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7.1.1　数系的扩充和复数的概念
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.复数z＝－2i＋i2，则复数z的虚部是(　　)
A.－2 B.2
C.－1 D.1
2.若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a等于(　　)
A.－1 B.1
C.±1 D.不存在
3.若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z＜0，则m的值为(　　)
A.1 B.－1
C.±1 D.任意实数
4.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A.2－2i B.－＋i
C.2＋i D.＋i
5.下列结论正确的是(　　)
A.z＝1＋i2是虚数
B.z＝3＋i为纯虚数
C.z＝3＋i的实部大于虚部
D.z＝1－2i的虚部为－2i
6.(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　)
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.若b≠0，则a＋bi是虚数
7.如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为　　　　.
8.若z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则复数z的实部与虚部的和是　　　　　　.
9.(新情境)据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi＋1＝0，将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和数字0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数z＝的虚部为　　　　.
10.(13分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，
(1)z∈R；
(2)z是纯虚数；
(3)z是零.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，3)
B.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C.(－3，1)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
12.(多选)已知复数z1＝m2－1＋(m＋1)i，z2＝cos 2θ＋isin θ，下列说法正确的是(　　)
A.若z1为纯虚数，则m＝1
B.若z2为实数，则θ＝kπ，k∈Z
C.若z1＝z2，则m＝0或m＝－
D.若z1≥0，则m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)
13.(新定义)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(i是虚数单位)，那么实数x，y的值分别为　　　　.
14.(15分)分别求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
15.(5分)若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan 的值为(　　 )
A.7 B.－
C.－7 D.－7或－
16.(17分)已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.复数z＝－2i＋i2，则复数z的虚部是(　　)
A.－2 B.2
C.－1 D.1
答案：A
解析：由题意可得z＝－2i＋i2＝－2i－1＝－1－2i，所以复数z的虚部是－2.故选A.
2.若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a等于(　　)
A.－1 B.1
C.±1 D.不存在
答案：C
解析：由题设a2－1＝0，故a＝±1.故选C.
3.若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z＜0，则m的值为(　　)
A.1 B.－1
C.±1 D.任意实数
答案：B
解析：由复数z＝m＋(m2－1)i＜0，得解得m＝－1.故选B.
4.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A.2－2i B.－＋i
C.2＋i D.＋i
答案：A
解析：设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知，复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
5.下列结论正确的是(　　)
A.z＝1＋i2是虚数
B.z＝3＋i为纯虚数
C.z＝3＋i的实部大于虚部
D.z＝1－2i的虚部为－2i
答案：C
解析：z＝1＋i2＝1－1＝0，故A不正确；z＝3＋i不是纯虚数，故B不正确；z＝3＋i的实部为3，虚部为1，所以实部大于虚部，故C正确；z＝1－2i的虚部为－2，故D不正确.故选C.
6.(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　)
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.若b≠0，则a＋bi是虚数
答案：BCD
解析：对于A，当a＝b＝0时，a＋bi＝0显然是实数，故A不正确；对于B，a＋(b－1)i＝3－2i 故B正确；对于C，b＝0，a＋bi＝a∈R，故C正确；对于D，若b≠0，则a＋bi是虚数，故D正确.故选BCD.
7.如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为　　　　.
答案：2
解析：由题意得解得m＝2.
8.若z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则复数z的实部与虚部的和是　　　　　　.
答案：－2
解析：因为z是纯虚数，所以解得m＝－1，从而复数z的实部与虚部分别是0和－2，其和是－2.
9.(新情境)据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi＋1＝0，将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和数字0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数z＝的虚部为　　　　.
答案：
解析：由题意，得z＝＝cos ＋isin ＝＋i，则复数z的虚部为.
10.(13分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，
(1)z∈R；
(2)z是纯虚数；
(3)z是零.
解：(1)若z∈R，则a2－7a＋6＝0，
解得a＝1或a＝6.
(2)若z是纯虚数，则解得a＝－2.
(3)若z是零，则解得a＝1.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，3)
B.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C.(－3，1)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案：B
解析：由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).故选B.
12.(多选)已知复数z1＝m2－1＋(m＋1)i，z2＝cos 2θ＋isin θ，下列说法正确的是(　　)
A.若z1为纯虚数，则m＝1
B.若z2为实数，则θ＝kπ，k∈Z
C.若z1＝z2，则m＝0或m＝－
D.若z1≥0，则m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案：ABC
解析：对于A，复数z1＝m2－1＋(m＋1)i是纯虚数，则所以m＝1，故A正确；对于B，若z2＝cos 2θ＋isin θ为实数，则sin θ＝0，则θ＝kπ，k∈Z，故B正确；对于C，若z1＝z2，则 则m2－1＝1－2(m＋1)2，解得m＝0或m＝－，故C正确；对于D，若z1≥0，则m2－1≥0，且m＋1＝0，则m＝－1，故D错误.故选ABC.
13.(新定义)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(i是虚数单位)，那么实数x，y的值分别为　　　　.
答案：－1，2
解析：由题意得，(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，所以
14.(15分)分别求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)因为x，y∈R，2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，则有
(2)因为x∈R，＋(x2－2x－3)i＝0，所以解得x＝3.
15.(5分)若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan 的值为(　　 )
A.7 B.－
C.－7 D.－7或－
答案：C
解析：因为复数z＝＋i是纯虚数，所以cos θ－＝0，sin θ－≠0，所以cos θ＝，sin θ＝－，所以tan θ＝－，所以tan ＝＝＝－7.故选C.
16.(17分)已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
解：(1)因为z1为纯虚数，所以解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
所以λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.
因为－1≤sin θ≤1，
所以当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
所以实数λ的取值范围是[2，6].

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