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数系的扩充与复数的引入复习指导
『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．
　　　　　『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．
　『复习过程指导』
在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．
在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：
　　　　　
多项式运算
类比
复数
运算
　类比
向量
运算21世纪教育网
实数
运算
类比
数轴上向量运算
有理数
运算
　　　一．数学思想方法总结
1数学思想方法之一：类比法
　（1）复数的运算
复数代数形式的加法、减法运算法则
　　　　　　
复数代数形式的乘法运算运算法则：
　　　　　　
显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．
（2）复数的几何意义
我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：
复数集C＝与坐标系中的点集一一对应．于是：
复数集＝复平面内的点
　　　　　　复数集＝平面向量
例1．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点
位于　( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
解答：复数＋(1＋i)2＝
　　　＝
因为复数对应着直角坐标平面内的点，
　　　　　故在第二象限，答案为B．
　　　　此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．
例2．非零复数分别对应复平面内向量，若=
则向量与的关系必有（ ）
A ．= B． C ． D．共线21世纪教育网
解答： 由向量的加法及减法可知：
　　　　　＝
　　　　　　　＝ 　　　　
由复数加法以及减法的几何意义可知：
　对应的模
　对应的模
　　　　　　又因为=，且非零复数分别对应复平面内向量　
　　　　　　所以四边形OACB是正方形
　　　　　　因此，故答案选B．
　　注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义
（3）复数的化简
虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”．
例３若复数（∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为
（A）-2 　 　 (B)4 　　(C) -6 　 (D)6
解答：由＝＝
＝　
　因为复数是纯虚数
　　　　所以且
　　　　解得
　　　　故答案选C．
　　注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数＝５，一般地（）（）＝
　　这也是一个复数与实数转化的过程，即是纯虚数可得：且，21世纪教育网
2．数学思想方法之二　　转化法
　　　　　我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．
　　　　　基础知识：复数
例４若 , ，且为纯虚数，则
实数a的值为 ．
　解答：＝＝
因为为纯虚数
所以且．解得
　　　例５．设、、、，若为实数，则，
（A）（B）
（C）（D）
　解答：　由　　
　　　因为 为实数，
　　　所以其虚部，即
　　　故答案选C．
这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．
类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．
　　二．解题规律总结
　　　１有关虚数单位的运算及拓展
虚数的乘方及其规律：，＝－１，，，……（）
拓展（1）任何相邻四个数的和为０；
　　（2）指数成等差的四个数的和为０；　
例如：＝０
　　　　　　　　（3）连续多个数相加的规律．　
　　　　　　　 例6．求…的值
　　　　　解答：共有2006－10＋１＝１997项
　　　　　　由于1997＝4499＋1
　　　　　　由于连续4个的和等于0
　　　　　　因此原式＝＝－1
　2．有关复数的几个常用化简式
，，
例7（2005高考重庆2）．　　　　（　　）
A．　　B．－　　C．　　D．－
　　　解答：
　　　　　故答案选A
　　　　　　3．有关复数的综合运算21世纪教育网
　　　　　例７、（本题满分12分）在复数范围内解方程（为虚数单位）
　　解法一．设，则21世纪教育网
　　　由于
　　　＝＝
所以＝
　　　根据复数的相等得
　　　解得
　　　因此，即为所求．
　　　　　　　解题评注：（1）设复数的代数形式（）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（＝　　）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；
　　　　　三．高考命题趋势
　从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．

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