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7.2.2　复数的乘、除运算
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.复数z＝i(2－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知复数z＝＋5i，则｜z｜＝(　　)
A. B.5
C.3 D.2
3.(1＋i)20－(1－i)20＝(　　)
A.－1 024 B.1 024
C.0 D.512
4.若复数z满足z2－4z＋5＝0，则｜z｜的值为(　　)
A. B.
C. D.2
5.(多选)已知i是虚数单位，z＝，则下列说法正确的是(　　 )
A.复数z对应的点位于第二象限
B.＝
C.复数z的共轭复数是＝i＋1
D.复数z的虚部是i
6.(多选)关于复数z＝－＋i(i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A.｜z｜＝1 B.z＋z2＝－1
C.z3＝－1 D.(z＋1)3＝i
7.在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝　　　　.
8.设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝　　　　.
9.复数z＝－，则1＋z＋z2＝　　　　.
10.(13分)已知复数z＝1－2i.
(1)求｜z｜；
(2)若z1＝，求z1；
(3)若｜z2｜＝，且zz2是纯虚数，求z2.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知i是虚数单位，则化简的结果为(　　)
A.i B.－i
C.－1 D.1
12.(多选)已知复数z1，z2，下列结论正确的有(　　)
A.＝＋
B.若z1z2＝0，则z1＝z2＝0
C.｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜
D.z1＝｜z1｜
13.计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 027＝　　　　.
14.(15分)已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根.
(1)求p＋q的值；
(2)复数w满足zw是实数，且｜w｜＝2，求复数w的值.
15.(5分)(多选)已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2＜b＜2，b∈R)的两根，则下列说法中正确的是(　　)
A.＝z2
B.∈R
C.｜z1·z2｜＝1
D.若b＝1，则＝＝1
16.(17分)在①z2＝10(a＞0)；②复平面上表示的点在一次函数x＋2y＝0的图象上；③z1(a－i)＞0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i，i为虚数单位，满足　　　　.
(1)若z＝＋，求复数z以及｜z｜；
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
7.2.2　复数的乘、除运算
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.复数z＝i(2－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：A
解析：z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，所以复数z对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限.故选A.
2.已知复数z＝＋5i，则｜z｜＝(　　)
A. B.5
C.3 D.2
答案：B
解析：z＝＋5i＝＋5i＝－1＋7i，故｜z｜＝5.故选B.
3.(1＋i)20－(1－i)20＝(　　)
A.－1 024 B.1 024
C.0 D.512
答案：C
解析：因为(1＋i)2＝2i，所以(1＋i)4＝－4，又(1－i)2＝－2i，所以(1－i)4＝－4，所以(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0.故选C.
4.若复数z满足z2－4z＋5＝0，则｜z｜的值为(　　)
A. B.
C. D.2
答案：C
解析：由题意得z2－4z＋4＝－1，即(z－2)2＝－1，得z＝2±i，故｜z｜＝＝.故选C.
5.(多选)已知i是虚数单位，z＝，则下列说法正确的是(　　 )
A.复数z对应的点位于第二象限
B.＝
C.复数z的共轭复数是＝i＋1
D.复数z的虚部是i
答案：AB
解析：因为z＝＝＝－1＋i，所以复数z对应的点为(－1，1)，在第二象限，故A正确；且｜z｜＝｜－1＋i｜＝，故B正确；复数z的共轭复数为＝－1－i，故C错误；复数z的虚部为1，故D错误.故选AB.
6.(多选)关于复数z＝－＋i(i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A.｜z｜＝1 B.z＋z2＝－1
C.z3＝－1 D.(z＋1)3＝i
答案：AB
解析：由复数z＝－＋i，可得｜z｜＝＝1，故A正确；z＋z2＝－＋i＋＝－＋i－－i＝－1，故B正确；z3＝z2·z＝＝－＝1，故C错误；(z＋1)3＝(z＋1)2(z＋1)＝＝＝－1，故D错误.故选AB.
7.在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝　　　　.
答案：－3±i
解析：x＝＝－3±i.
8.设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝　　　　.
答案：－1＋2i
解析：因为z＝－1－i，所以＝－1＋i，＝＝＝－1＋2i.
9.复数z＝－，则1＋z＋z2＝　　　　.
答案：0
解析：因为z＝－＝＝－＝－＋i.所以1＋z＋z2＝1－＋i＋(－＋i)2＝1－＋i＋＝0.
10.(13分)已知复数z＝1－2i.
(1)求｜z｜；
(2)若z1＝，求z1；
(3)若｜z2｜＝，且zz2是纯虚数，求z2.
解：(1)｜z｜＝＝.
(2)z1＝＝＝＝＝＝－－i.
(3)设z2＝a＋bi，a，b∈R，则｜z2｜＝＝，所以a2＋b2＝5①，zz2＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i.
因为zz2是纯虚数，所以a＋2b＝0，且b－2a≠0②，联立①②，解得
所以z2＝2－i或z2＝－2＋i.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知i是虚数单位，则化简的结果为(　　)
A.i B.－i
C.－1 D.1
答案：C
解析：法一：因为＝＝＝i，所以＝i2 026＝i2＝－1.
法二：＝＝＝＝(－1)1 013＝－1.故选C.
12.(多选)已知复数z1，z2，下列结论正确的有(　　)
A.＝＋
B.若z1z2＝0，则z1＝z2＝0
C.｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜
D.z1＝｜z1｜
答案：AC
解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i，＝(a＋c)－(b＋d)i＝(a－bi)＋(c－di)＝＋，故A正确；当z1＝0，z2＝2＋i时，z1z2＝0，故B错误；z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，｜z1z2｜＝
＝
＝＝｜z1｜｜z2｜，故C正确；z1＝2＋i时，｜z1｜＝，z1≠｜z1｜，故D错误.故选AC.
13.计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 027＝　　　　.
答案：0
解析：因为in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，所以1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 027＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024)＋(i2 025＋i2 026＋i2 027)＝1＋i2 025＋i2 026＋i2 027＝1＋i－1－i＝0.
14.(15分)已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根.
(1)求p＋q的值；
(2)复数w满足zw是实数，且｜w｜＝2，求复数w的值.
解：(1)关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，
根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
(2)设w＝a＋bi(a，b∈R).
由(a＋bi)(2＋i)＝(2a－b)＋(a＋2b)i∈R，得a＋2b＝0.
又｜w｜＝2，则a2＋b2＝20，解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，
因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.
15.(5分)(多选)已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2＜b＜2，b∈R)的两根，则下列说法中正确的是(　　)
A.＝z2
B.∈R
C.｜z1·z2｜＝1
D.若b＝1，则＝＝1
答案：ACD
解析：因为Δ＝b2－4＜0，所以方程的根为x＝，不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i，则＝z2，故A正确；由根与系数间的关系得z1·z2＝1，所以｜z1·z2｜＝1，故C正确；＝＝＝－i，当b≠0时， R，故B错误；当b＝1时，z1＝－＋i，z2＝－－i，则＝－－i，＝·＝－＝＋＝1，＝－＋i，＝·＝－＝＋＝1，所以＝＝1，故D正确.故选ACD.
16.(17分)在①z2＝10(a＞0)；②复平面上表示的点在一次函数x＋2y＝0的图象上；③z1(a－i)＞0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i，i为虚数单位，满足　　　　.
(1)若z＝＋，求复数z以及｜z｜；
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选条件①，因为z2＝a＋3i，所以z2＝a2＋9＝10，
解得a2＝1，又a＞0，所以a＝1.
选条件②，因为z1＝1＋i，z2＝a＋3i，
所以＝＝＋i，其在复平面内对应的点的坐标为(，)，
根据题中条件，有＋2×＝0，解得a＝1.
选条件③，因为z1＝1＋i，所以z1(a－i)＝(1＋i)·(a－i)＝(a＋1)＋(a－1)i＞0，
所以解得a＝1.
(1)z＝＋＝＋＝－i，
｜z｜＝＝1.
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，则也是该方程的根，所以m＝－(z2＋)＝－(1＋3i＋1－3i)＝－2.

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