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5.3.1函数的单调性
A级 必备知识基础练
1.(多选题)函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.在(-2,1)上,f(x)单调递增
B.在(1,2)上,f(x)单调递增
C.在(4,5)上,f(x)单调递增
D.在(-3,-2)上,f(x)单调递增
2.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间为(　　)
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
3.已知函数f(x)=x-sin x(x∈R),则f(x)(　　)
A.是奇函数,且在(-∞,+∞)上是减函数
B.是偶函数,且在(-∞,+∞)上是减函数
C.是偶函数,且在(-∞,+∞)上是增函数
D.是奇函数,且在(-∞,+∞)上是增函数
4.(2026江苏扬州高二月考)函数y=的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,0)和(0,1) D.(-∞,0)
5.下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex
C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x
6.已知函数y=f(x)(-1≤x≤3)的图象如图所示,则不等式xf'(x)<0的解集为(　　)
A.0,∪(2,3) B.-1,∪,2
C.(-1,0)∪,2 D.(-1,0)∪(1,3)
7.(多选题)(2026山东聊城高二月考)已知函数f(x)=-x3eax+b+x(x>0),函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1,则下列结论正确的有(　　)
A.a=-2
B.b=1
C.函数y=f'(x)的单调递减区间为(0,2-)
D.函数y=f'(x)的单调递增区间为(3-,3+)
8.(2026山东济宁高二期中)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若导函数f'(x)的图象过点(0,0),(2,0),如图,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　.
9.(人教B版教材习题)(1)求函数f(x)=x3-3x2-9x-1的单调区间.
(2)求函数f(x)=x2-xex的单调递增区间.
10.(2026浙江杭州高二期中)已知函数f(x)=,g(x)=1-.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x>1时,判断并证明f(x)与g(x)的大小关系.
B级 关键能力提升练
11.定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.0,∪-π,-
B.0,和-π,-
C.-,0∪,π
D.-,0和,π
12.在区间(0,1)上,已知f'(x)>1,下列图象中,能表示函数y=f(x)的图象的是(　　)
13.函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是(　　)
A.2f'(3)B.f(5)-f(3)<2f'(5)<2f'(3)
C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5)
D.2f'(3)<2f'(5)14.(2026辽宁大连高二模拟)已知连续函数f(x)的导函数为f'(x),如图是函数y=xf'(x)在区间[-2,2]上的图象,则下列选项正确的是(　　)
A.f(x)在区间[-1,0]上单调递减
B.f(x)在区间[0,1]上单调递减
C.f(x)在区间[-1,2]上单调递增
D.f(x)在区间[-2,0]上单调递增
15.已知f(x)满足f(4)=f(-3)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是　　　　　.
16.已知函数f(x)=(k为常数,e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
17.已知函数f(x)=2x+-ln x-5.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若a≥4,证明:当x>0时,f(x)>0.
C级 学科素养创新练
18.(2026北京顺义高二月考)对于定义域为D的函数f(x)及g(x)=f'(x)满足条件:对任意x∈D,f'(x)<0且g'(x)>0,写出一个满足条件的函数f(x)=　　　　.
题号 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14
答案
参考答案
1.BC　由题图知当x∈(-1,1),x∈(1,2),x∈(4,5)时,f'(x)>0,所以在区间(-1,1),(1,2),(4,5)上,f(x)单调递增,当x∈(-3,-2),x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,所以在区间(-3,-2),(-2,-1)上,f(x)单调递减.
2.B　因为f(x)=x2-ln x,x>0,所以f'(x)=x-,令f'(x)<0,得03.D　因为定义域为R,且f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数;又f'(x)=1-cos x≥0且不恒为0,所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.故选D.
4.C　y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由题得f'(x)=,
令<0,得x<1,因为x≠0,所以函数的单调递减区间为(-∞,0)和(0,1).故选C.
5.B　对于A,f'(x)=2cos 2x,f'=-1<0,不符合题意;
对于B,f'(x)=(x+1)ex>0在区间(0,+∞)上恒成立,符合题意;
对于C,f'(x)=3x2-1,f'=-<0,不符合题意;
对于D,f'(x)=-1+,f'(2)=-<0,不符合题意.故选B.
6.C　由f(x)的图象可知,f(x)在区间-1,和(2,3)上单调递增,在区间,2上单调递减,
则当x∈-1,时,f'(x)>0,当x∈(2,3)时,f'(x)>0,当x∈,2时,f'(x)<0,所以不等式xf'(x)<0的解集为(-1,0)∪,2.
7.BD　对于A,B,函数f(x)=-x3eax+b+x(x>0),求导得f'(x)=-(ax3+3x2)eax+b+1,
由函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1,得
解得a=-1,b=1,故A错误,B正确;
对于C,D,令g(x)=f'(x)=(x3-3x2)e1-x+1,求导得g'(x)=-x(x2-6x+6)e1-x,
由g'(x)>0,得3-3+,
因此函数f'(x)在区间(3-,3+)上单调递增,在区间(0,3-),(3+,+∞)上单调递减,故C错误,D正确.故选BD.
8.(-∞,0]和[2,+∞)　由题图可知,当x∈(-∞,0]和x∈[2,+∞)时,f'(x)≥0,所以f(x)在区间(-∞,0]和[2,+∞)上单调递增.
9.解 (1)根据题意有f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
令f'(x)>0,可得3(x+1)(x-3)>0,解不等式可得x<-1或x>3;
令f'(x)<0,可得3(x+1)(x-3)<0,解不等式可得-1因此,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调递减区间为(-1,3).
(2)由题意f'(x)=x2+x-ex,令x2+x-ex>0,得x>1或x<-,所以f(x)的单调递增区间是(1,+∞)和-∞,-.
10.解 (1)由题意知f'(x)=(2-x)e-x,令f'(x)=0,则x=2,
当x∈(-∞,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间为(-∞,2),单调递减区间为(2,+∞).
(2)f(x)由题意,f(x)-g(x)=(x-1)e-x-=,
令h(x)=x-ex,则h'(x)=1-ex.
当x>1时,h'(x)<0,即h(x)在区间(1,+∞)上单调递减,
故h(x)0,xex>0,
所以f(x)-g(x)<0,
即f(x)11.D　由f(x)=xsin x+cos x可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
令f'(x)=xcos x<0,
当x∈(-π,0)时,由xcos x<0可得cos x>0,解得x∈-,0,
当x∈(0,π)时,由xcos x<0可得cos x<0,解得x∈,π,
因此可得f(x)在区间(-π,π)内的单调递减区间是-,0和,π.
12.A　在区间(0,1)上,由f'(x)>1,得函数图象上每一点处切线的斜率均应大于1.
对于A,曲线越来越“陡峭”,区间(0,1)上各点处的切线斜率始终大于1,故可表示函数y=f(x)的图象;
对于B,曲线由“陡峭”到“平缓”,区间(0,1)上右半段存在切线斜率小于1的点,故不可表示函数y=f(x)的图象;
对于C,曲线由“平缓”到“陡峭”,区间(0,1)上左半段存在切线斜率小于1的点,故不可表示函数y=f(x)的图象;
对于D,曲线越来越“平缓”,区间(0,1)上各点处的切线斜率始终小于1,故不可表示函数y=f(x)的图象.故选A.
13.A　由题图知x=3处切线的斜率小于割线的斜率小于x=5处切线的斜率,所以f'(3)<14.A　由图象可得当-2≤x<-1时,xf'(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)在区间[-2,-1)上单调递增,当-10,此时f'(x)<0,函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,当00,此时f'(x)>0,函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,
当10,此时f'(x)>0,函数f(x)在区间(1,2]上单调递增,
因为f'(-1)=0,f'(1)=0,f(x)为连续函数,故B,C,D错误,A正确.故选A.
15.(-3,4)　由函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.因为f(4)=f(-3)=1,所以当x≤0时,由f(x)<1=f(-3),可得-30时,由f(x)<1=f(4),可得016.解 (1)由f(x)=,可得f'(x)=.
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,
∴f'(1)=0,即=0,解得k=1.
(2)由(1)知,f'(x)=(x>0),设h(x)=-ln x-1(x>0),则h'(x)=-<0.
可知h(x)在(0,+∞)上为减函数,
由h(1)=0知,当0h(1)=0,故f'(x)>0;当x>1时,h(x)综上,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
17.(1)解 当a=1时,f(x)=2x+-ln x-5,∴f'(x)=2-,由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0(2)证明 设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1=.
由g'(x)>0,得0由g'(x)<0,得x>1.
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故g(x)≤g(1)=0,即ln x≤x-1,
即-ln x≥-x+1①,当且仅当x=1时,等号成立.
要证f(x)≥0,即2x+-ln x-5≥0,只需证x+-4≥0.
∵a≥4,x>0,∴x+≥2≥4,
∴x+-4≥0②,当且仅当x=2,a=4时,等号成立.
∵①②两个不等式取得等号的条件不同,∴当a≥4,x>0时,f(x)>0.
18.-ln x(答案不唯一)　取函数f(x)=-ln x(x>0),则g(x)=f'(x)=-<0,所以g'(x)=>0,满足题意.故一个满足条件的函数f(x)=-ln x.

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