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5.3.2函数的最大(小)值
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是(　　)
A.1,-1 B.1,-17
C.3,-17 D.9,-19
2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显示,从上午6 h到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是(　　)
A.6 h B.7 h
C.8 h D.9 h
3.函数f(x)=(3x-1)e2x的最小值为(　　)
A.-3 B.-
C.0 D.-4e-2
4.(2026广东佛山高二期中)已知某物品进价为10元,根据以往经验,该商品的市场销量y与商品售价x(单位:元)之间的关系为y=,则此商品的利润最大时,该商品的售价x为(　　)
A.11 B.12
C.13 D.14
5.(2026广东中山高二月考)函数f(x)=ex-ln(ex)在其定义域上(　　)
A.有最小值,有最大值
B.有最小值,无最大值
C.无最小值,有最大值
D.无最小值,无最大值
6.已知函数y=x-sin x,x∈,π,则y的最大值为　　　　　.
7.(2026上海嘉定高二期中)已知函数f(x)=ax-ln x,若f(x)>0在定义域上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
8.已知函数f(x)=1+x-x2,g(x)=ex.
请在以下两个函数:①f(x)+g(x);②f(x)·g(x)中选择一个函数,记为y=h(x),使得该函数有最大值,并求h(x)的最大值.
9.(2026江苏徐州高二模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的图象在点(-1,f(-1))处的切线与y轴垂直,且f'(2)=9.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求实数c的值;
(3)若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点,求实数c的取值范围.
10.(2026安徽合肥高二期中)如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m)中间为圆柱形,左、右两端均为半球形(0(1)比较l与4r的大小;
(2)①容器的总建造费用为y万元,请把y表示为r的函数;
②求该容器的总建造费用最少时的r值.
B级 关键能力提升练
11.(2026北京海淀高二模拟)若函数f(x)=的值域为-,+∞,则实数a的取值范围是
(　　)
A.(-∞,e] B.(0,e]
C.[e,+∞) D.(0,+∞)
12.(2026全国1,6)已知函数f(x)=的最大值为1,则a=(　　)
A. B.1 C. D.2
13.(2026江苏淮安高二月考)已知函数f(x)=aex-ln x+1在区间(1,2)上单调递增,则实数a的最小值为　　　　.
14.某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时电力消耗费用为40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为160 km/h,要使从甲城开往乙城的总费用最少,则速度应为　　　　　km/h.
15.(2026江苏连云港高二月考)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2.
(1)若a=2e,求f(x)在区间[0,2]上的最值;
(2)若a>0,求f(x)在区间[1,2]上的最小值.
16.已知函数f(x)=xeax(a>0).
(1)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值;
(2)当a≥1时,求证:f(x)≥ln x+x+1.
C级 学科素养创新练
17.若f(x)的图象上存在两点A,B关于原点对称,则点对[A,B]称为函数f(x)的“友情点对”(点对[A,B]与[B,A]视为同一个“友情点对”.)若f(x)=恰有两个“友情点对”,则实数a的取值范围是
(　　)
A.(-1,0) B.(0,1)
C.-,0 D.0,
题号 1 2 3 4 5 11 12 17
答案
参考答案
1.C　f'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1 [-3,0].所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.
2.C　由题意,得y'=-t2-t+36=-(t+12)(t-8).令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.当6≤t<8时,y'>0;当83.B　由f(x)=(3x-1)e2x,得f'(x)=(6x+1)e2x,
令f'(x)<0,得x<-;
令f'(x)>0,得x>-.
所以函数f(x)在区间-∞,-上单调递减,在区间-,+∞上单调递增,
所以f(x)=(3x-1)e2x的最小值为f-=--1=-.
4.B　由题意得,商品的利润f(x)=(x-10)(x>10),
则f'(x)=+(x-10)×-,当100,f(x)单调递增;当x>12时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=12时,函数f(x)取得极大值,也是函数的最大值.故选B.
5.B　令ex>0,则x>0,所以函数f(x)=ex-ln(ex)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=e-,令f'(x)>0,则x>,令f'(x)<0,则x<,
所以函数f(x)在x∈0,上单调递减,在x∈,+∞上单调递增,
所以f(x)在区间(0,+∞)上有最小值f,无最大值.故选B.
6.π　由y=x-sin x,得y'=1-cos x,当x∈,π时,y'>0,所以此时函数单调递增,所以当x=π时,函数有最大值,且最大值为π.
7.,+∞　由f(x)>0在定义域上恒成立,即ax-ln x>0在区间(0,+∞)上恒成立,
∴a>,对x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=,则g'(x)=,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,即g(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,即g(x)单调递减,
∴g(x)≤g(e)=,即g(x)max=,∴a>,即实数a的取值范围为,+∞.
8.解若选①,则h(x)=1+x-x2+ex,根据指数函数与二次函数的增长速度,可知当x→+∞时,h(x)→+∞,所以函数h(x)无最大值.
若选②,则h(x)=(1+x-x2)·ex,
h'(x)=(1-2x)·ex+(1+x-x2)·ex=(2-x-x2)·ex.
由h'(x)>0,即2-x-x2>0,解得-21.
所以函数h(x)在区间(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递减,在区间(-2,1)上单调递增.
所以函数h(x)的极大值为h(1)=e.
又当x<-2时,1+x-x2<0,所以h(x)<0.
故h(1)=e是函数h(x)=(1+x-x2)·ex的最大值.
9.解 (1)由f(x)=-x3+ax2+bx+c,得f'(x)=-3x2+2ax+b,
由题意得f'(-1)=0,f'(2)=9,得解得
(2)由(1)知,f(x)=-x3+3x2+9x+c,f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),
令f'(x)>0,解得-13,
所以f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,3)上单调递增,在区间(3,+∞)上单调递减,
所以f(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,2)上单调递增.
又f(-2)=-(-2)3+3×(-2)2+9×(-2)+c=c+2,f(2)=-23+3×22+9×2+c=c+22,
则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为f(2)=c+22=20,解得c=-2.
(3)由(2)知,f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递减,在区间(-1,3)上单调递增,
所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=-(-1)3+3×(-1)2+9×(-1)+c=c-5,
当x=3时,f(x)取得极大值f(3)=-33+3×32+9×3+c=c+27.
要使函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点,则
解得-2710.解 (1)由题意知πr3+πr2l=,则l=,
所以l-4r=-4r=-r,而0所以≥1≥r,则-r≥0,
故l≥4r.
(2)①由(1),l=-r,且0所以y=2πrlt+2×4πr2=2πrt×-r+8πr2=8π+r21-,且r∈(0,1].
②由①得y'=16πr1--=16π·,0令y'=0,得(3-t)r3=2t,即r3=∈(0,1],所以0<≤1,可得0当0若0,则y在区间,1上单调递增,此时当r=时,y取得最小值;
当1≤t<2时,在区间(0,1]上y'≤0恒成立,即y在区间(0,1]上单调递减,此时当r=1时,y取得最小值.
综上,当0当1≤t<2时,r=1,该容器的总建造费用最少.
11.C　当x≤0时,f(x)=xex,则f'(x)=(x+1)ex.令f'(x)=(x+1)ex>0,解得x>-1,所以函数在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,0)上单调递增,且函数过原点,最小值为f(-1)=-;当x>0时,f(x)=ax2-2x,
若a<0,二次函数f(x)=ax2-2x的图象开口向下,不符合题意;
若a=0,则函数f(x)=-2x为单调递减的一次函数,不符合题意;
若a>0,函数f(x)的图象开口向上,最小值在对称轴直线x=处取到,则f=-≥-,解得a≥e.
综上,函数f(x)=的值域为-,+∞,则实数a的取值范围是[e,+∞).故选C.
12.B　由题中选项知a>0,则函数f(x)=的定义域为R,
故f(x)的最大值必在极值点处取到,不妨设此极值点为x0.
由f'(x)=,则由f'(x0)=0,可得a=(x0+1), ①
且f(x0)==1,即a=x0+2-, ②
联立①②解得
验证:当a=1时,f(x)=,
则f'(x)=.
设g(x)=-(x+1)ex+1,则g'(x)=-(x+2)ex.
当x<-2时,g'(x)>0,则g(x)在(-∞,-2)上单调递增;
当x>-2时,g'(x)<0,则g(x)在(-2,+∞)上单调递减.
g(x)max=g(-2)=+1,且g(0)=0,
且当x→-∞,g(x)→1;当x→+∞,g(x)→-∞;
作出函数g(x)的大致图象,如图.
当x<0时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增;
当x>0时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
则f(x)max=f(0)=1,满足题意,故a=1.故选B.
13.　∵f(x)在区间(1,2)上单调递增,∴f'(x)=aex-≥0在区间(1,2)上恒成立,
即a≥在区间(1,2)上恒成立.令g(x)=xex(10,
∴g(x)在区间(1,2)上单调递增,
∴g(x)>1×e1=e,∴当x∈(1,2)时,,∴a≥,即实数a的最小值为.
14.10　设速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km,比例系数为k,
则总费用f(x)=(kx3+200)=akx2+(0由已知条件,得40=k·203,∴k=,∴f(x)=ax2+.
令f'(x)==0,解得x=10,
当00.
∴当x=10时,f(x)最小,
∴要使总费用最少,速度应为10 km/h.
15.解 (1)当a=2e时,f(x)=(x-1)ex-ex2,f'(x)=x(ex-2e).
当x∈[0,2]时,令f'(x)>0,得ln 2e从而f(x)在区间[0,ln 2e)上单调递减,在区间(ln 2e,2]上单调递增,
则f(x)min=f(ln 2e)=(ln 2e-1)2e-e(ln 2e)2=-e[1+(ln 2)2],
f(x)max=max{f(0),f(2)}=max{-1,e(e-4)}=f(0)=-1.
(2)f'(x)=xex-ax=x(ex-a).
当0则此时f(x)min=f(1)=-a;
当e令f'(x)>0,得ln a则f(x)在区间[1,ln a)上单调递减,在区间(ln a,2]上单调递增,此时f(x)min=f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2;
当a≥e2,x∈[1,2]时,f'(x)≤0,即f(x)在区间[1,2]上单调递减,
则此时f(x)min=f(2)=e2-2a.
综上,当0当e当a≥e2时,f(x)min=f(2)=e2-2a.
16.(1)解f'(x)=eax(1+ax)(a>0),令f'(x)=0,则x=-,
当0当a>1时,-1<-<1,则当x∈-1,-时,f'(x)<0,f(x)在区间-1,-上单调递减,
当x∈-,1时,f'(x)>0,f(x)在区间-,1上单调递增,
所以f(x)min=f-=-,
而f(-1)=-e-a<0,f(1)=ea>0,所以f(x)max=f(1)=ea.
综上所述,当0当a>1时,f(x)min=-,f(x)max=ea.
(2)证明 因为x>0,a≥1,所以xeax≥xex,欲证xeax≥ln x+x+1,只需证明xex≥ln x+x+1,
只需证明xex=eln xex=eln x+x≥ln x+x+1,
因此构造函数h(x)=ex-x-1(x∈R),h'(x)=ex-1,
当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,h(x)在区间(-∞,0)上单调递减;
当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
所以h(x)≥h(0)=0,所以ex≥x+1,
所以eln x+x≥ln x+x+1,所以xex≥ln x+x+1,
因此f(x)≥ln x+x+1.
17.D　y=ax2(x≤0)关于原点对称的解析式为y=-ax2(x≥0).
y=x3ln x(x>0)与y=-ax2(x≥0)的图象的交点个数即为方程x3ln x=-ax2(x>0)实数根的个数,即-a=xln x.
设y=xln x,于是y'=ln x+1.
当x∈0,时,y'<0,y=xln x单调递减;
当x∈,+∞时,y'>0,y=xln x单调递增;
当x=时,函数y=xln x取最小值-.
于是作出y=xln x的图象如图所示,
所以-<-a<0,即当0即原函数有两对“友情对点”.故实数a的取值范围是0,.

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