答案：B
解析：因为acos B＝c，所以由正弦定理得sin Acos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以cos Asin B＝0.因为sin B＞0，所以cos A＝0.又因为0°＜A＜180°，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形.又无法判断是不是等腰三角形.故选B.
5.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝(k为非零实数)，则下列结论正确的是(　　)
A.当k＝5时，△ABC是直角三角形
B.当k＝3时，△ABC是锐角三角形
C.当k＝2时，△ABC是钝角三角形
D.当k＝1时，△ABC是钝角三角形
答案：ABC
解析：对于A，当k＝5时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝5，b＝3，c＝4，a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形；对于B，当k＝3时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝3，b＝3，c＝4，显然△ABC是等腰三角形，且c为最大角，a2＋b2－c2＝9＋9－16＝2＞0，说明C为锐角，故△ABC是锐角三角形；对于C，当k＝2时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝2，b＝3，c＝4，可得a2＋b2－c2＝4＋9－16＝－3＜0，说明C为钝角，故△ABC是钝角三角形；对于D，当k＝1时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝1，b＝3，c＝4，此时a＋b＝c，不能构成三角形，故结论错误.故选ABC.
6.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有(　　)
A.A∶B∶C＝a∶b∶c
B.＝
C.若A＞B，则a＞b
D.若A＞B，则sin A＞sin B
答案：BCD
解析：由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A错误；设＝＝＝k，则＝＝k＝，故B正确；在三角形中，大角对大边，故C正确；若A＞B，则a＞b，由正弦定理＝，得sin A＞sin B，故D正确.故选BCD.
7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，则sin A∶sin B∶sin C＝　　　　.
答案：3∶5∶7
解析：由a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，得a＝c，b＝c，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝c∶c∶c＝3∶5∶7.
8.在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝　　　　.
答案：或
解析：由正弦定理，得sin A＝＝＝.又A∈(0，π)，a＞b，所以A＞B，所以A＝.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝8，B＝，若△ABC有两解，则b的取值范围是　　　　.
答案：(4，8)
解析：要使△ABC有两个解，则csin B＜b＜c，即8sin ＜b＜8，解得4＜b＜8.
10.(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形.
解：由正弦定理，得sin C＝＝＝.
因为0°＜C＜180°，且c＞a，所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，sin B＝，由正弦定理得b＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，sin B＝，由正弦定理得b＝＝－1.
所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列判断正确的有(　　)
A.若b＝19，A＝45°，C＝30°，则三角形有两解
B.若a＝，b＝2，A＝45°，则三角形有两解
C.若a＝3，b＝2，A＝45°，则三角形只有一解
D.若a＝7，b＝7，A＝75°，则三角形只有一解
答案：CD
解析：对于A，由正弦定理＝＝，得a＝，c＝，显然有唯一结果，即三角形只有一解，故A错误；对于B，由正弦定理得sin B＝＝＝＞1，无解，故B错误；对于C，由a＞b，得B＜A＝45°，由正弦定理得sin B＝＝＝＜1，三角形有唯一解，故C正确；对于D，由a＝b，得B＝A＝75°，此时C＝30°，三角形有唯一解，故D正确.故选CD.
12.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的有(　　)
A.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
D.若acos B－bcos A＝c，则△ABC一定为直角三角形
答案：ACD
解析：对于A，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，化简得(a－c)2＝0，所以a＝c，因为B＝60°，所以△ABC是等边三角形，故A正确；对于B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，则sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，又A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，因为sin C＝sin (π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin Acos B－sin Bcos A＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos A＝0，又因为A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝0，即A＝，所以△ABC为直角三角形，故D正确.故选ACD.
13.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则下列三个不等式中成立的是　　　　(填序号).
①sin A＞sin B；
②cos A＜cos B；
③sin A＋sin B＞cos A＋cos B.
答案：①②③
解析：A＞B a＞b sin A＞sin B，故①成立；函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，因为A＞B，所以cos A＜cos B，故②成立；在锐角三角形中，因为A＋B＞，所以0＜－B＜A＜.又函数y＝sin x在区间上单调递增，则sin A＞sin (－B)，即sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，所以sin A＋sin B＞cos A＋cos B，故③成立.
14.(15分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解：由A－C＝90°，得A为钝角，且A－90°＝C，
所以cos (A－90°)＝cos C，即sin A＝cos C.
由a＋c＝b及正弦定理，得sin A＋sin C＝sin B，
所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin (C＋45°)＝sin B.
又角A，B，C是△ABC的内角，所以C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去).
所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，所以C＝15°.
15.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＜，c＝bsin C，则cos (A－C)的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：在△ABC中，因为c＝bsin C，所以sin C＝sin Bsin C.因为sin C≠0，所以sin B＝.因为0＜B＜，所以B＝，即A＋C＝.所以A－C＝A－＝2A－.根据条件得0＜A＜，所以－＜2A－＜，所以－＜cos (2A－)≤1，即－＜cos (A－C)≤1.故选A.
16.(17分)在△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且＝.
(1)求角A的大小；
(2)若sin Bsin C＝，bc＝2，求边a.
解：(1)由＝＝，整理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝，
因为0°＜A＜180°，故得A＝60°.
(2)由sin Bsin C＝，bc＝2可得＝＝8.
又由正弦定理＝＝ 可得，＝＝8.
由(1)知A＝60°，代入解得a＝.

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