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8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　)
A. B.
C. D.2πC2
2.已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于2π，则该圆锥的体积为(　　)
A.π B.π
C.π D.2π
3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
A.7 B.6
C.5 D.3
4.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若＝2，则＝(　　)
A. B.2
C. D.
5.(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　)
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆锥的表面积最小
6.(多选)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则下列说法正确的是(　　)
A.以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B.以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
7.已知圆柱OO'的母线l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO'的底面半径r＝　　　　cm.
8.若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为　　　　.
9.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝　　　　.
10.(13分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周.
(1)求阴影部分形成的几何体的表面积；
(2)求阴影部分形成的几何体的体积.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　)
A.π B.π
C.3π D.3π
12.(多选)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜(ɡá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则(　　)
A.圆锥的母线长为9
B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°
D.圆锥的体积为12π
13.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块，如果冰块融化了，水　　　　溢出杯子(填“会”或“不会”)(忽略冰化水体积变化).
14.(15分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.
15.(5分)(多选)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是(　　)
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B.沙漏的体积是128π cm3
C.细沙全部漏入下部容器后形成的圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒(π≈3.14)
16.(17分)如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面.制作时需要将圆锥的顶点剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm.
(1)求这种“笼具”的体积；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个这种“笼具”，若该材料的造价为每平方米8元，则总造价为多少元？
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　)
A. B.
C. D.2πC2
答案：C
解析：由2πR＝C，得R＝，所以S球＝4πR2＝.故选C.
2.已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于2π，则该圆锥的体积为(　　)
A.π B.π
C.π D.2π
答案：C
解析：设圆锥PO的底面圆半径为r，由母线长为2，侧面积等于2π，得πr×2＝2π，解得r＝，因此圆锥的高h＝＝＝1，所以该圆锥的体积为V＝πr2h＝π×()2×1＝π.故选C.
3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
A.7 B.6
C.5 D.3
答案：A
解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面积S＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.故选A.
4.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若＝2，则＝(　　)
A. B.2
C. D.
答案：C
解析：设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则＝＝＝2，所以r1＝2r2，又＋＝2π，则＝1，所以r1＝l，r2＝l，所以甲圆锥的高h1＝＝l，乙圆锥的高h2＝＝l，所以＝＝＝.故选C.
5.(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　)
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆锥的表面积最小
答案：CD
解析：对于A，因为圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，所以圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积S＝πR·＝πR2，故B错误；圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，球的表面积S球＝4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，圆柱的表面积S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，圆锥的表面积S圆锥＝πR·＋πR2＝πR2，球的表面积为S球＝4πR2，所以圆锥的表面积最小，故D正确.故选CD.
6.(多选)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则下列说法正确的是(　　)
A.以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B.以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
答案：ABD
解析：以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π×3×5＝15π，故A正确；以AB所在直线为旋转轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥的组合体，其底面半径为＝，故所得旋转体的体积V＝π××5＝，故B正确；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，故C错误，D正确.故选ABD.
7.已知圆柱OO'的母线l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO'的底面半径r＝　　　　cm.
答案：3
解析：圆柱OO'的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，所以圆柱的底面半径为3 cm.
8.若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为　　　　.
答案：3∶4
解析：设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.
9.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝　　　　.
答案：
解析：依题意πr3＝πR2·r，所以＝＝.
10.(13分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周.
(1)求阴影部分形成的几何体的表面积；
(2)求阴影部分形成的几何体的体积.
解：(1)由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，
S半球＝×4π×22＝8π，
S圆台侧＝π××＝35π，
S圆台下底＝π×52＝25π.
故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π.
(2)V圆台＝×π(22＋2×5＋52)×4＝52π，V半球＝π×23×＝π，
故所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　)
A.π B.π
C.3π D.3π
答案：B
解析：在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB的中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图所示，∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3.由△PAB的面积为，得×3×PC＝，解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π××＝π.故选B.
12.(多选)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜(ɡá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则(　　)
A.圆锥的母线长为9
B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°
D.圆锥的体积为12π
答案：AB
解析：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，圆锥的侧面积为πrl＝3πl，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2＝9πl，所以圆锥的母线长为l＝9，故A正确；圆锥的表面积为3π×9＋π×32＝36π，故B正确；圆锥的底面圆周长为2π×3＝6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为α，则6π＝9α，解得α＝，即α＝120°，故C错误；圆锥的高h＝＝＝6，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×32×6＝18π，故D错误.故选AB.
13.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块，如果冰块融化了，水　　　　溢出杯子(填“会”或“不会”)(忽略冰化水体积变化).
答案：不会
解析：因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π(cm3)，因为V半球＜V圆锥，所以冰块融化了，水不会溢出杯子.
14.(15分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.
解：如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
所以CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a.
所以DD'＝AA'－2AD＝2BC－2AD＝2a.
所以DO＝DD'＝a.
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.
由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
所以圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2.
所以组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2.
所以旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3，V锥 ＝S'h＝·π·a2·a＝πa3.
所以旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.
15.(5分)(多选)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是(　　)
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B.沙漏的体积是128π cm3
C.细沙全部漏入下部容器后形成的圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒(π≈3.14)
答案：AC
解析：根据圆锥的截面图可知，细沙在上部容器时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝×4＝，所以沙漏中细沙的体积V＝×πr2×＝××＝，故A正确；沙漏的体积V＝2××π×42×8＝π，故B错误；设细沙全部漏入下部容器后的高度为h1，根据细沙体积不变可知＝×π×42×h1＝h1，所以h1≈2.4 cm，故C正确；因为细沙的体积为 cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，所以一个沙时为≈1 985(秒)，故D错误.故选AC.
16.(17分)如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面.制作时需要将圆锥的顶点剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm.
(1)求这种“笼具”的体积；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个这种“笼具”，若该材料的造价为每平方米8元，则总造价为多少元？
解：(1)设圆柱的底面半径为r cm，体积为V1 cm3，则由2πr＝24π，得r＝12，所以V1＝122π×30＝4 320π.
设圆锥的高为h cm，圆锥的体积为V2 cm3，则由勾股定理得h＝＝16，V2＝π×122×16＝768π，
故这种“笼具”的体积为V1－V2＝4 320π－768π＝3 552π cm3.
(2)设圆柱的侧面积为S1 cm2，圆柱的上底面面积为S2 cm2，圆锥的侧面积为S3 cm2，则S1＝24π×30＝720π，S2＝π×122＝144π，S3＝12×20π＝240π.
所以这种“笼具”的表面积为S1＋S2＋S3＝720π＋144π＋240π＝1 104π.
故制作50个这种“笼具”，总造价为＝(元).

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