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8.5.1　直线与直线平行
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　)
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.不确定
3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　 )
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
4.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
5.(多选)如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　)
A.PQ＝MN
B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
6.(多选)如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论正确的是(　　)
A.当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B.当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C.当λ≠μ时，四边形EFGH是平行四边形
D.当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形
7.如图所示，在长方体木块AC1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有　　　　条.
8.如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是　　　　　　.
9.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且＝＝＝，则＝　　　　　　　.
10.(13分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.
求证：(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(　　)
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
12.(多选)如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为(　　)
A.EF∥D1C
B.EF＝a
C.CF＝a
D.三棱锥A-EFC的体积为a3
13.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为　　　　.
14.(15分)如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.
(1)判断MN与BD的位置关系；
(2)求MN的长.
15.(5分)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为　　　　.
16.(17分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
8.5.1　直线与直线平行
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　)
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
答案：A
解析：因为E，F分别是SN和SP的中点，所以EF∥PN.同理可证HG∥PN，所以EF∥HG.故选A.
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.不确定
答案：B
解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补.故选B.
3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　 )
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
答案：D
解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).故选D.
4.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
答案：D
解析：如图可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况，故选D.
5.(多选)如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　)
A.PQ＝MN
B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
答案：BCD
解析：由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN.又PQ≠MN，所以四边形MNPQ是梯形，故B、C、D正确.故选BCD.
6.(多选)如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论正确的是(　　)
A.当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B.当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C.当λ≠μ时，四边形EFGH是平行四边形
D.当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形
答案：AB
解析：如图所示，连接BD.因为＝＝λ，所以EH∥BD，且EH＝λBD，同理，FG∥BD，且FG＝μBD，所以EH∥FG.所以当λ＝μ时，EH＝FG，此时四边形EFGH是平行四边形，故A正确，D不正确；当λ≠μ时，EH≠FG，四边形EFGH是梯形，故B正确，C不正确.故选AB.
7.如图所示，在长方体木块AC1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有　　　　条.
答案：4
解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1，共4条.
8.如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是　　　　　　.
答案：∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
解析：因为在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
9.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且＝＝＝，则＝　　　　　　　.
答案：
解析：如题图，＝＝＝，可证AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，所以△ABC∽△A'B'C'，所以＝，所以＝×＝.
10.(13分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.
求证：(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1.
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，
所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F，
所以四边形MBFC1为平行四边形，
所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
(2)因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，
所以∠B1BF＝∠A1ED1.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(　　)
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
答案：A
解析：取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝BD＝3，NH∥AC，且NH＝AC＝2，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.
12.(多选)如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为(　　)
A.EF∥D1C
B.EF＝a
C.CF＝a
D.三棱锥A-EFC的体积为a3
答案：AD
解析：如图所示，设BF＝2FA，连接EF，A1B，CF，AC.因为A1E＝2EA，所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故EF＝A1B＝a，CF＝＝a，V三棱锥A-EFC＝V三棱锥E-AFC＝×a××a×a＝a3.故选AD.
13.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为　　　　.
答案：平行
解析：由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示.分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得EF∥PQ，又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，所以EF∥GH.
14.(15分)如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.
(1)判断MN与BD的位置关系；
(2)求MN的长.
解：(1)MN∥BD.
理由如下：如图所示，连接AM，AN并延长，分别与BC，CD交于点E，F.
由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，
连接EF，则EF∥BD，且EF＝BD.
又因为点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心，
所以AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1，
所以MN∥EF，且MN＝EF，故MN∥BD.
(2)由(1)知MN＝EF＝BD＝2.
15.(5分)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为　　　　.
答案：8
解析：由题意得EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH＝BD＝3.又因为＝＝，所以FG∥BD且FG＝BD＝4，由基本事实4知，EH∥FG，所以四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即＝28，得h＝8.
16.(17分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由G，H分别为FA，FD的中点，可得GH∥AD，GH＝AD.
又BC∥AD，BC＝AD，所以GHBC，
所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)共面.理由如下：由BE∥FA，BE＝AF，G为FA的中点知，BEFG，
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面.
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面.

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