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5.1.2导数的概念及其几何意义
A级 必备知识基础练
1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5x-y+1=0,则(　　)
A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0
C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在
2.已知函数f(x)=x2+2,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
3.(2026广东潮州高二期末)设函数f(x)的定义域为R,若曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=10x-16,则f'(2)+f(2)=(　　)
A.-14 B.-6 C.6 D.14
4.设f(x)存在导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为(　　)
A.2 B.-1
C.1 D.-2
5.已知f(x)=-x2,若f'(a)=,则a的值等于(　　)
A.- B. C.- D.
6.如图,已知直线l是曲线y=f(x)在(3,f(3))处的切线,则f'(3)=　　　　.
7.(2026上海黄浦高二月考)已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是　　　　　.
8.直线y=-x+b是函数f(x)=图象的切线,则切点是　　　　　　,实数b=　　　　　　.
9.(2026安徽阜阳高二月考)已知函数f(x)=10x+x2.
(1)用导数的定义求函数y=f(x)的导数;
(2)求出f'(5),f'(0)的值.
10.已知曲线方程为y=x2,求:
(1)曲线在点A(2,4)处的切线方程;
(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.
B级 关键能力提升练
11.(多选题)(2026江西南昌高二月考)已知函数f(x)的部分图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的有(　　)
A.f'(3)<0
B.f'(-1)>0
C.f(-1)-f'(-1)>0
D.f(3)-3f'(3)>0
12.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)
B.(-1,1)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
13.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处的切线的斜率之积为3,则x0的值为(　　)
A.-2
B.1
C.
D.2
14.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线,则a=　　　　　,b=　　　　　.
15.若y=f(x)为可导函数,且=1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为　　　　.
16.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为　　　　　.
17.已知曲线y=f(x)=x2-1在x=x0处的切线与曲线y=g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行.
(1)求x0的值;
(2)求曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程.
C级 学科素养创新练
18.已知曲线y=2x-x2上的两点A(2,0)和B(1,1),求:
(1)割线AB的斜率kAB;
(2)过点A的切线的斜率kAT;
(3)曲线在点A处的切线的方程.
题号 1 2 3 4 5 11 12 13
答案
参考答案
1.A　由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.
2.A　因为函数f(x)=x2+2,所以该函数在区间[1,3]上的平均变化率为=4.故选A.
3.D　因为曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=10x-16,所以f'(2)=10,f(2)=10×2-16=4,所以f'(2)+f(2)=14.故选D.
4.B　=f'(1)=-1.
5.A　由导数的定义得f'(x)=
=
==-x,
因此f'(a)=-a=,则a=-.
6.-　根据导数的几何意义可知,切线斜率等于在该点处的导数值,所以f'(3)的值等于在x=3处的切线斜率,又切线过点(3,-2),(0,-1),故f'(3)==-.
7.f'(xA)由图知,函数图象在点A,B处的切线斜率均为负,且A处切线更陡,所以f'(xA)<0,f'(xB)<0,|f'(xA)|>|f'(xB)|,所以f'(xA)8.-2,-或2,　-1或1　f'(x)==-=-,解得x=±2.
当x=-2时,y=-,b=-1;当x=2时,y=,b=1.
9.解 (1)Δy=f(x+Δx)-f(x)=10(x+Δx)+(x+Δx)2-10x-x2=(Δx)2+(2x+10)Δx,
则=Δx+2x+10,
则当Δx→0时,→2x+10,故f'(x)=2x+10.
(2)由(1)可知f'(5)=2×5+10=20,f'(0)=2×0+10=10.
10.解 (1)f'(x)=(2x+Δx)=2x.
又点A(2,4)在曲线y=x2上,
所以f'(2)=4.故所求切线的斜率k=4,
故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)因为点B(3,5)不在曲线y=x2上,所以设切点坐标为(x0,),
由(1)知f'(x)=2x,所以切线的斜率k=2x0,切线方程为y-=2x0(x-x0).
又点B(3,5)在切线上,所以5-=2x0(3-x0),
解得x0=1或x0=5.
所以切点坐标为(1,1),(5,25).
故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),
即2x-y-1=0或10x-y-25=0.
11.AC　由f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0,即f'(3)<0,故A正确;
f'(-1)表示f(x)的图象在点A处的切线斜率,故f'(-1)<0,故B错误;
由题图可知f(-1)>0,f'(-1)<0,故f(-1)-f'(-1)>0,故C正确;
直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率,即12.C　设P(x0,y0),曲线y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k==
1-=1-<1.即k<1.
13.B　由题意知,y'1==
,y'2==3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处的切线的斜率分别为,3-2x0+2.由题意可知,=3,所以x0=1.
14.3　3　因为f'(x)==2ax,所以f'(1)=2a,即函数f(x)在点(1,c)处的切线斜率为2a.因为g'(x)==3x2+b,所以g'(1)=3+b,即函数g(x)在点(1,c)处的切线斜率为3+b.因为两曲线在交点(1,c)处有相同的切线,所以2a=3+b.又因为a+1=1+b,即a=b,所以可得a=b=3.
15.　因为=1,所以2=1,所以,所以f'(1)=,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为.
16.4　y'==2x-1,抛物线在点P处切线的斜率为2×(-2)-1=-5.因为点P的横坐标是-2,所以点P的纵坐标是6+c,根据题意有-=-5,解得c=4.
17.解 (1)f'(x0)=
=
=2x0,
g'(x0)==-3.
由题意得2x0=-3,解得x0=0或x0=-.
(2)当x0=0时,f'(x0)=0,因为f(0)=-1,故所求切线方程为y=-1.
当x0=-时,f'(x0)=-,因为f-=-,故所求切线方程为y+=-x+,即y=-x-.
故所求切线方程为y=-1或y=-x-.
18.解 (1)由已知可得,kAB==-1.
(2)令y=f(x)=2x-x2,
=
=
=2-2x-Δx,
根据导数的定义可得,f'(x)=(2-2x-Δx)=2-2x.
①当切点为点A时,根据导数的几何意义知kAT=f'(2)=2-2×2=-2;
②当切点不是点A时,
设切点坐标为(x0,2x0-),x0≠2,则kAT=2-2x0,
又kAT==-x0,
所以有2-2x0=-x0,解得x0=2,
因为x0≠2,所以此时无解.
综上所述,过点A的切线的斜率kAT=-2.
(3)由(2)知,曲线在点A处的切线的斜率kAT=-2,
所以曲线在点A处的切线的方程为y=-2(x-2),整理得切线的方程为2x+y-4=0.

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