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直接证明与间接证明知能阐释
　　一、要点透析
　　1．综合法
　　一般地，从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．
　　综合法的推证过程如下：
　　注意：应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了出发点以后（它基于题设或已知的真命题），再依次由它得出一系列的命题（或判断），其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的）．当最后一个包含我们要证明的命题的结论时，命题得证．
　　2．分析法
　　一般地，从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止．这种证明方法常称为分析法．
　　分析法的推证过程如下：
　　注意：这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件），才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子．
　　3．综合法和分析法的区别与联系
　　综合法的特点：是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件；分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的特征命题，用分析法和综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．
　　分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
　　4．反证法
　　反证法是一种常用的间接证明方法．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：
　　应用反证法证明数学命题，一般有下面三个步骤：
　　（1）反设———假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
　　（2）归谬———从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
　　（3）存真———由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
　　注意：所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与公理、定义、定理、条件矛盾或与临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情况．
　　二、范例点悟
　　例1　已知，求证：．
　　证明：∵， ，
　　∴，
　　∴，
∴．
　　同理：，，
　　将三式相加得．
．
　　∴．
　　评注：在运用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件．
　　例2　当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．
　　证明：设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为，因此本题只需证明．
　　为了证明成立，只需证明，21世纪教育网
　　两边同乘以正数，得显然成立，
　　所以．
　　这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大．
　　评注：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
　　例3　已知三个关于x的方程，；中至少有一个方程有实根，求实数m的取值范围．
　　解析：三个方程都没有实根的充要条件是
　　即解得．
　　∴使三个方程至少有一个方程有实根的实数m的取值范围为．
评注：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p则q”为真，应证“若p则”为假，因此，反证法的核心是从出发导出矛盾．
综合法及其应用
　　综合法就是从命题提供的条件，或是已证明过的结论，或是已知的定义、公理、定理等条件及事实出发，经正确的推理得到结论的方法，是一种直接的演绎推理方法，也就是“由因导果”的方法．
　　一、综合法适用范围
　　1．定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；
　　2．已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．
　　二、应用举例
　　例１　设函数在区间上有定义，，且对任意的，均有，求证：．
　　分析：直接运用综合法给予证明，不妨设，运用分类讨论即可．
　　证明：不妨设，则
　　（1）如果，则．
　　（2）如果，由，得
　　

。
　　综合（1）（2），得．
　　例2　已知：x，y，z都是小于1的正数，且它们的和为2．求证：．
　　分析：直接运用综合法进行证明，但证明过程中要应用不等式证明的放缩法．
　　证明：∵，
　　∴．
　　∵，，，
　　∴．
　　即．
　　∵，，，
　　∴，，，
　　∴．
　　∴．
　　∴．
∴得证．　
瞄准反证法
　　反证法是间接证明的一种基本方法，常常是解决某些“疑难”问题的有力工具．对于一些用直接证明的方法难以证明的结论，常采用反证法．熟练掌握并运用反证法，对提高同学们的解题能力大有裨益．下面就反证法的要点进行归纳整理．
　　1．反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾．它可以用下面的程序来表示：“否定——推理——肯定．”
　　“否定”——假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立．
　　“推理”——从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行推理，导致逻辑矛盾．
　　“肯定”——由于推理过程正确，故矛盾是由假设所引起的．因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的．
　　2．应用反证法的原则：正难则反，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法．21世纪教育网
　　3．宜用反证法证明的题型：①易导出与已知矛盾的命题；②“否定性”命题；③“惟一性”命题；④“必然性”命题；⑤“至少”、“至多”命题等．
　　4．注意事项：（1）应用反证法证明命题时，反设必须恰当．如“都是”的否定是“不都是”、“至少一个”的否定是“不存在”等．
　　（2）用反证法证明时最好在开篇注明“下面用反证法证明”，以告知读者按反证法的思路阅读或评卷．
　　下面举例说明“反证法”在证题中的应用．
　　例１　设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．
　　分析：命题的结论呈否定形式，故可用反证法．21世纪教育网
　　证明：设、的公比分别为，，．
　　假设是等比数列，则只需证．
　　由于，21世纪教育网
　　而．
　　从而有，而，
　　故有，即，这与已知相矛盾，因此假设不成立，故不是等比数列．
　　点评：当遇到结论为否定形式的命题时，常常采用反证法．
　　例2　求证：两条平行线中一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交．
　　已知：，平面，如图1所示．
　　求证：直线b和平面相交．
　　证明：假设b和平面不相交，即或．
　　（1）若，因为，，
　　所以，这与相矛盾．
　　（2）如果，因为，所以a和b确定一个平面，显然平面与平面相交．
　　设，因为，所以．
　　又，从而且，．
　　故，这与矛盾．
　　由（1）（2）可知，假设不成立．
　　故直线b与平面相交．
例3　求证：正弦函数没有比小的正周期．
　　证明：假设是正弦函数的周期，且，则对任意实数x都有成立．
　　令，得，即，．
　　又，故，从而对任意实数x都有，这与矛盾．
　　所以正弦函数没有比２?仔小的正周期．
　　例4　今有50位同学，男女各一半，围坐一圈，是否存在一种座位的安排方法，使得每一位同学左右两侧的两位同学为一男一女？证明结论．
　　解：不存在这样的座位安排．
　　证明：假设存在这样的安排，则每一位同学必与一同性别的同学相邻，若以Ｍ表示男同学，Ｗ表示女同学，则每一对相邻而坐的男性（女性）同学的左右两侧必为两对相邻而坐的女性（或男性）同学，如图2所示，因此男性或女性同学数应是偶数，这和男性或女性同学数各占25矛盾，所以这种安排方法不存在．
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