资源简介

联立分析法、综合法
　　分析法和综合法是两种常用的解题方法，有时候我们会把这两种方法结合起来使用．
　　一、用分析法寻找思路，用综合法表述过程
　　例１　已知，求证：．
　　分析：本题用综合法不容易找到证明思路，因此用分析法探路．要证原不等式成立，由得，因此移项，只需证．
　　通分得，即证．
　　只需证成立．思路找到．
　　证明：∵，
　　∴，，．
　　∴．
　　∴，
　　即．21世纪教育网
　　∴．
　　点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．
　　二、分析法与综合法联合使用
　　对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的思考过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者结合起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：
21世纪教育网
　　综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法并列起来进行思考，寻求问题的解答途径，就是人们通常所说的分析综合法．
　　例2　若a，b，c是不全相等的正数，
求证：．
　　证明：要证，
　　只需证，
　　只需证．
　　但是，，，．
　　且上述三式中的等号不全成立，
　　所以．
　　因此．
点评：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．
反证法知识点睛
　　反证法是一种重要的间接证明方法，在数学中使用相当普遍．下面加以系统归纳，供参考．
　　一、反证法的基本内容
　　①定义；②思考过程、特点；③解题步骤；④推出矛盾情形．
　　二、注意事项
　　注意一：“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．
　　否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结论．
　　注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．
　　注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的．
　　注意四：用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏．
　　三、何时运用反证法
　　1．正面繁琐或困难时宜用反证法；
　　2．惟一性命题可考虑用反证法；
　　3．当命题的结论涉及“至少”、“至多”、“无限”时，可考虑用反证法；
　　4．当问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，可考虑用反证法；
　　5．当反面结论比原结论表述更明确时，可考虑用反证法．
　　四、典例剖析
例１　已知函数对其定义域内的任意两个实数a、b，当时，都有．求证：至多有一个实数x使得．
证明：假设存在两个不等实数，使得．（※）
不妨设，由条件可得，与（※）式矛盾．21世纪教育网
故至多有一个实数x使得．
　　点评：此命题中出现“至多”，宜用反证法．欲证“至多有一个”，可从反面假设存在“两个”，证明过程中出现矛盾，即证得原命题成立．
　　例2　已知，求证：．
　　分析：本题已知为关于p、q的三次幂等式，而结论中只有p、q的一次幂，应考虑求其立方根，同时用到放缩法，但很难得证．这时可考虑反证法．
　　证明：假设，则．
　　将其两边立方，得．
　　将代入上式，得，
　　即，与矛盾．故．
　　点评：当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法．本题的结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就可达到证明目的．
反证法中的“特殊化”
　　反证法是一种重要的证明方法．反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路，以便尽快凸现矛盾．笔者认为，“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口．
　　一、特殊值
　　巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，但往往蕴含着正确的解法的必然．
　　例1　设、是上的函数．证明：存在、，使得．
　　分析：要找出具体的、，难以下手，不妨考虑用反证法．
　　证明：假设这样的、不存在．取特殊值，，得．
　　同理，，，．
　　故，
　　这是不可能的．
　　因此，原命题成立．
　　注：本题反复利用0与1这两个特殊值，并进行凑配，从而推得矛盾“”．
二、特殊运算
　　某些相对独立的对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而通过特殊运算使之形成一个整体，矛盾便暴露无遗了．
　　1．求和
　　例2　今有有限个砝码，它们的总重量是，将它们分别编号为1，2，…．证明：从这有限个砝码中必可找出一个编号为的砝码，它的重量大于．
　　证明：假设不存在这样一个编号，使得相应的砝码重量．
　　设共有个砝码，．
　　从而，有，，…，．
　　累加求和得
　　，矛盾 ．
　　因此，原命题成立．
　　2．求积
　　例3　证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：，，．
　　分析：本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法．
　　证明：假设存在某三个实数同时满足题设的三个不等式．将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得
　　，　　①
　　，　　②
　　．　　③
　　①×②×③得
　　，这显然是不可能的．21世纪教育网
　　因此，原命题成立．
　　注：本题所得到的三个不等式，单独看哪一个都看不出有什么毛病，而一旦求积，矛盾便凸现在眼前了．
21世纪教育网

展开更多......

收起↑