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5.2.3简单复合函数的导数
A级 必备知识基础练
1.已知f(x)=(2x-1)3,则f'(2)=(　　)
A.27 B.54 C.12 D.6
2.函数y=xln(2x+5)的导数为(　　)
A.ln(2x+5)- B.ln(2x+5)+
C.2xln(2x+5) D.
3.已知函数f(x)=ln x+sin 2x,则=(　　)
A.1+cos 2 B.1+2cos 2
C.-1+cos 2 D.-1+2cos 2
4.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(　　)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
5.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数满足关系式
y=18sint-,则t=1.25 s时,弹簧振子瞬时速度是(　　)
A.9 cm/s B.-9 cm/s
C.6π cm/s D.-6π cm/s
6.(2026浙江宁波高二期中)已知函数f(x)=f'(0)e2x+sin x,则函数f(x)在x=0处的切线方程是　　　　　　　　.
7.设函数f(x)=ln(x2+1)+sin x+1,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为　　　　　.
8.求下列函数的导数:
(1)y=ln(ex+x2)(2)y=102x+3;(3)y=;
(4)y=sin 2xcos 3x.
B级 关键能力提升练
9.(2026北京海淀高二月考)函数y=f(x)的导数y=f'(x)仍是x的函数,通常把导函数y=f'(x)的导数叫作函数的二阶导数,记作y=f″(x),类似地,二阶导数的导数叫作三阶导数,三阶导数的导数叫作四阶导数……一般地,n-1阶导数的导数叫作n阶导数,函数y=f(x)的n阶导数记为y=f(n)(x),例如y=ex的n阶导数=ex.若f(x)=xex+cos 2x,则f(2 026)(0)=(　　)
A.2 026-22 026 B.2 026
C.2 025-22 026 D.2 025
10.(多选题)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值可以是(　　)
A. B. C. D.
11.(多选题)曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与其平行直线l的距离为,则直线l的方程可能为(　　)
A.y=2x+6 B.y=2x-4
C.y=3x+1 D.y=3x-4
12.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若函数g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　　　　.
13.(2026浙江杭州高二期中)已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数f'(x)=,设g(x)=f(1-2x),则g'(1)=　　　　　.
C级 学科素养创新练
14.用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 023x2 022(x≠0,且x≠1).
题号 1 2 3 4 5 9 10 11
答案
参考答案
1.B　因为f(x)=(2x-1)3,所以f'(x)=3(2x-1)2×2=6(2x-1)2,所以f'(2)=6×32=54.故选B.
2.B　∵y=xln(2x+5),∴y'=ln(2x+5)+.
3.B　f'(x)=+2cos 2x,则=f'(1)=1+2cos 2.
4.B　设切点坐标是(x0,x0+1),
依题意有由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.
5.D　根据已知求导得y'=18×cost-=12πcost-,
则y'|t=1.25=12πcos×1.25-=-6π,
所以此时弹簧振子瞬时速度为-6π cm/s.
6.x+y+1=0　因为f(x)=f'(0)e2x+sin x,所以f'(x)=2f'(0)e2x+cos x,令x=0可得f'(0)=2f'(0)+1,
解得f'(0)=-1,
故f(x)=sin x-e2x,所以f(0)=-1,即切点坐标为(0,-1),
因此函数f(x)在x=0处的切线方程是y=-x-1,即x+y+1=0.
7.　f'(x)=+cos x,则f'(0)=1,即切线方程为y=x+1.
令x=0,则y=1,令y=0,则x=-1,故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
8.解 (1)令u=ex+x2,则y=ln u.
∴yx'=yu'·ux'=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=.
(2)令u=2x+3,则y=10u,∴yx'=yu'·ux'=10u·ln 10·(2x+3)'=2ln 10·102x+3.
(3)设y=,u=1-x2,则yx'=yu'·ux'=()'(1-x2)'=-·(-2x)=x(1-x2.
(4)∵y=sin 2xcos 3x,∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x.
9.A　由f'(x)=(x+1)ex-2sin 2x,f″(x)=(x+2)ex-22cos 2x,
f(3)(x)=(x+3)ex+23sin 2x,f(4)(x)=(x+4)ex+24cos 2x,依此类推,f(2 026)(x)=(x+2 026)ex-22 026cos 2x,所以f(2 026)(0)=(0+2 026)×e0-22 026×cos 0=2 026-22 026.故选A.
10.CD　因为y=,所以y'=.因为ex>0,所以ex+≥2(当且仅当x=0时取等号),所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈,π.故选CD.
11.AB　y'=2e2xcos 3x+e2x·(-3sin 3x)=e2x(2cos 3x-3sin 3x),y'|x=0=2,所以曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0,设直线l:2x-y+t=0(t≠1),依题意得,解得t=6或t=-4,所以直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.故选AB.
12.　∵f'(x)=-sin(x+φ),∴g(x)=f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ),∵g(x)为定义在R上的奇函数,∴g(0)=0,即cos φ-sin φ=0,∴tan φ=.
又0<φ<π,∴φ=.
13.-　因为g(x)=f(1-2x),所以g'(x)=f'(1-2x)·(1-2x)'=-2f'(1-2x),
所以g'(1)=-2f'(-1)=-2×=-.
14.解 设f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2 023x2 022,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2 023,则有f(x)=g'(x).
而由等比数列求和公式可得g(x)=,
于是f(x)=g'(x)='=
=,
即1+2x+3x2+4x3+…+2 023x2 022
=.

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