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8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，D是CC1上一点，AA1＝4，则四棱锥D-ABB1A1的体积为(　　)
A. B.
C. D.
2.一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　)
A.6 B.
C.3 D.2
3.某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为(　　)
A.45 m2 B.80 m2
C.100 m2 D.144 m2
4.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图①，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图②，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　)
A. B.
C.2 D.
5.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是(　　 )
A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26
6.(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　 )
A.正三棱锥高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为　　　　.
8.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为，EF＝2，AE＝1，则该组合体的表面积为　　　　.
9.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC'B'F将三棱柱分成体积分别为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积)、V2的两部分，则V1∶V2＝　　　　.
10.(13分)如图，组合体下部是一个直三棱柱，△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2，上部是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.图①是一个鲁班锁玩具，图②是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为(　　)
A.8(6＋6＋) B.6(8＋8＋)
C.8(6＋6＋) D.6(8＋8＋)
12.如图，三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，则三棱锥A1-ABC，A1-B1C1B，A1-C1BC的体积之比为(　　)
A.1∶1∶1 B.2∶1∶1
C.4∶2∶1 D.4∶1∶2
13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体.已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4，2，2，则该等腰四面体的体积是　　　　.
14.(15分)如图，在多面体ABC-DEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
15.(5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　 )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
16.(17分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，D是CC1上一点，AA1＝4，则四棱锥D-ABB1A1的体积为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC边AB上的高为×2＝，因为D是CC1上一点，CC1∥平面ABB1A1，所以D到平面ABB1A1的距离为，所以＝ ×2×4×＝.故选D.
2.一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　)
A.6 B.
C.3 D.2
答案：B
解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，且xy＝，yz＝，xz＝，所以＝6，所以V＝xyz＝.故选B.
3.某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为(　　)
A.45 m2 B.80 m2
C.100 m2 D.144 m2
答案：B
解析：设该正四棱锥的斜高为h'.因为高为3 m，底面边长是8 m，所以根据勾股定理得h'＝＝5(m)，所以该正四棱锥的侧面积为4××5×8＝80(m2)，即需要油毡的面积为80 m2.故选B.
4.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图①，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图②，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　)
A. B.
C.2 D.
答案：D
解析：如题图②，因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设题图①中水面的高度为h，则S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝.故选D.
5.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是(　　 )
A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26
答案：BD
解析：依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.故选BD.
6.(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　 )
A.正三棱锥高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
答案：ABD
解析：如图所示，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×＝，故PE＝＝3，故A、B正确；而正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确.故选ABD.
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为　　　　.
答案：
解析：＝DD1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1，所以＝＝×1＝.
8.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为，EF＝2，AE＝1，则该组合体的表面积为　　　　.
答案：20
解析：由题意，正四棱锥P-EFGH的斜高为＝2，该组合体的表面积为2×2＋4×2×1＋4××2×2＝20.
9.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC'B'F将三棱柱分成体积分别为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积)、V2的两部分，则V1∶V2＝　　　　.
答案：7∶5
解析：设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S.所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.所以V1∶V2＝7∶5.
10.(13分)如图，组合体下部是一个直三棱柱，△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2，上部是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积.
解：下部是一个直三棱柱，由题意可知S底＝×2×2＝2，S侧面＝3×2＋3×2＋3×＝12＋6；
上部是一个三棱锥，AC＝＝，AB＝＝，则AB2＝AC2＋BC2，
所以BC⊥AC，除底面BCE外的表面积S1＝×3×2＋×3×2＋×2×＝3＋3＋.
所以S表＝S底＋S侧面＋S1＝17＋9＋.V＝V三棱锥＋V三棱柱＝××2×2×3＋×2×2×3＝2＋6＝8.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.图①是一个鲁班锁玩具，图②是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为(　　)
A.8(6＋6＋) B.6(8＋8＋)
C.8(6＋6＋) D.6(8＋8＋)
答案：A
解析：由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个正方体截去了8个相同的正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该鲁班锁玩具的表面积为6×＋8××2×＝8(6＋6＋).故选A.
12.如图，三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，则三棱锥A1-ABC，A1-B1C1B，A1-C1BC的体积之比为(　　)
A.1∶1∶1 B.2∶1∶1
C.4∶2∶1 D.4∶1∶2
答案：D
解析：设三棱台的高为h，则由题可知三棱锥A1-ABC的体积V1＝×h×S△ABC，三棱锥A1-B1C1B的体积V2＝×h×＝×h××S△ABC，三棱锥A1-C1BC的体积V3＝2V2，所以三棱锥A1-ABC，A1-B1C1B，A1-C1BC的体积之比为4∶1∶2.故选D.
13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体.已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4，2，2，则该等腰四面体的体积是　　　　.
答案：
解析：如图所示，将等腰四面体ABCD补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则
解得a＝2，b＝2，c＝4，则该等腰四面体的体积为：V＝2×2×4－××2×2×4×4＝.
14.(15分)如图，在多面体ABC-DEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
解：如图所示，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E-ABCD＝×42×3＝16.
因为AB＝2EF，EF∥AB，
所以S△EAB＝2S△BEF，
所以V三棱锥F-EBC＝V三棱锥C-EFB
＝V三棱锥C-ABE＝V三棱锥E-ABC
＝×V四棱锥E-ABCD＝4.
所以多面体的体积V＝V四棱锥E-ABCD＋V三棱锥F-EBC＝16＋4＝20.
15.(5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　 )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
答案：C
解析：如图所示，依题意可知棱台的高为MN＝157.5－148.5＝9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积S＝140.0 km2＝140×106 m2，下底面积S'＝180.0 km2＝180×106 m2，所以V＝h(S＋S'＋)＝×9×(140×106＋180×106＋)＝3×(320＋60)×106≈(96＋18×2.65)×107＝1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.
16.(17分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.
解：(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)如图所示，因为小棱锥的底面边长为4 cm，
所以大棱锥的底面边长为8 cm.
又PA＝12 cm，
所以A1A＝6 cm.
又梯形ABB1A1的高h'＝＝4(cm)，
所以S棱台侧＝6××4＝144(cm2).
又S上底＝6××4××4＝24(cm2)，
S下底＝6××8××8＝96(cm2)，
所以S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底
＝144＋24＋96
＝(144＋120)(cm2).

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