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复数运算的常用方法
复数运算问题在高考中出现的频率较高，它有效地考查了学生的运算能力．因此，对复数的运算法则，我们必须牢固掌握，并会灵活运用．除此之外，在代数式运算中要牢记常用的有关复数的关系式，以提高我们复数运算的速度．下面例析几种常用的运算方法．
一、分母实数化
对于分式型（或除法）的复数运算或化简问题，可先用分母实数化来解决，即同乘以分母的共轭复数．特别地，运用分母实数化，有，，．
例1　（　　）．
　　（A）　　　（B） （C）　　　 （D）
解：原式，故选（C）．
二、运用的周期性
由于，，，，于是就有．
例2　（　　）．
（A）　　（B）　　（C）　（D）
解：由，原式，故选（A）．
三、运用乘法公式
是指直接运用乘法公式计算，即．
例3　设复数，则（　　）．
（A）　　　 （B）
　　（C）　　　（D）
解：原式，故选（A）．
四、运用，．先化简后代入，再计算，可减少运算量．
例4　________．
解：由，则原式．
五、运用的性质
①，，；②，．
例5　复数的值是（　）．
（A）　　　（B）　　（C）　　（D）
解：由，．
则原式，故选（A）．
六、运用进行转换
此公式一边为两复数的积，一边为非负实数，是实数与复数相互沟通的桥梁．
例6　若，，，且，求的值．
　　解：∵，，
∴．
复数问题中的数学思想
在解决复数问题时，若能适当地运用数学思想，往往能迅速找到解题的突破口，同时能提高同学们的思维能力和数学素养，增强分析问题、解决问题的能力．
一、函数思想21世纪教育网
函数思想是一种重要的数学思想，有关复数的最值问题，常通过构造函数利用函数的性质求解．
例1　已知复数，求为何值时，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．
分析：本题可以转化为利用三角函数求最值的问题．
解：
．[来源:21世纪教育网]
∵，
　　∴当时，；
当时，．
二、数形结合思想
复数的表示形式常含有明显的几何意义．在处理复数问题时，灵活地运用复数的几何意义，以数释形、以形助数，可使许多问题得到快捷地解决．
例2　设复数满足，求的最值．
分析：依据复数的几何意义求解．
解：由复数的几何意义知表示复数的对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．因而所求向量的几何意义是求此圆上的点到点的距离的最大值与最小值．如右图易知，
．
例3　已知集合，，．
（1）指出集合在复平面内所对应的点表示的图形；
（2）求集合中复数的模的最值．
分析：利用复数的几何意义确定图形，进而转化为方程关系，求得复数的模的最值．21世纪教育网
解：（1）由可知，集合在复平面内所对应的点集是以点为圆心，以为半径的圆面（含边界）；
　　由可知，集合在复平面内所对应的点集是以、为端点的线段的中垂线．
　　因此集合是圆截直线所得的一条线段（设是两个交点）；
（2）易求得圆的方程为，直线的方程为．
解方程组得
　　交点、，
　　∴，，点到直线的距离为，且过向直线引垂线，垂足在线段上．
　　又，
　　故集合中复数的模的最大值为，最小值为．
三、整体思想
对于有些复数问题，若从整体上去观察、分析题设结构，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质等，对问题进行整体处理，可进一步提高灵活、综合运用知识的能力．
例4　设复数和它的共轭复数满足，求复数的值．
分析：充分利用共轭复数性质、复数的模的意义、复数相等的充要条件即可解出．在求解过程中，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法．
解：设，将化为．
由，整体代入，得，
　　∴．
根据复数相等的充要条件，
得到解得
故．
四、分类讨论思想
分类讨论就是将数学对象划分为不同种类进行研究或求解的一种数学思想．通过合理的分类讨论，可以使较复杂的问题简单化．有关复数问题中若含有参数，常常需要根据参数的范围分类讨论．
例5　已知，复数．当为何值时：
　　（1）；
（2）是纯虚数；
（3）对应的点位于复平面第二象限；
（4）对应的点在直线上．[来源:21世纪教育网]
分析：复数，当且仅当时，；
　　当且仅当且时，为纯虚数；
　　当，时，对应的点位于复平面的第二象限；
　　复数对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上．
解：（1）由且，得．故当时，；
（2）由解得或．
故当或时，为纯虚数；
（3）由解得或．
故当或时，对应的点位于复平面的第二象限；
（4）由，得，
解得或．
故当或时，对应的点在直线上．
例6　已知复数，，当在内变化时，试求的最小值．
分析：设法表示出来，然后转化求解，针对的情况讨论．
解：．
令，则，且．
　　从而，
当，即时，；
当，即时，．
五、转化思想
在解决一些复数问题时，常需要将复数问题转化为实数问题来解决．
例7　设是虚数，是实数，且．
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值．
分析：所给条件与复数的概念有关系，不妨设，且，从而转化为实数问题．
（1）解：设，且，
则．
　　∵是实数，，
　　∴，即．
　　于是，，∴．
　　故的实部的取值范围是；
（2）证明： ．
∵且，
　　∴为纯虚数；
（3）解：
．
∵，∴．
于是．
当且仅当，即时等号成立．
∴的最小值为．
新题速递
复数的题目具有活而不难的特点，且常考常新，要求具有灵活处理问题的能力，注意抓好基础，对复数的概念和运算要熟练掌握．同时在运算过程中要注意复数问题实数化方法，复数相关公式的灵活运用等．同学们在阅读本版“复数运算的常用方法”的基础上，再看下例．
　　例　设是虚数单位，，则使得成立的最小的正整数的值等于__________．
　　分析：可以先将复数求出，再取逐一计算验证，从而求出的最小值；也可以根据复数的幂值的周期性进行求解．
　　解法一：由于，
　　所以，
　　于是，，，，，，，，，，．
　　所以的最小值是．
　　解法二：由于，，，，，，，
　　所以，
　　故使成立的最小正整数是．
　　点评：本题主要考查复数的乘法运算以及两个常用的虚数，的有关性质．对于虚数单位，它的幂值具有周期性，复数是的一个虚立方根，它的幂值也具有周期性，利用这些性质可以方便地解决这类题目，它能考查同学们探索问题、解决问题的能力．21世纪教育网

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