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4.3　共点力的平衡
【学习目标】
1.通过任务1及其活动，了解共点力和平衡状态的概念。(物理观念)
2.通过任务2及其活动，探究并理解共点力平衡的条件，能应用合成法、分解法解决平衡问题。(物理观念、科学探究)
3.通过任务3及其活动，构建力的动态变化问题模型，掌握利用解析法、图解法处理该问题的思维。(物理观念、科学思维)
【自主预习】
思考并回答问题。
思考1：桌子上的书、屋顶的灯、随传送带一起匀速运动的物体，公路上匀速前进的汽车。它们都处于平衡状态。分析一下它们所受到的力，这些力有哪些特点 合力等于什么



思考2：如图所示，人拉着重量为G的行李箱向前匀速运动。已知人对行李箱的拉力大小为F，方向与水平方向成θ角。怎样确定地面对行李箱的支持力和摩擦力 说说你的想法。


正确的打“√”，错误的打“×”。
(1)共点力的作用点一定在同一点上。 (　　)
(2)处于平衡态的物体，一定是静止的。 (　　)
(3)处于平衡态的物体，其运动状态不发生改变。 (　　)
(4)若一个物体在三个力的作用下处于平衡态，则这三个力的代数和为零。 (　　)
(5)某物体速度为零时，一定处于平衡态。 (　　)
【合作探究】
任务1　理解共点力与平衡状态的概念
图1、图2、图3、图4中重力为G的木棒在力F1和F2的共同作用下处于静止状态。
1.什么是平衡状态


2.处于平衡状态的物体受到的力有什么特点


3.把上述四种情况的受力分成两类，你认为哪些情况属于同一类 你是根据什么来划分的


1.平衡状态：物体在力的作用下处于①　　或②　　状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
2.共点力：物体受到两个或更多力的作用，这些力作用于③　　或力的作用线的延长线④　　，这样的一些力称为共点力。
应用1　是否为平衡态的分析
(改编)如图所示，甲物体静止于斜面上，乙物体冲上斜面到达光滑斜面的最高点速度为零，丙物体沿斜面匀速下滑，丁物体与斜面一起向左加速运动。则图中斜面上的物体处于平衡状态的是 (　　)
A.甲、乙 B.甲、丙
C.甲、乙、丙 C.甲、乙、丙、丁
应用2　对共点力的理解
(多选)关于共点力，下列说法正确的是 (　　)
A.作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，那么这两个力一定是共点力
B.作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，那么这两个力是共点力
C.作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点不在同一点上，那么这几个力也可能是共点力
D.作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线可以相交于一点，那么这几个力是共点力
任务2　共点力的平衡条件及其应用
　　我们处在一个异彩纷呈的世界里，世界上的物体可谓千姿百态。如图1所示，内姆鲁特山上的巨石千百年来一直神奇地矗立在水平地面上。图2是生活在亚马孙雨林中的树懒，大部分时间利用四肢上尖利的爪子牢牢攀紧树枝，悬挂在树枝上，即使运动，动作也极其缓慢。
1.图1中的巨石受到几个力，彼此之间有何关系


2.树懒悬挂在倾斜树枝上，受到哪些力 这些力有何关系


3.由以上分析可知，若物体处于平衡态，其受力有何特点


1.在共点力的作用下物体处于平衡状态的条件是物体受到的⑤　　为0。
2.物体处于平衡状态的条件：从力的角度分析，物体受到的⑥　　为0，即F合=0；从运动现象来分析，物体处于⑦　　或⑧　　状态；从运动状态来分析，物体的加速度为0，即a=0。
注意：(1)物体只受到一个力作用时一定处于非平衡状态。
(2)物体的空间位置在⑨　　的过程中，如缓慢转动、移动等，我们也认为物体处于平衡状态，或物体受到的力在逐渐变化，而物体仍然处于平衡状态，我们称物体在此过程中的平衡为动态平衡。
应用1　利用力的平衡条件分析未知力
(原创)如图所示，一架直升机悬挂消防吊桶进行飞行展示，某段时间内消防吊桶被直升机悬吊处于向右水平匀速直线运动状态，悬绳在竖直平面内，由于风力的作用(假设风速方向与飞机与悬绳所在的竖直面平行且沿水平方向)，悬绳与竖直方向成30°角偏向左方，消防吊桶质量为m，重力加速度为g，则关于作用在消防吊桶上的风力大小和方向，下列说法正确的是 (　　)
A.风力大小为mg ，方向水平向左
B.风力大小为mg，方向水平向右
C.风力大小为mg，方向水平向左
D.风力大小为mg，方向水平向右
某段时间内消防吊桶被直升机悬吊处于向右水平匀速直线运动状态，说明消防吊桶受力平衡，即所受的悬绳拉力、重力及风力三个力的合力为零。
【归纳总结】
　　平衡条件的推论
二力 平衡 若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向
三力 平衡 若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力必定与第三个力等大、反向，这三个力能组成封闭的矢量三角形
多力 平衡 若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n-1)个力的合力等大、反向
应用2　解决共点力平衡的三种方法
用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力。





若例4中两绳能承受的最大拉力相同，均为100 N，持续增大悬挂物的重力，为了保证两段绳子不被拉断，求悬挂物的最大质量。(重力加速度g取10 m/s2)




【归纳总结】
　　解决共点力平衡的常用方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题
正交分解法 物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡时，将物体所受的各个力沿两个互相垂直的方向分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。此时平衡条件可表示为Fx合=0，Fy合=0
任务3　动态平衡问题的分析
　　如图所示，斜面与水平面、斜面与挡板间的夹角均为30°，一重力为G的小球静置在斜面与挡板之间，挡板对小球的弹力为F1，斜面对小球的弹力为F2，不计一切摩擦。
1.求图示位置时挡板对小球的弹力F1以及斜面对小球的弹力F2。




2.以挡板与斜面连接点P为轴，将挡板从图示位置开始逆时针缓慢地转到水平位置，分析此过程中F1、F2的变化情况。




1.动态平衡问题分析流程
受力分析画不同状态下的平衡图构造矢量三角形
2.解决动态平衡问题的常用方法
(1)解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)图解法
此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力，另一个力方向不变的情况。一般按照以下流程解题。
受力分析画不同状态下的平衡图确定力的变化
(3)相似三角形法
适用情境 物体受三个力平衡：一个力大小和方向恒定，另外两个力的方向同时变化且夹角大小也在不断发生变化，但物体(质点)的运动轨迹为某段圆弧
受力分析
力的矢量 三角形和 边的三角 形相似
比例关系 == == ==
(4)辅助圆法
适用 情境 物体在三个力的作用下平衡，其中一个力(F1)大小、方向都恒定，另外两个力(F2、F3)大小、方向都变化，但其夹角不变 物体所受到的三个力中，一个力(F1)大小、方向不变，另一个力(F2)大小不变
方法 等弦圆周角不变(注意直径的位置) 作出三力矢量三角形，以大小不变的力和大小、方向都不变的力的交点为圆心，以大小不变的力为半径作辅助圆，对变化过程进行综合分析
图示
应用1　利用相似三角形法解答动态平衡问题
(多选)如图1所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁缓缓下降，绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点(重心处)。在下降过程中可以把人简化为如图2所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力G全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，AC为轻绳。已知OC长度不变，下降过程中的某时刻OA长等于OC长，OC与崖壁成60°夹角，则 (　　)
A.绳子对人的拉力与人对绳子的拉力是一对平衡力
B.在该时刻，绳子对人的拉力大小等于G
C.若保持O点不动，A、C间绳子缓慢放长少许，则轻绳AC承受的拉力变大
D.若保持O点不动，A、C间绳子缓慢放长少许，则轻杆OC段承受的压力变大
应用2　利用辅助圆法解答动态平衡问题
(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，对O点的拉力大小为F1，绳OB与绳OA之间的夹角α=120°，对O点的拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过60°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，且物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.F1逐渐增大
B.F1先增大后减小
C.F2逐渐减小
D.F2先减小后增大
(1)本题属于三力平衡中的一个力不变，其余二力夹角不变，方向发生变化的情形；(2)画出将两绳同时转过某一角度(小于60°)时，根据O点的受力情况，利用外接圆弦心角不变来分析F1和F2的变化；分析时应注意初态情况和末态情况，切忌因随意而超出题中要求。
【归纳总结】
【随堂检测】
1.(任务1、2)直升机的螺旋桨旋转时，直升机会受到一个垂直桨面向上的升力，飞行时还会受到与速度方向相反的空气阻力，如图1、图2所示，关于直升机的运动状态，下列说法正确的是 (　　)
A.图1直升机可能处于悬停状态
B.图2直升机可能处于悬停状态
C.图1直升机可能处于向前沿机身倾斜方向匀速飞行状态
D.图2直升机可能处于向前沿机身倾斜方向匀速飞行状态
2.(任务2)短跑运动员进行训练时，常常会将阻力伞绑在腰间来对抗阻力以提高核心力量。该项训练具有易操作，不易受伤，阻力大小易控制的特点。如图所示，当阻力伞全部打开时，阻力伞的中心轴线保持水平，共6根伞绳，每根伞绳与中心轴线的夹角均为30°，阻力伞所受的空气阻力为90 N，该运动员做匀速直线运动，那么每根伞绳承受的拉力约为 (　　)
A.15 N B.90 N
C.20 N D.10 N
3.(任务3)一人将身体倚靠在光滑的竖直墙面上，双腿绷直向前探出，A处为脚踝，B处为胯部，均看作光滑的铰链，AB为双腿，看作轻杆。随着脚缓慢向前探出，下列说法正确的是 (　　)
A.腿部承受的弹力越来越大
B.脚受到地面的支持力越来越小
C.后背受到墙面的支持力越来越小
D.脚受到地面的摩擦力越来越小
4.(任务3)(多选)如图所示，可在竖直平面内自由转动的轻杆一端固定于天花板上的O点，另一端Q固定一小球，穿过O点正下方光滑小孔P的轻质细线将一物块和小球相连。初始时刻，在沿细线PQ方向的外力F作用下，小球静止，∠PQO=90°。现通过力F将小球向右上方缓慢拉过一段距离(轻杆未撞到天花板，物块未撞到小孔)，运动过程中保持F始终沿细线PQ方向，忽略一切摩擦，下列说法正确的是 (　　)
A.小球缓慢运动过程中，细线对小球的拉力恒定不变
B.小球缓慢运动过程中，作用于小球的力F大小逐渐减小
C.小球缓慢运动过程中，轻杆对小球的作用力大小不变
D.小球缓慢运动过程中，小孔对细线的作用力大小逐渐减小
参考答案
自主预习·悟新知
思考1：这些力有共同的作用点或者作用线交于一点，它们的合力为0。
思考2：将拉力F沿水平方向和竖直方向分解，根据平衡的条件F合=0可知：地面对行李箱的支持力FN=G-Fsin θ；地面对行李箱的摩擦力f=Fcos θ。
判断　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
合作探究·提素养
任务1
问题引领
1.物体处于静止或匀速直线运动的状态称为平衡状态。
2.处于平衡状态的物体受到的力为平衡力。
3.根据物体的受力特点可将图1、图4分为一类，图2、图3分为另一类。图1、图4中物体受到的力或力的作用线相交于一点，图2、图3中的物体受的力的作用线或延长线不会相交，属于非共点力平衡。
知识生成　①静止　②匀速直线运动　③同一点　④相交于同一点
应用探究
例1　B　【解析】物体处于静止或匀速直线运动的状态，才是处于平衡状态，处于平衡状态时物体的速度保持不变，则此时物体的加速度应为0，所以只有甲、丙物体处于平衡状态，B项正确。
例2　BCD　【解析】作用在一个物体上的几个力，如果作用在物体的同一点或者虽不作用在物体的同一点，但力的作用线相交于一点，那么这几个力是共点力，C、D两项正确；大小相等、方向相反的力不一定作用在同一点，但一对平衡力必作用于同一物体的同一直线上，是共点力，A项错误，B项正确。
任务2
问题引领
1.巨石受重力和弹力两个力，因为巨石处于静止状态，重力和弹力是一对平衡力，二者合力为零。
2.树懒受到重力、弹力和摩擦力三个力，其中弹力和摩擦力是树枝对树懒施加的力，二者的合力与重力大小相等、方向相反。
3.若物体处于平衡态，其所受合力为零。
知识生成　⑤合力　⑥合力　⑦静止　⑧匀速直线运动　⑨缓慢变化
应用探究
例3　A　【解析】对消防吊桶受力分析，重力G=mg，竖直向下，悬绳的拉力T方向与竖直方向成30°角偏向右方。由于消防吊桶处于匀速直线运动状态，即处于平衡状态，合力为零，故水平方向和竖直方向的合力均为零。在竖直方向上，没有风力作用，由平衡条件有Tcos 30°=mg，在水平方向有F风=Tsin 30°，得F风=mg，方向水平向左，A项正确。
例4　【解答】方法一：合成法
以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件进行受力分析，如图甲所示，F=FT，且FT=G
由几何知识得
F1=Fcos 30°=19.6× N= N
F2=Fsin 30°=19.6×0.5 N=9.8 N。
甲
方法二：效果分解法
以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件进行受力分析，如图乙所示。FT=G，将拉力FT沿绳OA和OB的方向分解，由几何知识得
FA=FTcos 30°=19.6× N= N
FB=FTsin 30°=19.6×0.5 N=9.8 N。
乙
方法三：正交分解法
如图丙所示，建立直角坐标系，将绳子OA和OB的拉力沿x、y方向正交分解。FT=G，由平衡条件得
水平方向：F1cos 60°=F2cos 30°
竖直方向：F1sin 60°+F2sin 30°=FT
解得F1= N，F2=9.8 N。
丙
变式拓展
【解答】由题意知，绳子OA的拉力F1大于OB的拉力F2，为了保证两段绳子不被拉断，当绳子OA的拉力F1m=100 N时，悬挂物的质量达到最大，则有
F1m=mgcos 30°，解得m= kg。
任务3
问题引领
1. (1)对小球进行受力分析，如图甲
甲
由平衡条件可得，沿斜面方向有Gsin 30°=F1sin 30°
可得挡板对小球的弹力F1=G，方向为垂直于挡板向下
垂直于斜面方向有F2=Gcos 30°+F1cos 30°，可得斜面对小球的弹力F2=G，方向为垂直于斜面向上。
2.在挡板绕P点由题图所示位置逆时针转动到水平位置的过程中，重力G的大小和方向都不变，斜面对小球的弹力F2的方向不变。小球处于静止状态，重力G、弹力F2和弹力F1组成一个封闭的矢量三角形，如图乙所示，可知挡板由题图所示位置逆时针转动到水平位置的过程中，F1先减小后增大，F2一直减小。
应用探究
乙
例5　BC　【解析】绳子对人的拉力与人对绳子的拉力是一对作用力与反作用力，A项错误；以人为研究对象，受到重力、崖壁的作用力和绳子的拉力，如图所示。根据几何关系可得==，当OA等于OC，OA与OC夹角为60°时，△AOC为等边三角形，则绳子对人的拉力大小T=G，B项正确；若保持O点不动，A、C间绳子缓慢放长少许，则AC长度增大，由于G和AO不变，根据=可知，AC绳承受的拉力T变大，C项正确；若保持O点不动，A、C间绳子缓慢放长少许，OC和AO不变，根据=可知，轻杆OC段承受的压力不变，D项错误。
例6　AC　【解析】对结点O进行受力分析，受到三个力的作用，作出矢量三角形，如图所示。绳OB与绳OA之间的夹角α=120°是不变的，当两绳同时缓慢顺时针转过60°时，F1恰好经过圆心，变化如图所示，F1逐渐增大，F2逐渐减小，A、C两项正确，B、D两项错误。
随堂检测·精评价
1.C　【解析】题图1中，若直升机处于悬停状态，对直升机进行受力分析，如图甲，可知合力不可能为零，A项错误；题图1中，若直升机处于向前沿机身倾斜方向匀速飞行状态，对直升机进行受力分析，如图乙，知合力可能为零，C项正确；题图2中，若直升机处于悬停状态，对直升机进行受力分析，如图丙，知合力不可能为零，B项错误；题图2中，若直升机处于向前沿机身倾斜方向匀速飞行状态，对直升机进行受力分析，如图丁，知合力不可能为零，D项错误。
2.D　【解析】阻力伞受到空气阻力和6根伞绳的作用力保持平衡，根据力的分解可得Ff=6Fcos 30°，代入数据解得每根伞绳的拉力大小约为F=10 N，D项正确。
3.A　【解析】由题意可得人的受力分析如图所示
设B点上方人体的重力为G，则根据平衡条件有F1=，F2=；随着脚慢慢探出，θ逐渐减小，F1与F2都逐渐增大，A项正确，C项错误。由题意及平衡条件可得，脚受地面的摩擦力与F2大小相等，脚受地面的支持力与人的重力相等，随着脚缓慢向前探出，脚受地面的摩擦力越来越大，受地面支持力不变，B、D两项错误。
CD　【解析】通过外力F将小球向右上方缓慢拉过一段距离，小球、物块均处于静止状态，对物块进行受力分析，细线对物块的拉力与物块的重力平衡，同一绳上拉力相等，故细线对小球的拉力大小不变，等于物块的重力，小球缓慢运动过程中，绳子拉力方向发生变化，故细线对小球的拉力是变化的，A项错误；力F与细线的拉力的合力、小球的重力、轻杆对小球的作用力使小球处于平衡状态，这三个力围成的矢量三角形与△OPQ相似，力F将小球向右上方缓慢拉过一段距离的过程中，根据对应边成比例可知==，所以轻杆对小球的作用力大小不变，作用于小球的外力F大小逐渐增大，B项错误，C项正确；小球缓慢运动过程中，小孔两侧绳子夹角逐渐增大，绳子拉力不变，等于物块的重力，根据力的合成可知，小孔对细线的作用力大小与两侧绳子合力大小相等，逐渐减小，D项正确。

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