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7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.复数(1＋2i)－(3－4i)对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知i为虚数单位，x，y为实数，若(x＋yi)＋2＝(3－4i)＋2yi，则x＋y＝(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
3.复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，则表示向量的复数为(　　)
A.3＋9i B.2＋8i
C.－9－i D.9＋i
4.如果｜z｜＋z＝5＋i，那么z－等于(　　)
A. B.2i
C.＋2i D.－2i
5.(多选)设复数z1＝－i，z2＝x＋yi(x，y∈R)，z1，z2对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则(　　)
A.｜z1｜＝2
B.若∥，则x＋y＝0
C.若⊥且｜z2｜＝1，则x＝±
D.若｜z1－z2｜＝，则｜z2｜的最大值为2＋
6.(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是(　　)
A.点C位于第二象限
B.z1＋z3＝z2
C.＝
D.△ABC为等腰直角三角形
7.已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数.若z1－z2＝0，则m＝　　　　.
8.已知｜z｜＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝　　　　.
9.设f(z)＝z－3i＋｜z｜，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝　　　　.
10.(13分)已知复数z1＝a＋(7－a)i，z2＝5＋(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位).
(1)若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值；
(2)若复数z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则△AOB一定为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
12.已知i为虚数单位，复数z满足1≤｜z＋1＋i｜≤，则｜z－1－i｜的最大值为　　　　.
13.(开放题)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足｜z－2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数z＝　　　　　.
14.(15分)已知在复平面内，平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求点B所对应的复数z0；
(2)若复数z满足｜z－z0｜＝1，则复数z在复平面内所对应的点的集合是什么图形？
15.(5分)设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，复数z1，z2，z1＋z2在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形ABC的面积为(　　)
A.3 B.2
C.2 D.
16.(17分)(新情境)欧拉是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ＋1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”.请你根据欧拉公式：eiθ＝cos θ＋isin θ，解决以下问题：
(1)将复数＋eπi表示成a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)的形式；
(2)求｜＋eiθ｜(θ∈R)的最大值.
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.复数(1＋2i)－(3－4i)对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：B
解析：复数(1＋2i)－(3－4i)＝－2＋6i，其在复平面内对应的点(－2，6)位于第二象限.故选B.
2.已知i为虚数单位，x，y为实数，若(x＋yi)＋2＝(3－4i)＋2yi，则x＋y＝(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：D
解析：由(x＋yi)＋2＝(3－4i)＋2yi得(x＋2)＋yi＝3＋(2y－4)i，则所以x＋y＝5.故选D.
3.复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，则表示向量的复数为(　　)
A.3＋9i B.2＋8i
C.－9－i D.9＋i
答案：D
解析：复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量，因为＝－，所以表示向量的复数为(6＋5i)－(－3＋4i)＝9＋i.故选D.
4.如果｜z｜＋z＝5＋i，那么z－等于(　　)
A. B.2i
C.＋2i D.－2i
答案：B
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则｜z｜＝｜a＋bi｜＝.由题意知a＋bi＋＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i，所以所以z＝＋i，＝－i，所以z－＝2i.故选B.
5.(多选)设复数z1＝－i，z2＝x＋yi(x，y∈R)，z1，z2对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则(　　)
A.｜z1｜＝2
B.若∥，则x＋y＝0
C.若⊥且｜z2｜＝1，则x＝±
D.若｜z1－z2｜＝，则｜z2｜的最大值为2＋
答案：ACD
解析：对于A，由z1＝－i，可得｜z1｜＝＝2，故A正确；对于B，由z1＝－i，z2＝x＋yi，可得＝(，－1)，＝(x，y)，因为∥，所以x＋y＝0，故B错误；对于C，因为⊥，所以x－y＝0，即y＝x，又因为｜z2｜＝1，所以x2＋y2＝1，联立可得x2＝，解得x＝±，故C正确；对于D，由z1＝－i，z2＝x＋yi，可得z1－z2＝(－x)－(1＋y)i，｜z1－z2｜＝即为｜(－x)－(1＋y)i｜＝，则(x－)2＋(y＋1)2＝3，则｜z2｜表示圆(x－)2＋(y＋1)2＝3上的点到原点的距离，即｜z2｜的最大值为2＋，故D正确.故选ACD.
6.(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是(　　)
A.点C位于第二象限
B.z1＋z3＝z2
C.＝
D.△ABC为等腰直角三角形
答案：BCD
解析：如图所示，由题意，O(0，0)，A(1，1)，B(1，2)，因为OABC为平行四边形，则C(0，1)，所以z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝1＋i＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－i｜＝1＝｜AC｜，故C正确；由图形可知△ABC为等腰直角三角形，故D正确.故选BCD.
7.已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数.若z1－z2＝0，则m＝　　　　.
答案：－1
解析：由题意可得z1＝z2，则
解得m＝－1.
8.已知｜z｜＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝　　　　.
答案：3i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为｜z｜＝3，所以a2＋b2＝9.因为z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，所以又a2＋b2＝9，所以所以z＝3i.
9.设f(z)＝z－3i＋｜z｜，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝　　　　.
答案：3＋3
解析：z1＋z2＝3＋3i，f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋｜3＋3i｜＝3＋3.
10.(13分)已知复数z1＝a＋(7－a)i，z2＝5＋(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位).
(1)若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值；
(2)若复数z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
解：(1)依题意，｜z1｜＝＝，因为z2的实部与z1的模相等，则＝5，
整理得a2－7a＋12＝0，解得a＝3或a＝4.
(2)因为z1＋z2＝(a＋5)＋(2a＋8)i，且z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限，所以解得－5＜a＜－4，
所以实数a的取值范围是(－5，－4).
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则△AOB一定为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
答案：B
解析：根据复数加、减法的几何意义及｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.故选B.
12.已知i为虚数单位，复数z满足1≤｜z＋1＋i｜≤，则｜z－1－i｜的最大值为　　　　.
答案：3
解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z＋1＋i｜≤表示如图所示的圆环.因为｜z－1－i｜＝｜z－(1＋i)｜表示z在复平面内对应的点Z到点(1，1)的距离，而点(1，1)到点(－1，－1)的距离为2，大圆的半径为，所以｜z－1－i｜的最大值为2＋＝3.
13.(开放题)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足｜z－2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数z＝　　　　　.
答案：1＋i(答案不唯一)
解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i.由｜z－2i｜＝｜z｜知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i.
14.(15分)已知在复平面内，平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求点B所对应的复数z0；
(2)若复数z满足｜z－z0｜＝1，则复数z在复平面内所对应的点的集合是什么图形？
解：(1)由已知得＝(3，2)，＝(－2，4)，所以＝＋＝(1，6)，
所以点B所对应的复数z0＝1＋6i.
(2)设复数z在复平面内所对应的点为Z，因为｜z－z0｜＝1，所以点Z到点B(1，6)的距离为1，
所以满足｜z－z0｜＝1的点Z的集合是以B(1，6)为圆心，1为半径的圆.
15.(5分)设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，复数z1，z2，z1＋z2在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形ABC的面积为(　　)
A.3 B.2
C.2 D.
答案：D
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i＝＋i，所以a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，a＋c＝，b＋d＝1，所以(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2bd＋2ac＝4，即2bd＋2ac＝－4，所以｜AB｜＝｜z1－z2｜＝｜a－c＋(b－d)i｜＝＝＝＝2.又｜BC｜＝｜z1｜＝2，｜AC｜＝｜z2｜＝2.在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D，则D为AB的中点，即AD＝DB＝AB＝，所以CD＝＝＝1，所以S△ABC＝AB×CD＝×2×1＝.故选D.
16.(17分)(新情境)欧拉是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ＋1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”.请你根据欧拉公式：eiθ＝cos θ＋isin θ，解决以下问题：
(1)将复数＋eπi表示成a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)的形式；
(2)求｜＋eiθ｜(θ∈R)的最大值.
解：(1)由题意可得＋eπi＝＋(cos π＋isin π)＝＋(－1)＝－＋i.
(2)由题意可得＋eiθ＝＋(cos θ＋isin θ)＝i＋(cos θ＋isin θ)＝cos θ＋(1＋sin θ)i，
所以｜＋eiθ｜＝＝＝.
因为θ∈R，所以sin θ∈[－1，1]，因此0≤2＋2sin θ≤2＋2＝4，
所以｜＋eiθ｜(θ∈R)的最大值为2.

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